Merhaba sevgili arkadaşlar, bu videomuzda ekstrem noktalara yani yerel maksimum, yerel minimum noktalara başlıyoruz.
A Reel sayıların bir alt kümesi olmak üzere, Ev Fonksiyonu Ağa'dan reel sayılara tanımlı y refik fonksiyonu için AB açık aralığı ağının alt kümesi olmak üzere e fiks fonksiyonu AB aralığındaki bir ilk sıfır değeri için en büyük değerini alıyorsa, 2 0 fiks sıfır noktasına ev hicks'in yerel maksimum noktası buradaki fiks sıfır değerine de fonksiyonun bu aralıktaki yerel maksimum değeri diyoruz.
Arkadaşlar şimdi uzun uzun n tanımladık.
Biz a b aralığında bir fonksiyon verildi.
Bu aralıktaki yani a kümesinde bir fonksiyon verili a b açık aralığında bu fonksiyon en büyük değerini aldığı noktaya biz yerel maksimum nokta diyoruz.
Oradaki en büyük değere de yerel maksimum değer diyoruz.
Aynı şekilde en küçük değerini alıyorsa buraya da yerel minimum nokta aldığı değere de yerel minimum değer diyoruz.
Grafik lerimize bakalım a b aralığında ev ve g fung ev fonksiyonu iki tane fonksiyonun grafiğini verdim.
Bakın fonksiyonun uzun grafiğini oldu arttı, arttı arttı maksimuma ulaştı.
Sonra azalığına geçti.
Burada azalıp azalıp minimuma ulaştı.
Sonra tekrar Tartan'a geçti.
Yani bir fonksiyonun maksimum minimum olması için arkadaşlar maksimum olması için ardandan azalığına geçmesi gerekir.
Minimum olması için de az alandan Tartan'a geçmesi gerekir.
Peki ardandan azalığına geçmek ne demek?
Türevi ni işareti pozitiften negatife geçmesi demek.
Yani türev ne zaman işaret değiştirdi?
Arkadaşlar kökünde işaret değiştirirdi mi?
Tek katlı köklerinde işaret değiştirir.
O yüzden fonksiyonun maksimum minimum noktaları türevi mizin kökleri dir.
Nasıl kökleri tek katlı kökleri dir.
Arkadaşlar çift katlı gökte işaret değiştirmez di mi?
Fonksiyon ardandan azalığına az alandan Artan'ın geçmez.
O yüzden tek katlı kök olması gerekir.
Bir de şöyle açıklayabiliriz maksimum olduğu noktada çizdiğim teğet nedir?
Ix eksenine paraleldir.
Minimum olduğu noktada çizdiğim teğet nedir ilk 80'ine paraleldir, ilk 80'ine paralel olan doğruların ekimleri sıfırdır arkadaşlar.
O yüzden yerel maksimum ve yerel minimum noktalarda türevi mi sıfırdır?
Ama oradaki kök tek katlı kök olmalıdır.
Çünkü iş adetimiz maksimum olduğunda abartıdan eksiye geçecek.
Türel'in işareti minimum olduğunda Türel'in işareti eksilen artıya geçmesi gerekir.
Bu da tek katlı kök lerle mümkündür.
Evet grafiğimiz inceleyelim yanda yetiştirebiliriz fonksiyonunun eksi 7 8 kapalı aralığında grafiği verildi.
Yerel maksimum minimum noktalar ile yerel maksimum minimum değerleri belirleyelim.
Şimdi burada zaten bakınca da gözüküyor.
Bakın şurada eksi dörtte fonksiyon arttı, arttı arttı.
Sonra hız alana geçti.
O zaman burası nedir?
Arkadaşlar maksimum değerdir.
Buradan çizdim teğet x eksenine paralel zaten burada maksimum noktamız dır.
O zaman şöyle diyelim maksimum yerel, maksimum.
Noktalarımız NELERDİR bir tanesi eksi dörde üç nokta saymış.
Başka bir nokta fonksiyonun artıp birden azalığına geçtiği yer şurası arkadaşlar burada beşe dokuz noktası.
Başka Maximum Var mı?
Burası da maksimum dur arkadaşlar tanımlı olduğu aralıktaki uç noktaları da maksimum minimum alabilirsiniz.
Yani sekize 10 noktası da bir yerel maksimum noktadır.
Yerel maksimum, yerel minimum noktalar birden fazla olabilir.
Arkadaşlar ve yerel maksimum noktaların en üst tekine en büyüğüne biz mutlak maksimum deriz.
Yani buradaki sekize 10 noktası fonksiyonun mutlak maksimum noktasıdır.
Şimdi yerel minimum ara bakalım yerel minimum noktalarımız o aralıktaki, o yerdeki minimum değerleri arıyorum.
Fonksiyon azalıp azalıp tekrar Artan'ın geçtiği yer.
Yani burası değil mi bu aralık bu noktada yani bire eksi 4 noktasında fonksiyonu muz minimum değer almış başka nerede minimum değer almış.
Bakın burada azaldı, sonra birden artmış artışa geçti.
O yüzden bu noktada da yani onun değerini vermemiş.
Biz onu da şöyle yazalım iki olsun burası 6'ya 2 noktasında fonksiyonu muz yerel minimum değerini almıştır.
Bir de tanımlı olduğu aralıktaki uç noktalarda doluyordu.
Eksi 7'de de şöyle eksi iki değerini alsın.
O zaman eksi 7'ye eksi iki noktası da bir yerel minimum noktadır.
Şimdi şuraya dikkat çekmek istiyorum.
Fonksiyonun türevi nin sıfır olduğu noktalar da, tek katlı kökler de yerel maksimum, yerel minimum vardır dedik.
Çünkü yerel maksimum ve yerel minimum noktalarda çizilen tespitlerimiz ilk 80'ine paralel olur.
Yani eğimle de sıfır olur dedik.
Bu yüzden türevi sıfıra eşit dediğimizde tek katlı kökler yerel maks veya yerel minimum noktadır.
Peki burada mesela 5'e dokuz noktası bakın orada sivri uç vardı, burada türev yok zaten.
Yani yerel maksimum yeren minimum noktalarda türev olmak zorunda değil.
Fonksiyon arttığı birden az alana geçiyorsa bir kırılma varsa orada.
O zaman da yerel maksimum, yerel minimum nokta olur.
Türev inin olması şart değildir arkadaşlar.
Bakın bu noktada türev yok, sivri uç var.
Bu noktada türev yok, sivri uç var ama yerel maksimum yerel minimum nokta var ve verilen aralığın uç noktalarında sınır noktalarında da yerel maksimum, yerel minimum vardır.
Arkadaşlar fonksiyon artarak başlıyorsa, buradaki gibi artarak başlıyorsa.
Burası yerel minimum nokta.
En son artık bittiyse burası da yerel maksimum nokta olmuş oldu.
Yerel maksimum, yerel minimum değerlere de bakalım.
Yerel maksimum değerlerimiz bunlar noktalar dı.
Şimdi yerel maksimum değerlerimiz fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktalar bunlar.
Zaten oradaki aldığı değerleri de yani üç, dokuz ve ona da üç, dokuz ve on değerleri de yerel maksimum değerlerdir.
Yerel minimum değerler.
Bunlar da aynı şekilde yerel minimum noktaların or din hatları da yerel minimum o yerdeki minimum değerlerdir.
Eksi 4 2 ve eksi 2 değerleri de yerel minimum değerler olur.
Arkadaşlar.
When.
Örneğimizde devam ediyorum.
Epic S işitir 2x küp x 6 x Kr, x 18'lik saati 4 fonksiyonunun yerel x sıramı noktalarının apsis değerini buluruz.
Ne demiştik?
Yerel x sıramı noktalarda türevi 0 yapan değerlere bakıyoruz ama tek katlı köklere bakacağım.
O yüzden bir tür ne alalım?
Eff türevi X eşittir 6 ilk kare.
Üçü başa indirdim bir azaltım eksi on iki x eksi on sekiz.
Bunun köklerini inceleyeceğim.
Altı parantezin alırsam IX kare eksi iki x eksi üç eşittir sıfır.
Burayı da IX x ve eksi 3'e 1 olarak çarpanlar ayıralım.
6 ilk eksi üç çarpı IX artı bir eşittir sıfır.
Sağa her çarpanı ayrı ayrı sıfıra işledim de ilk seksi üçü sıfıra işlediğinde x eşittir 3 elde ederim 2 artı 1 sıfıra işlediğinde ilk seçtiği eksi 1 elde ederim ve bunlar tek katlı kökler dir.
Bakın üstleri tek bunların değil mi?
Üstel çift olsaydı çift katlı kök olacaktı.
Şimdi işaret inceliyorum.
Eksi bir artan azalan da yaptığım gibi.
Bunlar tek katlı kökler arkadaşlar.
En sağa en büyük dereceli terimin yani IX.
Karenin işaretini yazıyorum.
O da pozitif kökler işaret değiştirir, kök de işaret değiştirir.
Bakın burada türev post silinmiş.
Bu artan anlamına gelir.
Azalan anlamına gelir.
Artan anlamına gelir.
Fonksiyon arttı, artı 2 eşittir.
Eksi 1'e geldiğinde maksimum oldu, sonra azalmaya başladı.
O yüzden burası yerel maksimum vardır burada.
Burada da azaldı azaldı.
Sonra artışa geçti.
Demek ki yerel minimum vardır.
Arkadaşlar bize apsis değerini soruyor.
Zaten yerel maksimum noktanın apsesi, eksi bir yerel minimum noktanın apsesi 3'tür.
Eğer noktaları sorsaydı ya da değerleri sorsaydı eksi 1 ve 3'ü fonksiyon da yerine yazmamız gerekirdi.
A Reel sayıların bir alt kümesi olmak üzere, Ev Fonksiyonu Ağa'dan reel sayılara tanımlı y refik fonksiyonu için AB açık aralığı ağının alt kümesi olmak üzere e fiks fonksiyonu AB aralığındaki bir ilk sıfır değeri için en büyük değerini alıyorsa, 2 0 fiks sıfır noktasına ev hicks'in yerel maksimum noktası buradaki fiks sıfır değerine de fonksiyonun bu aralıktaki yerel maksimum değeri diyoruz.
Arkadaşlar şimdi uzun uzun n tanımladık.
Biz a b aralığında bir fonksiyon verildi.
Bu aralıktaki yani a kümesinde bir fonksiyon verili a b açık aralığında bu fonksiyon en büyük değerini aldığı noktaya biz yerel maksimum nokta diyoruz.
Oradaki en büyük değere de yerel maksimum değer diyoruz.
Aynı şekilde en küçük değerini alıyorsa buraya da yerel minimum nokta aldığı değere de yerel minimum değer diyoruz.
Grafik lerimize bakalım a b aralığında ev ve g fung ev fonksiyonu iki tane fonksiyonun grafiğini verdim.
Bakın fonksiyonun uzun grafiğini oldu arttı, arttı arttı maksimuma ulaştı.
Sonra azalığına geçti.
Burada azalıp azalıp minimuma ulaştı.
Sonra tekrar Tartan'a geçti.
Yani bir fonksiyonun maksimum minimum olması için arkadaşlar maksimum olması için ardandan azalığına geçmesi gerekir.
Minimum olması için de az alandan Tartan'a geçmesi gerekir.
Peki ardandan azalığına geçmek ne demek?
Türevi ni işareti pozitiften negatife geçmesi demek.
Yani türev ne zaman işaret değiştirdi?
Arkadaşlar kökünde işaret değiştirirdi mi?
Tek katlı köklerinde işaret değiştirir.
O yüzden fonksiyonun maksimum minimum noktaları türevi mizin kökleri dir.
Nasıl kökleri tek katlı kökleri dir.
Arkadaşlar çift katlı gökte işaret değiştirmez di mi?
Fonksiyon ardandan azalığına az alandan Artan'ın geçmez.
O yüzden tek katlı kök olması gerekir.
Bir de şöyle açıklayabiliriz maksimum olduğu noktada çizdiğim teğet nedir?
Ix eksenine paraleldir.
Minimum olduğu noktada çizdiğim teğet nedir ilk 80'ine paraleldir, ilk 80'ine paralel olan doğruların ekimleri sıfırdır arkadaşlar.
O yüzden yerel maksimum ve yerel minimum noktalarda türevi mi sıfırdır?
Ama oradaki kök tek katlı kök olmalıdır.
Çünkü iş adetimiz maksimum olduğunda abartıdan eksiye geçecek.
Türel'in işareti minimum olduğunda Türel'in işareti eksilen artıya geçmesi gerekir.
Bu da tek katlı kök lerle mümkündür.
Evet grafiğimiz inceleyelim yanda yetiştirebiliriz fonksiyonunun eksi 7 8 kapalı aralığında grafiği verildi.
Yerel maksimum minimum noktalar ile yerel maksimum minimum değerleri belirleyelim.
Şimdi burada zaten bakınca da gözüküyor.
Bakın şurada eksi dörtte fonksiyon arttı, arttı arttı.
Sonra hız alana geçti.
O zaman burası nedir?
Arkadaşlar maksimum değerdir.
Buradan çizdim teğet x eksenine paralel zaten burada maksimum noktamız dır.
O zaman şöyle diyelim maksimum yerel, maksimum.
Noktalarımız NELERDİR bir tanesi eksi dörde üç nokta saymış.
Başka bir nokta fonksiyonun artıp birden azalığına geçtiği yer şurası arkadaşlar burada beşe dokuz noktası.
Başka Maximum Var mı?
Burası da maksimum dur arkadaşlar tanımlı olduğu aralıktaki uç noktaları da maksimum minimum alabilirsiniz.
Yani sekize 10 noktası da bir yerel maksimum noktadır.
Yerel maksimum, yerel minimum noktalar birden fazla olabilir.
Arkadaşlar ve yerel maksimum noktaların en üst tekine en büyüğüne biz mutlak maksimum deriz.
Yani buradaki sekize 10 noktası fonksiyonun mutlak maksimum noktasıdır.
Şimdi yerel minimum ara bakalım yerel minimum noktalarımız o aralıktaki, o yerdeki minimum değerleri arıyorum.
Fonksiyon azalıp azalıp tekrar Artan'ın geçtiği yer.
Yani burası değil mi bu aralık bu noktada yani bire eksi 4 noktasında fonksiyonu muz minimum değer almış başka nerede minimum değer almış.
Bakın burada azaldı, sonra birden artmış artışa geçti.
O yüzden bu noktada da yani onun değerini vermemiş.
Biz onu da şöyle yazalım iki olsun burası 6'ya 2 noktasında fonksiyonu muz yerel minimum değerini almıştır.
Bir de tanımlı olduğu aralıktaki uç noktalarda doluyordu.
Eksi 7'de de şöyle eksi iki değerini alsın.
O zaman eksi 7'ye eksi iki noktası da bir yerel minimum noktadır.
Şimdi şuraya dikkat çekmek istiyorum.
Fonksiyonun türevi nin sıfır olduğu noktalar da, tek katlı kökler de yerel maksimum, yerel minimum vardır dedik.
Çünkü yerel maksimum ve yerel minimum noktalarda çizilen tespitlerimiz ilk 80'ine paralel olur.
Yani eğimle de sıfır olur dedik.
Bu yüzden türevi sıfıra eşit dediğimizde tek katlı kökler yerel maks veya yerel minimum noktadır.
Peki burada mesela 5'e dokuz noktası bakın orada sivri uç vardı, burada türev yok zaten.
Yani yerel maksimum yeren minimum noktalarda türev olmak zorunda değil.
Fonksiyon arttığı birden az alana geçiyorsa bir kırılma varsa orada.
O zaman da yerel maksimum, yerel minimum nokta olur.
Türev inin olması şart değildir arkadaşlar.
Bakın bu noktada türev yok, sivri uç var.
Bu noktada türev yok, sivri uç var ama yerel maksimum yerel minimum nokta var ve verilen aralığın uç noktalarında sınır noktalarında da yerel maksimum, yerel minimum vardır.
Arkadaşlar fonksiyon artarak başlıyorsa, buradaki gibi artarak başlıyorsa.
Burası yerel minimum nokta.
En son artık bittiyse burası da yerel maksimum nokta olmuş oldu.
Yerel maksimum, yerel minimum değerlere de bakalım.
Yerel maksimum değerlerimiz bunlar noktalar dı.
Şimdi yerel maksimum değerlerimiz fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktalar bunlar.
Zaten oradaki aldığı değerleri de yani üç, dokuz ve ona da üç, dokuz ve on değerleri de yerel maksimum değerlerdir.
Yerel minimum değerler.
Bunlar da aynı şekilde yerel minimum noktaların or din hatları da yerel minimum o yerdeki minimum değerlerdir.
Eksi 4 2 ve eksi 2 değerleri de yerel minimum değerler olur.
Arkadaşlar.
When.
Örneğimizde devam ediyorum.
Epic S işitir 2x küp x 6 x Kr, x 18'lik saati 4 fonksiyonunun yerel x sıramı noktalarının apsis değerini buluruz.
Ne demiştik?
Yerel x sıramı noktalarda türevi 0 yapan değerlere bakıyoruz ama tek katlı köklere bakacağım.
O yüzden bir tür ne alalım?
Eff türevi X eşittir 6 ilk kare.
Üçü başa indirdim bir azaltım eksi on iki x eksi on sekiz.
Bunun köklerini inceleyeceğim.
Altı parantezin alırsam IX kare eksi iki x eksi üç eşittir sıfır.
Burayı da IX x ve eksi 3'e 1 olarak çarpanlar ayıralım.
6 ilk eksi üç çarpı IX artı bir eşittir sıfır.
Sağa her çarpanı ayrı ayrı sıfıra işledim de ilk seksi üçü sıfıra işlediğinde x eşittir 3 elde ederim 2 artı 1 sıfıra işlediğinde ilk seçtiği eksi 1 elde ederim ve bunlar tek katlı kökler dir.
Bakın üstleri tek bunların değil mi?
Üstel çift olsaydı çift katlı kök olacaktı.
Şimdi işaret inceliyorum.
Eksi bir artan azalan da yaptığım gibi.
Bunlar tek katlı kökler arkadaşlar.
En sağa en büyük dereceli terimin yani IX.
Karenin işaretini yazıyorum.
O da pozitif kökler işaret değiştirir, kök de işaret değiştirir.
Bakın burada türev post silinmiş.
Bu artan anlamına gelir.
Azalan anlamına gelir.
Artan anlamına gelir.
Fonksiyon arttı, artı 2 eşittir.
Eksi 1'e geldiğinde maksimum oldu, sonra azalmaya başladı.
O yüzden burası yerel maksimum vardır burada.
Burada da azaldı azaldı.
Sonra artışa geçti.
Demek ki yerel minimum vardır.
Arkadaşlar bize apsis değerini soruyor.
Zaten yerel maksimum noktanın apsesi, eksi bir yerel minimum noktanın apsesi 3'tür.
Eğer noktaları sorsaydı ya da değerleri sorsaydı eksi 1 ve 3'ü fonksiyon da yerine yazmamız gerekirdi.
Sıkça Sorulan Sorular
Ekstremum ne demek?
Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının tamamı, fonksiyonun ekstremum noktaları olarak bilinir.
Yerel ekstremum noktası nasıl bulunur?
Yerel ekstremum noktalarını bulmak için yerel maksimum noktasına ve yerel minimum noktalarına bakmalıyız.
Yerel maksimum noktası ne demek?
(a, b) ⊂ A olmak üzere, f(x) fonksiyonu (a, b) aralığındaki bir x0 değeri için bu aralıktaki en büyük değerini alıyorsa (x0, f(x0)) noktası, f(x)’in yerel maksimum noktasıdır.
Aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi, yerel maksimum noktasının bir tepe görüntüsü oluşturduğunu söyleyebiliriz.
Yerel minimum noktası ne demek?
(a, b) ⊂ A olmak üzere, f(x) fonksiyonu (a, b) aralığındaki bir x0 değeri için bu aralıktaki en küçük değerini alıyorsa (x0, f(x0)) noktası, f(x)’in yerel minimum noktasıdır.
Aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi, yerel minimum noktasının bir çukur görüntüsü oluşturduğunu söyleyebiliriz.
Mutlak maksimum noktası nedir? Mutlak maksimum değeri nedir?
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki en büyük değerini aldığı noktaya mutlak maksimum noktası, en büyük değerine ise mutlak maksimum değeri denir.
Mutlak minimum noktası nedir? Mutlak minimum değeri nedir?
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki en küçük değerini aldığı noktaya mutlak minimum noktası, en küçük değerine ise mutlak minimum değeri denir.
Ekstremum noktaları özellikleri nelerdir?
- Bir fonksiyonun tanımlı olmadığı noktada ekstremum noktası aranmaz.
- Türevlenebilir bir fonksiyonun ekstremum noktalarından çizilen teğetin eğimi x eksenine paralel olduğundan, bu teğetlerin eğiminin sıfır olduğunu biliyoruz. Bu nedenle türevlenebilir bir fonksiyonun ekstremum noktalarında türev sıfırdır.
- Türevlenebilir bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu her nokta ekstremum noktasıdır demek doğru değildir.
- f’(x) = 0 denkleminin kökü yoksa ya da yalnızca çift katlı kök bulunuyorsa f(x) fonksiyonu daima artan ya da daima azalan bir fonksiyondur. Daima artan ya da daima azalan fonksiyonların ekstremum noktaları yoktur.
- Bir fonksiyonun ekstremum noktalarını nasıl bulacağımızla ilgili bir ipucu: Eğer türevin işareti x0 noktasında “+” dan “- ” ye değişirse (fonksiyon artan fonksiyondan azalan fonksiyona dönüşürse) x0 noktası yerel maksimum, “-” den “+” ya değişirse (fonksiyon azalan fonksiyondan artan fonksiyona dönüşürse) x0 noktası yerel minimum noktasıdır. Eğer türevin işareti değişmezse x0 noktasında ekstremum yoktur.
