Çarpımın ve Bölümün Logaritması

Merhaba Sevgili Gençler.
Bu videomuzda logaritmanın özellikleriyle devam ediyoruz.
Örneğimizde logaritma 2 tabanında x küp eşittir y ise logaritma 4 tabanında x'in y türünden değerini bulacağız.
Öncelikle burada x küp var.
Üslü bir ifade varsa bu üstü logaritmanın özelliğinden başa indirebiliyorduk arkadaşlar.
Üçü şu logaritmanın başına indirdiğinizde üç logaritma iki tabanında x eşittir y'dir.
Her iki tarafı üçe bölerseniz buradan logaritma iki tabanında x'in y bölü 3 olduğunu bulduk.
Burası dursun.
Bizden istenen ifadeyi logaritma iki tabanında x şeklinde yazalım ki onun yerine y bölü 3 yazabilelim.
O halde bakın birinde tabanımız iki, diğerinde tabanımız dört bu dördü ikiye çevireceğim şimdi.
Logaritma 4 yerine 2'nin karesi yazıyorum.
İçerisi X ve tabanda üstü bir ifade olduğunda bu üs ne olacaktı?
Paydaya gelecekti.
Dışarıya çıkardığımızda paydada olacaktı.
O yüzden buraya iki yazdım.
Payımız bir.
Logaritma x.
Evet logaritma iki tabanında x'i bulduk.
Bunun yerine y bölü 3 yazarsam bir bölü 2 Logaritma, iki tabanında x'ti.
Logaritma iki tabanda x yerine y bölü 3 yazmıştım.
Çarptığınızda bir çarpı y bölü iki çarpı 3 de 6 yaptı.
Yani logaritma 4 tabanda x'in y türünden değeri y bölü 6 imiş arkadaşlar.
Evet yeni bir özellik yine bunu da çok kullanacağız.
Logaritmada çarpımın ve bölümün logaritmaları.
Arkadaşlar logaritmanın içinde çarpma işlemi yapılmışsa biz logaritmayı araya artı koyarak ayrı ayrı yazabiliriz.
Bölme yapılmışsa içerde logaritmayı ayırarak araya eksi koyabiliriz.
Çarpma ise artı koyuyoruz, bölme ise eksi koyuyoruz.
Evet logaritma iki çarpı beş demişiz tabanımız on.
Biz bunu logaritma iki artı, logaritma beş olarak ayırabiliriz.
Arada çarpma var çünkü.
Diğerinde de bakın bölme işlemi yapılmış.
O halde logaritma üç tabanında beş.
Bölme yapıldığı için eksi koydum.
Logaritma üç tabanında iki olarak ayırdım arkadaşlar.
Evet, bu örneğimizde de ayrı olarak verildi.
Ben bunları birleştireceğim ve dikkat edin tabanlar aynı verilmesi gerekiyor.
Tabanlar farklıysa işlem yapamayız arkadaşlar.
Örneğin logaritma iki tabanında beş dedi.
Bir de logaritma üç tabanında yedi dedi.
Tabanları aynı olmadığı için bunlar birleştirilemez bu şekilde bırakırız.
Bir işlem yapamayız bunlarla ilgili.
Evet şimdi a şıkkına dönelim.
Tabanları aynı, ikisinin tabanı da on.
Arada artı var.
O yüzden biz bunu logaritma on tabanında üç çarpı beş olarak yazabiliyoruz.
Yani cevabımız logaritma 15 dir arkadaşlar.
b şıkkında yine tabanları aynı logaritma 15 tabanında üç çarpı yetmiş beş olarak yazabiliriz.
Arada artı olduğu için çarpıma çevirdim.
Bu da nedir?
Logaritma on beş tabanında iki yüz yirmi beş dir.
Bakın burada sayılar arasındaki ilişkiye dikkat edin.
225 nedir?
On beşin karesidir.
O zaman logaritma 15 ve 225 yerine 15'in karesi yazıyorum.
Buradaki üs ne olacaktı?
Bu üstü başa indirebiliyorduk.
Iki logaritma on beş tabanında on beş olarak yazdım ve biz on beş tabanında 15'in 1 olduğunu biliyoruz iki çarpı birden.
Cevabımız 2 dir arkadaşlar.
C şıkkına bakalım.
Bakın burada tabanları aynı değil ama aynı yapılabilir mi?
Evet, buradaki logaritma 4 tabanına 9'u şöyle yazalım.
Logaritma 4 yerine 2'nin karesini yazdım.
9 yerine 3'ün karesi yazdım.
Şimdi üstteki bu iki paya çıkar tabandaki bu iki de paydaya çıkar değil mi?
Ne oldu?
İçerisi logaritma üsleri gönderdikten sonra iki tabanında üç kaldı.
İki bölü iki bu ikiler sadeleşti.
Yani burası logaritma, iki tabanında üçmüş.
Bunun yerine artık şunun yerine logaritma, iki tabanında üç yazdım.
Diğeri de logaritma iki tabanında beşti.
Tabanları aynı oldu mu?
Evet o zaman bunları birleştirebiliriz, arada artı var.
Logaritma iki tabanında üç çarpı beş olarak birleştirdiğimiz logaritma iki tabanında on beş sonucumuzdur arkadaşlar.
D şıkkında bakın tabanları aynı logaritma yedi tabanında on var ve arada eksi var.
O yüzden bölüm ve cevabımız direkt logaritma yedi tabanında beş elde edildi arkadaşlar.
Son şıkkımız e şıkkında ne demişiz?
ln e üzeri yirmi bir.
Bakın yine bir üs gördünüz burada hemen bu üstü başa indirin arkadaşlar.
Yirmi bir ln e eksi buradaki beşi de başa indirdiğinizde üç dursun burada çarpı beşi başa indirdim.
ln e biz ln e'lerin bir olduğunu biliyoruz değil mi?
Tabanı e olan logaritma demekti ln.
Tabanda içi de aynı olduğunda cevabımız birdi.
O zaman buradan yirmi bir geldi, diğerinden de on beş arada eksi var ve sonucumuz altıdır arkadaşlar.
Evet, son örneğimizde bakın burada iki artı diye başladı.
Şimdi bu ikiyi logaritmaya çevirmen lazım.
Aradaki artıyı çarpma olarak çevirebilmek için.
O zaman hepsinin tabanı 3, bunu da logaritma 3 tabanında yazalım.
Logaritma 3 tabanında kaç 2'ye eşittir.
Yani üçün hangi kuvveti dokuz olacak?
Burası 3 üzeri 2 dediğinizde bakın 9 nedir?
3 üzere iki.
O zaman burası 2'ye eşittir.
Artı bu ikiyi de bakın burada katsayı olarak 2ler de kalmayacak.
Bu ikiyi de tekrar şu üste gönderelim arkadaşlar.
Logaritma 3 tabanında dördün karesi yaptım orayı da.
Logaritma 3 tabanında x artı 2 evet, ikisinin tabanı da 3 arada artı var.
Şurayı da dördün karesini de on altı olarak kullanacağım.
Şimdi logaritma üç tabanında dokuz çarpı on altı değil mi?
Burası böyle çıktı.
Bu da neye eşittir?
Logaritma üç tabanında yüz kırk dört dür arkadaşlar.
Logaritma üç tabanında x artı ikiye eşitmiş.
Tabanları aynı ise içleri de aynı olmalıdır.
144 eşittir x artı 2.
2'yi sol tarafa eksi iki olarak attığınızda x eşittir yüz kırk ikidir arkadaşlar.