Merhabalar arkadaşlar, şimdi oran ve orantının problemlerini inceleyeceğiz ve farklı soru tiplerine bakacağız.
Şimdi a,b,c ve x gerçek sayılar olmak üzere, arkadaşlar eğer soruda biz bir doğru orantı seziyorsak, yani doğru orantı olduğuna karar veriyorsak ve o ifadede a ile b, c ile de x arasında doğru oran varsa ve bunları bu şekilde yazılırsa, yazıldıktan sonra, biz bu sefer bunları çapraz çarparız.
Yani ne yaparız?
a ile x'i çarparız, b ile c'yi çarpmış oluruz. Bu şekilde biz oradaki x ifadesini bulmuş oluruz yani.
Bize burada aslında a verildi b verildi, c ile d verildi ve x'i soruyorsa ve biz doğru orantı olduğunu görüyorsak, yani burada biri artarken diğerinin de artması gerektiğini düşünüyorsak, o zaman demek ki burada çapraz bir çarpma yapacağız demektir ve x'i oradan bulacağız demektir.
Veya burada ters orantı varsa a ile b ve c ile x arasında ters orantı varsa, yani bu sefer burada şunu söyleyebiliriz: yani a buradan c'ye geçerken artarken, b'nin de x'e geçerken azalacağını düşünüyorsak veya a azalırken buradan, b'nin de x'e geçerken artacağını düşünüyorsak, o zaman demek ki burada ters orantı olduğunu düşünerek burada a ile b'yi çarpacağız ve c ile x'i çarpacağız ve bunları birbirlerine eşitleyerek yine buradaki x'i bulmuş olacağız.
Şimdi bakalım, ilk örneğimiz tabii birazcık daha farklı bir örnek.
Şimdi, Gökhan'ın çözdüğü soru sayısının Fatih'in çözdüğü soru sayısına oranı 5/2 ve Fatih'in çözdüğü soru sayısının Ömer'in çözdüğü soru sayısına oranı 4/7 olarak veriliyor.
Buna göre Gökhan'ın çözdüğü soru sayısının Ömer'in çözdüğü soru sayısına oranı kaçtır?
Şimdi ben bunları ilk harfleriyle göstereceğim.
Yani G, F ve Ö ile göstereceğim. Şimdi bize ilk başta şöyle verilmiş: G/F buradan F/Ö de burada 4/7 olarak veriliyor, F bölü burada Ö diyorum, bu da 4/7 olarak veriliyor ve daha sonra bize sorulan da burada G/Ö.
Şimdi tamam, sorulanı da burada soru işareti olarak yazalım. Şimdi arkadaşlar, bizim buradaki G/Ö'yü elde edebilmemiz için buradaki aralarında bir geçiş yapabilmemiz lazım.
Bakınız G'den Ö'ye bir geçiş yapabilmemiz lazım.
O da şöyle olacak: şimdi biz burada 5 ile F'nin yerlerini değiştirirsek, burada da 4 ile Ö'nün yerlerini değiştirirsek, yani şöyle bir şey elde ederiz: G/5 eşittir F/2 deriz ve aynı şekilde burada da bu sefer F/4, burada da ne elde etmiş oluruz?
Ö/7 elde etmiş oluruz.
Şimdi bakınız F burada ikisinin arasındaki bir geçiş noktası aslında, şimdi F burada 2 iken burada 4'le orantılı.
O zaman demek ki biz bunların aynı yapalım ki o ifadeleri, daha sonra G'den Ö'ye geçebilelim.
O zaman demek ki ben burada ne yapıyorum?
Burada her iki tarafın paydalarını 2 ile çarpıyorum, bir şey değişmez.
Yani şöyle olmuş olur artık bu, G/10 eşittir burası F/4 olmuş olur.
Bakınız, F/4'ü elde ettikten sonra o zaman demek ki ben burada ne yaparım?
Ö/7'yi elde etmiş olurum. Yani sonuçta bir geçişlik var burada.
O zaman ben ne yapacağım?
G'den Ö'ye geçmiş olacağım.
Aslında şunu yazacağım: G/10 diyeceğim, bu sefer Ö/7'yi elde edeceğim.
Ne yapacağız?
G/Ö lazım bize. O zaman demek ki buradaki Ö ile onun yerlerini değiştireceğiz.
Yerlerini de değiştirdiğimizde, o zaman elde ettiğimiz ifadenin 10/7 olduğunu söyleriz.
Yani Gökhan'ın çözdüğü soru sayısının Ömer'in çözdüğü soru sayısına oranı 10/7 olarak bulunmuş olur.
Peki diğer bir örneğimiz: Bir otelde 80 kişiye 20 gün yetecek kadar yiyecek vardır.
5 gün sonra otelden kaç kişi ayrılırsa kalan yiyecekler kalan kişilere 20 gün yeter?
Şimdi ilk önce 80 kişiye 20 gün yetecekti, normalde burada ne olacak 15 gün yetecek değil mi o yemekler?
Çünkü 5 gün geçti.
"Bu otelden kaç kişi ayrılırsa" diyor.
Ben diyorum ki x kişi ayrılsın.
X kişi ayrılırsa o zaman demek ki geriye şu kadar kişi kalır, kişi sayısı azalırsa burada gün sayısı artmaz mı?
Sonuçta daha az kişi yemek yiyecek.
O zaman demek ki artacak, değil mi?
Ben diyorum ki burada, not almış oluyorum.
Yani kalan kişilere 20 gün yetmesini istiyorum.
Şimdi buradan insan sayısı azalırken buradaki gün sayısı artacak. O zaman demek ki burada bir ters orantı var.
Ters orantı olduğunda karşılıklı çarpılıp eşitlenir, o şekilde vermiştik.
O zaman demek ki ben 80'le15'i çarpıp burada 80-x ile 20'yi çarpıyorum.
Şimdi, da bu tarafa aldım, 20 kaldı.
O zaman demek ki deriz biz.
Peki diğer bir örneğimiz: "Kapasiteleri aynı olan 4 işçi günde x + 15 metrekare, 7 işçi günde 2x-5 metrekare duvar örmektedir.
Buna göre x kaçtır?
" diyor.
Şimdi bakınız arkadaşlar burada işçi sayısı artmış.
Şimdi işçi sayısı artarsa o zaman günde ördüğümüz duvar sayısı artacaktır, değil mi?
Çünkü daha fazla kişi çalışacağı için daha fazla duvar örülür.
O zaman demek ki biz şurada yapacağımız işlem şöyledir, şimdi 4 işçi buradan x+15 metrekare duvar örüyor.
Ben burada duvar yazayım, x+15 duvar.
O zaman 7 işçi ne yapar diye düşünüyorum.
O da 2x-5 metrekare duvar olarak verilmiş.
Şimdi, işçi sayısı arttı.
O zaman örülen duvar da artacak.
O zaman demek ki "burada doğru orantı vardır" deriz.
Doğru orantı olduğunda çapraz çarpılıp eşitlenir.
O zaman demek ki burada şunu elde etmiş oluyoruz:7 ile x+15'i çarpacak olursam 7x artı 7 ile 15 çarpıldığında burada 105 gelecektir.
Daha sonra 2x-5 ile de 4'ü çarpıyorum, alayım, 7x'i de sağ tarafa alayım.
Burası 125 olacaktır, burada da x kalacaktır.
O zaman demek ki bakınız, x'i biz burada 125 olarak buluruz.
Şimdi a,b,c ve x gerçek sayılar olmak üzere, arkadaşlar eğer soruda biz bir doğru orantı seziyorsak, yani doğru orantı olduğuna karar veriyorsak ve o ifadede a ile b, c ile de x arasında doğru oran varsa ve bunları bu şekilde yazılırsa, yazıldıktan sonra, biz bu sefer bunları çapraz çarparız.
Yani ne yaparız?
a ile x'i çarparız, b ile c'yi çarpmış oluruz. Bu şekilde biz oradaki x ifadesini bulmuş oluruz yani.
Bize burada aslında a verildi b verildi, c ile d verildi ve x'i soruyorsa ve biz doğru orantı olduğunu görüyorsak, yani burada biri artarken diğerinin de artması gerektiğini düşünüyorsak, o zaman demek ki burada çapraz bir çarpma yapacağız demektir ve x'i oradan bulacağız demektir.
Veya burada ters orantı varsa a ile b ve c ile x arasında ters orantı varsa, yani bu sefer burada şunu söyleyebiliriz: yani a buradan c'ye geçerken artarken, b'nin de x'e geçerken azalacağını düşünüyorsak veya a azalırken buradan, b'nin de x'e geçerken artacağını düşünüyorsak, o zaman demek ki burada ters orantı olduğunu düşünerek burada a ile b'yi çarpacağız ve c ile x'i çarpacağız ve bunları birbirlerine eşitleyerek yine buradaki x'i bulmuş olacağız.
Şimdi bakalım, ilk örneğimiz tabii birazcık daha farklı bir örnek.
Şimdi, Gökhan'ın çözdüğü soru sayısının Fatih'in çözdüğü soru sayısına oranı 5/2 ve Fatih'in çözdüğü soru sayısının Ömer'in çözdüğü soru sayısına oranı 4/7 olarak veriliyor.
Buna göre Gökhan'ın çözdüğü soru sayısının Ömer'in çözdüğü soru sayısına oranı kaçtır?
Şimdi ben bunları ilk harfleriyle göstereceğim.
Yani G, F ve Ö ile göstereceğim. Şimdi bize ilk başta şöyle verilmiş: G/F buradan F/Ö de burada 4/7 olarak veriliyor, F bölü burada Ö diyorum, bu da 4/7 olarak veriliyor ve daha sonra bize sorulan da burada G/Ö.
Şimdi tamam, sorulanı da burada soru işareti olarak yazalım. Şimdi arkadaşlar, bizim buradaki G/Ö'yü elde edebilmemiz için buradaki aralarında bir geçiş yapabilmemiz lazım.
Bakınız G'den Ö'ye bir geçiş yapabilmemiz lazım.
O da şöyle olacak: şimdi biz burada 5 ile F'nin yerlerini değiştirirsek, burada da 4 ile Ö'nün yerlerini değiştirirsek, yani şöyle bir şey elde ederiz: G/5 eşittir F/2 deriz ve aynı şekilde burada da bu sefer F/4, burada da ne elde etmiş oluruz?
Ö/7 elde etmiş oluruz.
Şimdi bakınız F burada ikisinin arasındaki bir geçiş noktası aslında, şimdi F burada 2 iken burada 4'le orantılı.
O zaman demek ki biz bunların aynı yapalım ki o ifadeleri, daha sonra G'den Ö'ye geçebilelim.
O zaman demek ki ben burada ne yapıyorum?
Burada her iki tarafın paydalarını 2 ile çarpıyorum, bir şey değişmez.
Yani şöyle olmuş olur artık bu, G/10 eşittir burası F/4 olmuş olur.
Bakınız, F/4'ü elde ettikten sonra o zaman demek ki ben burada ne yaparım?
Ö/7'yi elde etmiş olurum. Yani sonuçta bir geçişlik var burada.
O zaman ben ne yapacağım?
G'den Ö'ye geçmiş olacağım.
Aslında şunu yazacağım: G/10 diyeceğim, bu sefer Ö/7'yi elde edeceğim.
Ne yapacağız?
G/Ö lazım bize. O zaman demek ki buradaki Ö ile onun yerlerini değiştireceğiz.
Yerlerini de değiştirdiğimizde, o zaman elde ettiğimiz ifadenin 10/7 olduğunu söyleriz.
Yani Gökhan'ın çözdüğü soru sayısının Ömer'in çözdüğü soru sayısına oranı 10/7 olarak bulunmuş olur.
Peki diğer bir örneğimiz: Bir otelde 80 kişiye 20 gün yetecek kadar yiyecek vardır.
5 gün sonra otelden kaç kişi ayrılırsa kalan yiyecekler kalan kişilere 20 gün yeter?
Şimdi ilk önce 80 kişiye 20 gün yetecekti, normalde burada ne olacak 15 gün yetecek değil mi o yemekler?
Çünkü 5 gün geçti.
"Bu otelden kaç kişi ayrılırsa" diyor.
Ben diyorum ki x kişi ayrılsın.
X kişi ayrılırsa o zaman demek ki geriye şu kadar kişi kalır, kişi sayısı azalırsa burada gün sayısı artmaz mı?
Sonuçta daha az kişi yemek yiyecek.
O zaman demek ki artacak, değil mi?
Ben diyorum ki burada, not almış oluyorum.
Yani kalan kişilere 20 gün yetmesini istiyorum.
Şimdi buradan insan sayısı azalırken buradaki gün sayısı artacak. O zaman demek ki burada bir ters orantı var.
Ters orantı olduğunda karşılıklı çarpılıp eşitlenir, o şekilde vermiştik.
O zaman demek ki ben 80'le15'i çarpıp burada 80-x ile 20'yi çarpıyorum.
Şimdi, da bu tarafa aldım, 20 kaldı.
O zaman demek ki deriz biz.
Peki diğer bir örneğimiz: "Kapasiteleri aynı olan 4 işçi günde x + 15 metrekare, 7 işçi günde 2x-5 metrekare duvar örmektedir.
Buna göre x kaçtır?
" diyor.
Şimdi bakınız arkadaşlar burada işçi sayısı artmış.
Şimdi işçi sayısı artarsa o zaman günde ördüğümüz duvar sayısı artacaktır, değil mi?
Çünkü daha fazla kişi çalışacağı için daha fazla duvar örülür.
O zaman demek ki biz şurada yapacağımız işlem şöyledir, şimdi 4 işçi buradan x+15 metrekare duvar örüyor.
Ben burada duvar yazayım, x+15 duvar.
O zaman 7 işçi ne yapar diye düşünüyorum.
O da 2x-5 metrekare duvar olarak verilmiş.
Şimdi, işçi sayısı arttı.
O zaman örülen duvar da artacak.
O zaman demek ki "burada doğru orantı vardır" deriz.
Doğru orantı olduğunda çapraz çarpılıp eşitlenir.
O zaman demek ki burada şunu elde etmiş oluyoruz:7 ile x+15'i çarpacak olursam 7x artı 7 ile 15 çarpıldığında burada 105 gelecektir.
Daha sonra 2x-5 ile de 4'ü çarpıyorum, alayım, 7x'i de sağ tarafa alayım.
Burası 125 olacaktır, burada da x kalacaktır.
O zaman demek ki bakınız, x'i biz burada 125 olarak buluruz.
