Merhaba arkadaşlar, bu videomuzda türevin geometrik yorumunda size grafik ve teğet verildiğinde sorular nasıl çözülür onu anlatacağız.
Yanda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verildi, d=f(x) eğrisine, A noktasına teğettir ve d doğrusu y eksenini (0,1) noktasında kesmektedir.
Buna göre g(x) fonksiyonuna x=4 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimini bulunuz.
Dikkat edin şurası ne demek arkadaşlar?
g(x)'e x=4'ten çizilen çizilen teğetin eğimi soruluyor.
O halde cevap g'(4)'tür değil mi?
O zaman biz g(x)'nin türevini alalım.
g'(x) eşittir, çarpımı türev kullanacağım, birinci çarpanın türevi 2x+1 çarpı ikinciyi aynen yazdınız.
Araya artı koyup ikinci çarpanın türevi çarpı birinci çarpan aynen yazdınız, (x^2+x+3).
x yerine 4 koyduğumuzda cevabı bulacağız arkadaşlar.
x yerine dördü yazdım.
(2x+1)'e dört yazarsanız 9.f(4) + f'(4).23 burada dördü yerine yazdığınızda on altı yirmi 23 elde ederiz.
Evet, şimdi f(4) dört kaçtır?
Bakın grafiğin üzerinde zaten (4,5) noktası verildi.
Yani x yerine dört yazdığınızda beş elde ediliyor.
Buradan f(4)'ün beş olduğunu söyleyebiliriz.
f'(4) nedir?
f(x) eğrisine x=4 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi demektir değil mi?
Zaten bize verilen d doğrusu da bu değil mi?
Yani d doğrusunun eğimi, Md diyelim, d doğrusunun eğimi f'(4)'e eşittir.
Geçtiği iki nokta biliniyor.
Bakın d doğrusunu (0,1) noktasından geçiyor.
O yüzden 5-1, iki noktası bilinen doğrunun eğimi yapıyorum, bölü 4-0.
4/4'ten eğimin 1 olduğunu buldum.
Buraya da biri yazdığınızda işlemlerimizi yapalım.
9 çarpı 5'ten 45 burası artı bir çarpı 23 cevabımız 68 arkadaşlar.
g(x) fonksiyonuna x= 4 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi 68'miş.
Bakalım diğer örneğimize.
y=f(x) fonksiyonumuzun grafiği ve üzerindeki A(3,4) noktasındaki teğeti verilmiştir.
Yine bir fonksiyon verildi g(x)=f^2(x+1) ise g'(2) kaçtır?
O zaman biz bir G'nin türevini bulalım.
g'(x) arkadaşlar önce ne yaparız, üst varsa hemen üstü başa indirin demiştik 2'yi başa indirirken ama f'in türevini almıyorduk.
Sonra çarpım olarak f'(x+1) sonra x+1'in türevi, bunun da içi var, için türevinde (x+1)'in türevi birdir.
Çarpı 1 olarak onu yazmıyorum.
x yerine 2'yi yazalım.
g'(2) eşittir iki çarpı f(3) çarpı f'(3) ve f(3)'ün yine 4 olduğu verilmiş.
Bakın eğrinin üzerinde A(3,4) noktası, demek ki 3 yazınca 4 yapacak, f(3)=4'tür.
f(3)'te yine aynı şekilde geometrik olarak yorumunu yaptığınızda y=f(x) fonksiyonuna x=3 apisli noktadan çizilen teğetin eğimidir.
Zaten o teğet de d doğrusu değil midir yine.
O zaman d doğrusunun eğimi, bu sefer d doğrusunun eğilimini bulmam için bakın bana burada bir açı verdi ama tanjant 45 değil değil mi?
x eksenine yapılan pozitif yönlü açı yani 135'in tanjantını alacağım.
O zaman doğrumuzun eğimi tanjant 135'tir.
135İin tanjantı da -1'dir.
Yani buradaki eğimimiz de -1.
Çarparsanız bu sayıları 2 var 4 var -1 var üçünün çarpımı da -8'dir arkadaşlar.
Evet son bir örneğimiz daha var.
Yine f(x) ve d'yi verdik.
d doğrusu y=f(x) fonksiyonunun grafiğine A(3,a) noktasında teğettir.
d doğrusunun eksenleri kestiği noktalar b ve c noktalarıdır.
Yine bir g fonksiyonu verdim ve g fonksiyonuna x=3 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?
Bize ne soruluyormuş, yine öğrendik artık burayı.
g'(3) soruluyormuş.
g'(x)'i alalım.
Birincinin türevi, biraz daha aşağıya mı yazalım onu, g'(x).
Yine çarpımının türevi birinci çarpanın türevi 2x çarpı ikinci aynen yazdım artı ikinci çarpanın yani f'(x) çarpı birinciyi aynen yazdım, (x^2+4).
x yerine üç yazarsam bana g'(3) soruluyordu.
6 çarpı f(3) artı f'(3) çarpı x yerine burada üç yazdığımızda 9 artı 4'ten buranın da 13 olduğunu buldum.
Evet f(3), bakın bir önceki sorularda o noktayı vermişti, ordinatı vermişti.
f(3)=a'dır.
Peki a'yı nasıl bulacağım?
Bu nokta, A noktası, d doğrusunun da üzerinde.
O halde d doğrusunun denklemini bulursanız x' e 3 yazdığınızda a'yı bulursunuz.
d doğrusunun denklemi orayı hatırlayalım.
Eksenleri kestiği noktalar verilmişse doğrunun denklemi nasıl bulunurdu?
x bölü x'i kestiği nokta artı y bölü y'yi kestiği nokta eşittir bir diyerek bu doğrunun denklemini buluruz.
Payda eşitleyip bu denklemi düzenliyorduk falan.
Burada düzenlemeye gerek yok zaten x yerine üç yazıp ben ordinatı arıyorum.
x yerine üç yazım y yerine de a yazdım.
3 bölü -3 artı a bölü 2 eşittir -1.
-1 artı a/2 eşittir, şurası artı 1'de, +1 buradan a/2 eşittir 2, yani a eşittir 4 olmalıdır, arkadaşlar.
Ordinatımız 4'müş.
Yani bakın bu nokta f'in de üzerinde sonuçta yani f(3)'ün 4 olduğunu buldum.
Şimdi bunları yazalım.
6 çarpı f(3) yani 4 artı f'(3).
f'(3) de x=3 apsesli noktadan çizilen teğetin eğimidir.
Yani yine de doğrusunun eğimidir.
Bu sefer de d doğrusu eğimini buldurmak için iki nokta var yine ve eksenleri kesti noktalar.
Buraya ben Alfa dersem, Md diyelim buraya, Md nedir?
Tanjant alfadır.
Tanjant alfa karşısı iki birim bakın komşusu da üç birim, 2/3'tür.
Yani f'(3) 2/3 olmalıdır.
O zaman 2/3 çarpı 13 dedim buraya da.
Cevabımız 24 artı 26/3.
Payda eşitlerseniz 72 artı 26 bölü 3 elde ederim.
Kaç oldu o da, 98/3 sorumuzun cevabıdır arkadaşlar.
Yanda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verildi, d=f(x) eğrisine, A noktasına teğettir ve d doğrusu y eksenini (0,1) noktasında kesmektedir.
Buna göre g(x) fonksiyonuna x=4 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimini bulunuz.
Dikkat edin şurası ne demek arkadaşlar?
g(x)'e x=4'ten çizilen çizilen teğetin eğimi soruluyor.
O halde cevap g'(4)'tür değil mi?
O zaman biz g(x)'nin türevini alalım.
g'(x) eşittir, çarpımı türev kullanacağım, birinci çarpanın türevi 2x+1 çarpı ikinciyi aynen yazdınız.
Araya artı koyup ikinci çarpanın türevi çarpı birinci çarpan aynen yazdınız, (x^2+x+3).
x yerine 4 koyduğumuzda cevabı bulacağız arkadaşlar.
x yerine dördü yazdım.
(2x+1)'e dört yazarsanız 9.f(4) + f'(4).23 burada dördü yerine yazdığınızda on altı yirmi 23 elde ederiz.
Evet, şimdi f(4) dört kaçtır?
Bakın grafiğin üzerinde zaten (4,5) noktası verildi.
Yani x yerine dört yazdığınızda beş elde ediliyor.
Buradan f(4)'ün beş olduğunu söyleyebiliriz.
f'(4) nedir?
f(x) eğrisine x=4 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi demektir değil mi?
Zaten bize verilen d doğrusu da bu değil mi?
Yani d doğrusunun eğimi, Md diyelim, d doğrusunun eğimi f'(4)'e eşittir.
Geçtiği iki nokta biliniyor.
Bakın d doğrusunu (0,1) noktasından geçiyor.
O yüzden 5-1, iki noktası bilinen doğrunun eğimi yapıyorum, bölü 4-0.
4/4'ten eğimin 1 olduğunu buldum.
Buraya da biri yazdığınızda işlemlerimizi yapalım.
9 çarpı 5'ten 45 burası artı bir çarpı 23 cevabımız 68 arkadaşlar.
g(x) fonksiyonuna x= 4 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi 68'miş.
Bakalım diğer örneğimize.
y=f(x) fonksiyonumuzun grafiği ve üzerindeki A(3,4) noktasındaki teğeti verilmiştir.
Yine bir fonksiyon verildi g(x)=f^2(x+1) ise g'(2) kaçtır?
O zaman biz bir G'nin türevini bulalım.
g'(x) arkadaşlar önce ne yaparız, üst varsa hemen üstü başa indirin demiştik 2'yi başa indirirken ama f'in türevini almıyorduk.
Sonra çarpım olarak f'(x+1) sonra x+1'in türevi, bunun da içi var, için türevinde (x+1)'in türevi birdir.
Çarpı 1 olarak onu yazmıyorum.
x yerine 2'yi yazalım.
g'(2) eşittir iki çarpı f(3) çarpı f'(3) ve f(3)'ün yine 4 olduğu verilmiş.
Bakın eğrinin üzerinde A(3,4) noktası, demek ki 3 yazınca 4 yapacak, f(3)=4'tür.
f(3)'te yine aynı şekilde geometrik olarak yorumunu yaptığınızda y=f(x) fonksiyonuna x=3 apisli noktadan çizilen teğetin eğimidir.
Zaten o teğet de d doğrusu değil midir yine.
O zaman d doğrusunun eğimi, bu sefer d doğrusunun eğilimini bulmam için bakın bana burada bir açı verdi ama tanjant 45 değil değil mi?
x eksenine yapılan pozitif yönlü açı yani 135'in tanjantını alacağım.
O zaman doğrumuzun eğimi tanjant 135'tir.
135İin tanjantı da -1'dir.
Yani buradaki eğimimiz de -1.
Çarparsanız bu sayıları 2 var 4 var -1 var üçünün çarpımı da -8'dir arkadaşlar.
Evet son bir örneğimiz daha var.
Yine f(x) ve d'yi verdik.
d doğrusu y=f(x) fonksiyonunun grafiğine A(3,a) noktasında teğettir.
d doğrusunun eksenleri kestiği noktalar b ve c noktalarıdır.
Yine bir g fonksiyonu verdim ve g fonksiyonuna x=3 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?
Bize ne soruluyormuş, yine öğrendik artık burayı.
g'(3) soruluyormuş.
g'(x)'i alalım.
Birincinin türevi, biraz daha aşağıya mı yazalım onu, g'(x).
Yine çarpımının türevi birinci çarpanın türevi 2x çarpı ikinci aynen yazdım artı ikinci çarpanın yani f'(x) çarpı birinciyi aynen yazdım, (x^2+4).
x yerine üç yazarsam bana g'(3) soruluyordu.
6 çarpı f(3) artı f'(3) çarpı x yerine burada üç yazdığımızda 9 artı 4'ten buranın da 13 olduğunu buldum.
Evet f(3), bakın bir önceki sorularda o noktayı vermişti, ordinatı vermişti.
f(3)=a'dır.
Peki a'yı nasıl bulacağım?
Bu nokta, A noktası, d doğrusunun da üzerinde.
O halde d doğrusunun denklemini bulursanız x' e 3 yazdığınızda a'yı bulursunuz.
d doğrusunun denklemi orayı hatırlayalım.
Eksenleri kestiği noktalar verilmişse doğrunun denklemi nasıl bulunurdu?
x bölü x'i kestiği nokta artı y bölü y'yi kestiği nokta eşittir bir diyerek bu doğrunun denklemini buluruz.
Payda eşitleyip bu denklemi düzenliyorduk falan.
Burada düzenlemeye gerek yok zaten x yerine üç yazıp ben ordinatı arıyorum.
x yerine üç yazım y yerine de a yazdım.
3 bölü -3 artı a bölü 2 eşittir -1.
-1 artı a/2 eşittir, şurası artı 1'de, +1 buradan a/2 eşittir 2, yani a eşittir 4 olmalıdır, arkadaşlar.
Ordinatımız 4'müş.
Yani bakın bu nokta f'in de üzerinde sonuçta yani f(3)'ün 4 olduğunu buldum.
Şimdi bunları yazalım.
6 çarpı f(3) yani 4 artı f'(3).
f'(3) de x=3 apsesli noktadan çizilen teğetin eğimidir.
Yani yine de doğrusunun eğimidir.
Bu sefer de d doğrusu eğimini buldurmak için iki nokta var yine ve eksenleri kesti noktalar.
Buraya ben Alfa dersem, Md diyelim buraya, Md nedir?
Tanjant alfadır.
Tanjant alfa karşısı iki birim bakın komşusu da üç birim, 2/3'tür.
Yani f'(3) 2/3 olmalıdır.
O zaman 2/3 çarpı 13 dedim buraya da.
Cevabımız 24 artı 26/3.
Payda eşitlerseniz 72 artı 26 bölü 3 elde ederim.
Kaç oldu o da, 98/3 sorumuzun cevabıdır arkadaşlar.
