Sıralı İkili Nedir?
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere, (x,y) şeklinde yazılan ifadelere sıralı ikili denir. Verilen (x,y) sıralı ikilisinde x birinci bileşen iken, y ikinci bileşendir.
x → birinci bileşen
y → ikinci bileşen
Sıralı ikililerde bileşenlerin sırası önemlidir.
Örneğin;
x ≠ y olmak üzere (x,y) ≠ (y,x)
(a,b) ve (c,d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise sıralı ikililer (a,b) = (c,d) şeklinde ifade edilir. Bu durumda a = c, b = d denir.
Sıralı İkililerin Eşitliği
İki sıralı ikilinin birinci bileşenleri birbirlerine, ikinci bileşenleri de birbirlerine eşit ise bu sıralı ikiler eşittir.
(a, b) ve (c, d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise bu durum (a, b) = (c, d) şeklinde gösterilir. Bu durumda a = c ve b = d olur.
ÖRNEK: (2x + 1 , 9) = (11, 3y) olduğuna göre x + y kaçtır bulalım
Eşit sıralı ikililerde aynı sıradaki bileşenler birbirine eşittir.
2x + 1 = 11 olur ve buradan x = 5 bulunur.
9 = 3y olur ve buradan y = 3 bulunur.
x + y = 5 + 3 = 8 olarak sonuç bulunur.
Kartezyen Çarpım Nedir?
A ve B boş kümeden farklı olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B şeklinde gösterilir.
A x B kümesi ortak özellik yöntemi ile;
A x B = {(a,b) | a ∈ A Λ b ∈ B} şeklinde ifade edilir.
Örneğin;
A = {a,b,c}
B = {1,2} ise
A x B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
A x B = {(1,a),(2,a),(1,b),(2,b),(1,c),(2,c)}
B x B = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} olur.
Kartezyen Çarpım Özellikleri
- A ve B birbirinden farklı iki küme ise A x B ≠ B x A
- A x ∅ = ∅ x A = ∅
- s(A x B) = s(A)*s(B) dir.
- s(A x B) = s(B x A) dir.
- A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
- A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
- A×(B – C) = (A×B) – (A×C)
- A×A =A2, A×A×A =A3, …
- (a,b) = (c,d) ise a = c ve b = d olmak zorundadır.
Kartezyen Çarpımı İşlem Kuralları
- Bir kümenin boş küme ile kartezyen çarpımı yine boş kümedir.
- A ve B kümelerinin birer alt kümesi olan iki kümenin kartezyen çarpımı, A ve B kümelerinin kartezyen çarpımının alt kümesidir.
- Dört kümenin kesişim kümelerinin kartezyen çarpımı, kartezyen çarpımlarının kesişim kümesine eşittir.
Kartezyen Çarpım Eleman Sayıları
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
Örneğin; 4 elemanlı A ve 5 elemanlı B kümelerinin kartezyen çarpımının 20 elemanlı olduğunu kartezyen çarpımının liste şeklinde yazılışındaki eleman sayısı ve Venn şeması gösterimindeki ok sayısı ile teyit edebiliriz.
Kartezyen Çarpım Nasıl Bulunur?
Verilen A ile B kümesinin, A kümesinden birinci bileşeni B kümesinden de ikinci bileşeni alınarak, sıralı ikili A x B kümesi oluşturulur. Yapılan işlemin tanımı ise Kartezyen çarpımı demektir.
Kümelerde Kartezyen Çarpım Nedir?
Kümelerde kartezyen çarpım, iki veya daha fazla kümenin her bir elemanının diğer küme elemanlarıyla tüm kombinasyonlarını içeren yeni bir küme oluşturma işlemidir. Kartezyen çarpım genellikle, küme elemanlarının sıralı çiftler halinde eşleştirilmesiyle elde edilir.
Boş Kümenin Kartezyen Çarpımı
Bir kümenin boş küme ile kartezyen çarpımı yine boş kümedir ve kümelerinin birer alt kümesi olan iki kümenin kartezyen çarpımı, ve kümelerinin kartezyen çarpımının alt kümesidir.
Çoklu Kümenin Kartezyen Çarpımı
Çoklu kümenin kartezyen çarpımı, birden fazla kümenin elemanları arasındaki tüm olası kombinasyonları içeren yeni bir küme oluşturmak anlamına gelir. Bu işlem, her bir küme elemanının diğer küme elemanlarıyla birleştirilmesiyle gerçekleştirilir.
Kümelerde Kartezyen Çarpımı İşlem Özellikleri Nelerdir?
1) AxB ≠ BxA
Kartezyen çarpımda değişme özelliği yoktur.
2) Ax∅ = ∅xA = ∅
Bir kümenin boş küme ile kartezyen çarpımı boş kümedir.
3) s(AxB) = s(A) . s(B)
A ile B’nin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları çarpımına eşittir.
4) Ax(B ∩ C) = (AxB) ∩ (AxC)
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği vardır.
5) Ax(B ∪ C) = (AxB) ∪ (AxC)
Kartezyen çarpımın birleşim üzerine dağılma özelliği vardır.
Kartezyen Çarpım Grafiği Nasıl Çizilir?
R2 = R x R = {(x,y) | x ∈ R} kümesinin oluşturduğu düzleme dik koordinat sistemi denir.
Kartezyen çarpımı sonucunda elde ettiğimiz sıralı ikililerin koordinat sisteminde birer nokta olarak göstererek kartezyen çarpımın grafiğini elde ederiz.
Örneğin
A = {-1,0,1}
B = {-2,2}
A x B kümesini grafik ile gösterelim.
Öncelikle kartezyen çarpım kümesini yazalım.
A x B = {(-1,-2),(-1,2),(0,-2),(0,2),(1,-2),(1,2)} olur.
Daha sonra bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim.
Kartezyen çarpımın grafiksel gösterimini elde etmiş olduk.
Kartezyen Çarpım Çözümlü Sorular
Soru 1: A = {1,2} , B = {x,y} ve C = {a,b} olsun. A×B×C kartezyen çarpımını bulun.
A×B×C = {(1,x,a) , (1,x,b) , (1,y,a) , (1,y,b) , (2,x,a) , (2,x,b) , (2,y,a) , (2,y,b)}
Soru 2: X = {a,b} , Y = {1,2,3} ve Z = {p,q} olsun. X×Y×Z kartezyen çarpımını bulun.
X×Y×Z = {(a,1,p) , (a,1,q) , (a,2,p) , (a,2,q) , (a,3,p) , (a,3,q) , (b,1,p) , (b,1,q) , (b,2,p) , (b,2,q) , (b,3,p) , (b,3,q)}
Soru 3: (2x – 5 , 4y + 5) = (5 , 25) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
2x – 5 = 5 ise 2x = 10 demektir. Yani x = 5 gelir.
4y + 5 = 25 ise 4y = 20 demektir. Yani y = 5 gelir.
x + y = 5 + 5 = 10