Oran Orantı Özellikleri

Merhabalar arkadaşlar, şimdi oran orantının  özelliklerini inceleyeceğiz.
Bakalım, oranların   paylarının toplamı paydalarının toplamına  bölünürse orantı sabiti değişmez.
Bakınız,   burada oranlar var, bunlar k orantı  sabitine eşit, oranları topladık.   Yani a+c , b+d topladığımızda arkadaşlar  burada orantı sabitimiz değişmeyecektir,   yine k olarak kalacaktır.
m sıfırdan farklı ve n  de sıfırdan farklı olmak üzere oranların biri m   ile diğeri n ile genişletip pay ve paydalar kendi  aralarında toplanırsa orantı sabiti değişmez.   Zaten pay ve paydalar kendi aralarında toplanması  üst taraftaki özellik, burada aslında verdiğimiz   özellik oranların birini m ile ve diğerini n  ile genişlettiğimizde yine oranın değişmeyeceği.   Şimdi bakınız, a/b ve c/d eşittir k.
Şimdi  bakınız burada a/b'yi m ile genişletmiş yani   sadece bir tanesini çarpmıyor, yani payı burada  m ile çarpıp paydayı bırakmıyor, ikisini birden,   ve burada da farklı bir sayıyla genişletmiş  olsun.
Aynı sayıda da genişletmiş olabilir,   fark etmez.
c/d de n ile genişletilmiş olsun.
O  zaman yine burada oran değişmez ve bu sefer yine   üstteki özelliği kullanacak olursanız, toplarsanız  oran yine değişmeyecektir.
Bakınız buna dikkat   etmemiz lazım ,bunun örneklerinde birazcık daha bu  gizlenebiliyor.
Yani buraya birazcık daha aslında   irdelemek lazım.
Peki oranlar çarpılırsa orantı  sabitinin bu sefer karesi elde edilir.
Şimdi,   a/b ve c /d eşittir k idi.
O zaman demek ki  bunları çarptığınızda buradan k'nın karesi   elde edilir.
Çünkü aslında buradan şunu  söylemiş oluyoruz arkadaşlar, bunu biz   a/b .
c/d şeklinde yazabiliyoruz ve bunlardan  bir tanesi k diğeri de k, çarptığınızda bakınız   burada k'nın karesini elde ediyorsunuz yani burada  şunu da söylemek istiyorum, a/b mesela burada  k orantı sabitine eşitse o zaman demek ki bunu   çarpmaya göre tersini aldığımızda yani yerlerini  değiştirdiğimizde b/a elde ettiğimizde bu sefer   orantı sabitinin de yerlerini değiştirmiş oluruz.  Şimdi örneklerine bakalım.
a/b = c/d = e/f = 3/4   bakınız orantı sabiti 3/4 burada, olduğuna  göre buradaki a çarpı c kare çarpı f bölü b   çarpı d kare çarpı e ifadesinin değeri kaçtır?
  Şimdi bakınız çok karışık gibi gözüküyor ama   dikkat ettiğinizde burada a/b olduğunu burada  c'nin karesi bölü d'nin karesi olduğunu burada   f bölü e olduğunu görürsünüz.
Yani aslında üst  taraftakileri buradaki kendileri veya ters halleri   var veya karesi var.
Ben bunu ayırmak istiyorum,  yani şöyle: a bölü b çarpı c'nin karesi bölü   d'nin karesi daha sonra f bölü e olarak yazmak  istiyorum.
Şimdi o zaman demek ki buradan şunu   söyleriz, a bölü b 3/4'e eşittir, o zaman demek  ki bunun yerine 3/4 yazdım, çarpı bakınız c'nin   karesi bölü d'nin karesi, yani aslında c bölü  d oranını iki kere çarpmış.
c kare bölü d kare,   o zaman demek ki bunu da iki kere çarpmak  zorundayız yani karesini almak durumundayız,   sonra burada ne elde edeceğiz biz?
e/f 3/4'se   f/e'yi elde edeceğiz.
Şimdi e/f'nin biz burada  göre terslerini aldığımızda f/e'nin de bu sefer  da yerine ben 4/3 yazıyorum.
O zaman demek  ki burada sadeleşmelerden şunlar gidecektir,   sadece orta taraftaki 9/16 sonucunu biz elde  etmiş olacağız.
Peki farklı bir örneğimiz,   x/y = z/t = 5/9 olduğuna göre x kare artı z  kare bölü y kare artı t kare ifadesinin değeri   kaçtır?
Şimdi bakınız sanki oranların karelerini  almış ve bunları toplamış, o zaman demek ki biz   de bu oranın karesini alsak yeterlidir sadece.  Çünkü toplamada orantı sabiti değişmiyordu ama   kare aldığımızda orantı sabitinin de karesini  alıyorduk.
O zaman demek ki biz direkt olarak   buradaki oranın 25/81'e eşit olduğunu söyleriz.  Çünkü 5/9'un karesi 25/81 yapacaktır.
Peki son   örneğimiz, şimdi ax = by = cz = 36.
1/x + 1/y +  değeri bize soruluyor.
Şimdi bakınız a + b + c'nin  değerini bulabilmek için bizim burada aslında şunu   elde edersek yapabiliyoruz gibi.
Buradan x,y ve  z'yi 36'nın altına atacak olursak yani aslında   ax=36 idi, ben burada her tarafı x'e böldüğümde  a eşittir buradan 36/x elde ediyorum, daha sonra   by eşittir burada 36'ydı, yine aynı şekilde  bu sefer b eşittir 36/y diyorum ve daha sonra   burada cz eşittir burada 36 ise o zaman yine aynı  şekilde 36/z'yi elde etmiş olacağım ben burada.   Peki bakınız bize a+b+c'yi soruyor, o zaman  biz bunları topladığımızda a+b+c elde ediyoruz,   sağ tarafta da bakınız 36/x, 36/y ve 36/z elde  ediyoruz.
O zaman 36 parantezine alacak olursak   orayı, bu sefer 1/x + 1/y + 1/z gelecektir  orada.
Bakınız 1/x + 1/y + 1/z'yi zaten   o zaman burada ne olacak?
36 vardı, buradaki  gördüğümüz ifadenin yerine 1/9 yazacağız.
Yani,   şöyle sadeleştirmeleri yaptığımızda bakınız a + b  + c'yi biz buradan 4 olarak elde etmiş oluyoruz.