Bileşke ve Ters Fonksiyon Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon konu anlatımı ve soru çözümü Kunduz eğitmenimiz tarafından hazırlandı! Fonksiyonlar hakkında bilmen gerekenler burada!

4 dakikalık okuma
Kunduz Eğitmen tarafından yazıldı, 4.01.2022
Bileşke ve Ters Fonksiyon Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

Hesap Oluştur

Ücretsiz kaydol, sınırsız video içerikler ve soru çözümleri ile sınava hazırlan!

ÜCRETSİZ KAYDOL

 

Fonksiyon konusu, hem TYT Matematik hem de AYT Matematik için önemli bir konu. Pek çok alt başlığa sahip olması sebebiyle, çalışması da özen gerektiren bir konu. Dolayısıyla pek çok soru tipini barındırdığını görüyoruz. Fonksiyon konusu için önceki yazımızda giriş yapmıştık ve Fonksiyon Türleri konu anlatım yazımızda Bileşke ve Ters Fonksiyon’dan bahsetmiştik. Şimdi biraz daha derinlemesine inceliyoruz, fonksiyon nedir? Birim fonksiyon nedir? Bileşke fonksiyon nedir? Bu sorularınızı cevaplıyoruz!

Bu konu anlatımı, Kunduz eğitmenlerimizden Yunus Hoca tarafından hazırlandı. Yunus Hoca, Sakarya Üniversitesi Matematik bölümü mezunu. 10 yıldır Matematik ve Geometri öğretmenliği yapıyor. Uzun süredir soru yazarlığı ve özel derslerine devam etmekte. TYT, AYT, KPSS, DGS ve üniversite öğrencileri için Matematik dersleri vermekteyim.

Bileşke ve Ters Fonksiyon

Bileşke Fonksiyon

f A’dan B’ye, g ise B’den C’ye bir fonksiyon olsun. Yani f’nin görüntü kümesi, g’nin tanım kümesi olsun. Bu durumda A’dan C’ye bir gof fonksiyonu mevcuttur.

bileşke

Bu durumda bizim yapmamız gereken, soldaki fonksiyonda gördüğümüz her x yerine sağdaki fonksiyonun tamamını yazmaktır. (Bileşke fonksiyonda en çok dikkat edilmesi gereken nokta budur.)

SAMPLE QUESTION

f: R→R ve f(x)=2x+5
g: R→R ve g(x)=3x-1
Bu durumda fog(x) ne olur?

SAMPLE ANSWER

fog(x)=f(g(x))=f(3x-1)=2(3x-1)+5
fog(x)= 6x-2+5=6x+3

Şimdi, buna benzer bir örnekle devam edelim.

Soru: Aşağıdaki fonksiyonlara göre gof(3) ne olur?

  • g: R→R ve f(x)=x2+2x
  • f: R→R ve f(x)=x-1
    • gof(x)=g(f(x))=g(x-1)
    • gof(x)=(x-1)2+2(x-1)
    • gof(3)=(3-1)2+2(3-1)=22+2.2=4+4=8

Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

  1. fog≠gof
    • Bileşke fonksiyonun değişme özelliği yoktur. f ve g fonksiyonlarının yerini değiştirirsek elde edeceğimiz fonksiyonlarda değişir.
  2. fogoh(x)=f(g(h(x)))
    • Bileşke fonksiyonun bileşkesi alınabilir. Bu durumda en sağdaki fonksiyonun tamamını ortadaki fonksiyonda yerine yazarız. Daha sonra da elde ettiğimiz fonksiyonu en solda yerine yazarız.
  3. foI(x)=Iof=f(x)
    • I birim fonksiyon olmak üzere, bir fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi yine fonksiyonun kendisine eşittir.

Bir Fonksiyonun Tersi

Burada ilk önce söylememiz gereken şudur: Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için fonksiyonumuz birebir ve örten olmalıdır. Eğer fonksiyon bu iki şartı sağlamıyor ise fonksiyonun tersi olmaz. O halde f: A→B fonksiyonu birebir ve örten olsun. O halde fonksiyonun tersi vardır ve f-1 şeklinde gösterilir. f-1 : B→A olur. Yani fonksiyonun tanım kümesi, f-1 ‘in görüntü kümesi, aynı şekilde f’in görüntü kümesi de f-1 ‘in tanım kümesi olur.

O halde kısaca şunu söyleyebiliriz: ters fonksiyon, bir fonksiyonun görüntü kümesinden alınan herhangi bir elemanını tanım kümesinden asıl haline  gönderen fonksiyona denir.

Tanım kümesinden bir “a” seçersek fonksiyonumuz bu “a” elemanını görüntü kümesinde “b” elemanına eşliyorsa, fonksiyonun tersinde “b” elemanını tanım kümemizdeki “a” elemanımıza eşlememiz gerekir.

f(a)=b olduğunda, f-1(b)=a olarak düşünülebilir.

Bir Fonksiyonun Tersini Bulma

Bir fonksiyonun tersi bulunurken öncelikle fonksiyonda y=f(x) olarak yazılıp x yalnız bırakılır. Daha sonra y gördüğümüz yere x ve x gördüğümüz yere de f-1(x) yazılır.

Doğrusal Fonksiyonun Tersini Bulma

Doğrusal fonksiyon dendiğinde aklımıza gelecek fonksyon: f(x)=ax+b şeklinde olan fonksiyonlardır.

doğrusal fonksiyonun tersi
SAMPLE QUESTION

f: A→B ve f(x)=3x+5 ise, f fonksiyonun tersi nedir?

SAMPLE ANSWER

(ax+b)/(cx+d) Şeklindeki Fonksiyonun Tersini Bulma

Bu biçimdeki bir fonksiyonun tersi bulunurken (x’li terimler payın ve paydanın solunda olmasına dikkat edilerek ) Sol üstteki “a” ile sağ alttaki “d” yer değiştirilir ve yer değiştirme yapılırken “a ile d” nin işaretleri de değiştirilir.  Yani:

Derecesi 1’den Farklı Fonksiyonların Tersini Bulma

Derecesi 1’den farklı demek, içinde x2, x3 gibi ifadeler bulunuyor demektir. Bunu da bir örnekle anlamaya çalışalım:

  • Örnek: f: R+ →R, f(x)=x2+4x+9 olsun Buna göre f-1 ne olur?
    • Bu tarz sorularda öncelikle bize verilen ifadeyi (ax+b)’nin kuvveti şeklinde yazmaya çalışırız. Kuvvet kaçıncı dereceden ise verilen ifade kuvvete göre düzenlenir.
ters fonksiyon hesaplama bileşke fonksiyon

Bileşke Fonksiyonun Tersi

  • fof-1=I ve f-1of=I olur.Yani bir fonksiyonun tersinin bileşkesi yine kendisidir.
  • (fog)-1(x)=g-1of-1(x) olur. Yani ters alırken sağdaki fonksiyon sola geçer.

Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon Konu Anlatımını Tamamladık!

Konuyu video olarak izlemek istersen Kunduz eğitmenleri Youtube kanalında senin için anlattı!

Bu konuyu tam olarak anlamak için senin de tahmin edeceğin üzere bol bol soru çözümü yapmak da çok önemli. Çünkü formüllerin nereden geldiğini kavrayıp öğrendikten sonra, soruların içinde nasıl yer aldığını görmen gerekiyor. Matematik Konu anlatımı yazımıza da göz attıktan ve kendi kaynaklarından sonra MEB Kaynaklarına da göz atmanı tavsiye ediyoruz.

☀️☀️☀️

Her ders için değişmeyen kilit nokta bol bol soru çözümü ile pratik yapmak. Çözemediğin sorulara yanıt bulmak istiyorsan sınava hazırlık sürecinde Kunduz hep yanında! Profesyonel eğitmenler tarafından hazırlanan Soru Çözümü, binlerce soru ve çözümden oluşan Soru Bankası hizmetlerimizden faydalanabilirsin. 

Sınava hazırlanmanın en kolay yolu

Sınırsız video içerikler ve soru çözümleri ile sınava hazırlan

ÜCRETSİZ KAYDOL