Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersimizde bir doğru parçasının belli bir oranda içten veya dıştan bölünmesiyle oluşan noktanın koordinatlarının bulunması konumuzla alakalı karışık sorular çözmeye devam edeceğiz.
Şekildeki ABC üçgeninde BD eşittir DC, AF eşittir FE eşittir ED olduğu bilindiğine göre E ve F noktalarının koordinatlarını bulunuz, demiş bize.
Şimdi hemen burada öncelikle ben BC'nin orta noktası olan D'nin koordinatlarını bularak sorunun çözümüne başlamak istiyorum.
Ne yapacağım?
D ile arkadaşlar -1'i toplayıp ikiye böleceğim, apsislerin aritmetik ortalaması.
Aynı şekilde -2 ile -4'ü toplayıp ikiye böleceğim ve böylelikle D'mizin koordinatlarını bulmuş olacağız.
7 eksi 1, 6 bölü olduk.
Şimdi diğer taraftan bunu şöyle yapacağım. Burada bir D'miz var, 3'e -3.
Sonra hemen yakınında bir E noktamız, hemen k birim uzaklıkta bir F noktamız, yine k birim uzaklıkta bir A(1, 3) noktamız var.
Bu hepsi birbirine eşitti ya.
Yani bunlara k, k, k desek hiçbir sakıncası yok. Buradan 3'ten 1'e ne yapmış arkadaşlar?
Artmış mı, azalmış mı?
Yani D'den A'ya bakıyorum, apsise.
3'ten azalırsa, k'de 2/3 azalır.
Her k'yi 2/3 azaltarak yeni noktamızın koordinatlarını bulacağız.
Yani şimdi E'ye bakıyorum.
3 sayısını ne yapacağım?
Bakın burada bir 3 var, 2/3 azaltacağım.
Yani apsisimiz, E noktasının apsisi.
Aynı şekilde isterseniz burada F'yi de hesaplayalım.
F'yi nasıl hesaplayacağız?
7/3'ü 2/3 daha azaltacağım, o da 5/3 olacak.
Değil mi?
Dolayısıyla, hatta bunu 2/3 daha azaltırsak 3 bölü 3'ten gelelim ordinatlara.
Ordinatlara bakalım, -3'ten +3'e 3k'de 6 birimlik bir artma var.
Demek ki k'de ne yapıyor bu?
2 artıyor demektir.
Şimdi -3'tü ya, öncelikle bunu 2 arttırdım -1 oldu.
-1'i de 2 arttırdım 1 oldu.
Bunu da 2 arttırırsam 3 olur, A'yı bulmuş olurum.
E noktasının koordinatları (7/3, -1), F noktasının koordinatları da (5/3, 1) olarak bulunmuş olur sevgili gençler deyip bir sonraki sorumuza geçebiliriz.
Koordinat düzleminde A(8, 0), B(0, 8) ve C(a/3, 3a) noktalarından geçen doğru gösterilmiştir.
Buna göre alan OAC kaç birim karedir, diye bize sormuş.
Şimdi dikkat ederseniz bana şuranın tamamını 8 vermiş.
Yine burayı da 8 vermiş.
Hemen C noktasının koordinatları yazayım. C noktasının koordinatları apsis yani şu kısım a/3, ordinat da yukarıdan aşağı indirdiğimiz noktalı uzunluk.
O da 3a'ymış.
Biliyorsunuz biz benzerlik kullanarak da koordinat bulabiliyorduk. Bunu da söylemiştik dersimizde.
Buraya eğer ben H noktası dersem, diyeceğim ki AH'nin tamamına yani Hemen onu çıkarıyorum.
AH'nin tamamı 8'e oranı eşittir, benzerlik yaparsam eğer CH'nin de OB'ye oranı.
Yani 3a'nın da 8'e oranı olmuş olur burası ve arkadaşlar bu eğer 8'ler kısalırsa, şunu karşıya attım 10a/3 eşittir 8 olur.
Hemen 2'ye böleyim her iki tarafı.
Şurası 5, şurası 4 olsun.
A dediğimiz o uzunluk 12/5 birim olacakmış ve bana sorduğu şey neydi?
Alan OAC üçgeni.
Hemen onun tabanına bakıyorum.
Tabanı AO ya da OA kadar 8.
1/2 çarpı taban çarpı yükseklik diyeceğim.
Yüksekliğim yapar?
36/5 yapar.
8'i 2'ye böldüm 4.
36 kere Birim kare olarak OAC üçgenimizin alanı bulunmuş olur diyoruz sevgili gençler.
Gelelim bir sonraki sorumuza.
Bir analitik düzlemde A(4, -1) ve B(-1, 3) noktalarının oluşturduğu doğru parçasını bir C noktası AC bölü BC 2/5 oranında dıştan bölüyormuş. Buna göre C'nin koordinatlarını istiyor.
Şimdi dıştan bölüm olayında C sağda ya da solda olabilir biliyorsunuz ama diyor ki A'nın C'ye uzaklığı 2 iken B'nin C'ye uzaklığı 5 olacak.
Demek ki B noktası C'ye uzak.
O zaman C'yi ben hemen sol uca yazıyorum.
A'ya daha yakın yazıyorum, B'yi sağ uca yazıyorum ki bunlar birbirlerine uzak olsunlar. Yani şurası ne kadarmış bakınız?
5k'ymiş.
AC koordinatları (4, -1).
B'nin koordinatları (-1, 3) C'nin koordinatlarına x ve y diyelim ve diyelim ki bakın şimdi A ve B'yi kullanarak artma azalmayı bulacağım.
Yine oran orantıdan çözeceğim soruyu.
4'ten -1'e 5 azalmış.
Yani 3k'de eğer 5 azalırsa yani -5 olursa, k'de -5/3 olur.
Burada A'dan C'ye yalnız 2k'lik bir uzunluk var.
O zaman x kadardı.
10/3 azalıp kaç olmuş arkadaşlar?
4 olmuş.
Karşıya attığımızda 3 kere 4 12, 10 daha ordinata bakacağız arkadaşlar.
-1'den 3'e bu sefer artmış.
Kaç artmış?
4.
Demek ki 3k'de eğer y kadardı.
Ben bunu gidip 8/3 arttırıp -1 buldum.
Attım karşıya, ne yapar o da?
-11/3 olur C noktamızın ordinatı.
Demek ki hemen C'nin koordinatlarını yazıyorum.
Apsisim 22/3, ordinatım ise -11/3 olarak bulunmuş oldu sevgili arkadaşlar ve bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersimizde bir doğru parçasının belli bir oranda içten veya dıştan bölünmesiyle oluşan noktanın koordinatlarının bulunması konumuzla alakalı karışık sorular çözmeye devam edeceğiz.
Şekildeki ABC üçgeninde BD eşittir DC, AF eşittir FE eşittir ED olduğu bilindiğine göre E ve F noktalarının koordinatlarını bulunuz, demiş bize.
Şimdi hemen burada öncelikle ben BC'nin orta noktası olan D'nin koordinatlarını bularak sorunun çözümüne başlamak istiyorum.
Ne yapacağım?
D ile arkadaşlar -1'i toplayıp ikiye böleceğim, apsislerin aritmetik ortalaması.
Aynı şekilde -2 ile -4'ü toplayıp ikiye böleceğim ve böylelikle D'mizin koordinatlarını bulmuş olacağız.
7 eksi 1, 6 bölü olduk.
Şimdi diğer taraftan bunu şöyle yapacağım. Burada bir D'miz var, 3'e -3.
Sonra hemen yakınında bir E noktamız, hemen k birim uzaklıkta bir F noktamız, yine k birim uzaklıkta bir A(1, 3) noktamız var.
Bu hepsi birbirine eşitti ya.
Yani bunlara k, k, k desek hiçbir sakıncası yok. Buradan 3'ten 1'e ne yapmış arkadaşlar?
Artmış mı, azalmış mı?
Yani D'den A'ya bakıyorum, apsise.
3'ten azalırsa, k'de 2/3 azalır.
Her k'yi 2/3 azaltarak yeni noktamızın koordinatlarını bulacağız.
Yani şimdi E'ye bakıyorum.
3 sayısını ne yapacağım?
Bakın burada bir 3 var, 2/3 azaltacağım.
Yani apsisimiz, E noktasının apsisi.
Aynı şekilde isterseniz burada F'yi de hesaplayalım.
F'yi nasıl hesaplayacağız?
7/3'ü 2/3 daha azaltacağım, o da 5/3 olacak.
Değil mi?
Dolayısıyla, hatta bunu 2/3 daha azaltırsak 3 bölü 3'ten gelelim ordinatlara.
Ordinatlara bakalım, -3'ten +3'e 3k'de 6 birimlik bir artma var.
Demek ki k'de ne yapıyor bu?
2 artıyor demektir.
Şimdi -3'tü ya, öncelikle bunu 2 arttırdım -1 oldu.
-1'i de 2 arttırdım 1 oldu.
Bunu da 2 arttırırsam 3 olur, A'yı bulmuş olurum.
E noktasının koordinatları (7/3, -1), F noktasının koordinatları da (5/3, 1) olarak bulunmuş olur sevgili gençler deyip bir sonraki sorumuza geçebiliriz.
Koordinat düzleminde A(8, 0), B(0, 8) ve C(a/3, 3a) noktalarından geçen doğru gösterilmiştir.
Buna göre alan OAC kaç birim karedir, diye bize sormuş.
Şimdi dikkat ederseniz bana şuranın tamamını 8 vermiş.
Yine burayı da 8 vermiş.
Hemen C noktasının koordinatları yazayım. C noktasının koordinatları apsis yani şu kısım a/3, ordinat da yukarıdan aşağı indirdiğimiz noktalı uzunluk.
O da 3a'ymış.
Biliyorsunuz biz benzerlik kullanarak da koordinat bulabiliyorduk. Bunu da söylemiştik dersimizde.
Buraya eğer ben H noktası dersem, diyeceğim ki AH'nin tamamına yani Hemen onu çıkarıyorum.
AH'nin tamamı 8'e oranı eşittir, benzerlik yaparsam eğer CH'nin de OB'ye oranı.
Yani 3a'nın da 8'e oranı olmuş olur burası ve arkadaşlar bu eğer 8'ler kısalırsa, şunu karşıya attım 10a/3 eşittir 8 olur.
Hemen 2'ye böleyim her iki tarafı.
Şurası 5, şurası 4 olsun.
A dediğimiz o uzunluk 12/5 birim olacakmış ve bana sorduğu şey neydi?
Alan OAC üçgeni.
Hemen onun tabanına bakıyorum.
Tabanı AO ya da OA kadar 8.
1/2 çarpı taban çarpı yükseklik diyeceğim.
Yüksekliğim yapar?
36/5 yapar.
8'i 2'ye böldüm 4.
36 kere Birim kare olarak OAC üçgenimizin alanı bulunmuş olur diyoruz sevgili gençler.
Gelelim bir sonraki sorumuza.
Bir analitik düzlemde A(4, -1) ve B(-1, 3) noktalarının oluşturduğu doğru parçasını bir C noktası AC bölü BC 2/5 oranında dıştan bölüyormuş. Buna göre C'nin koordinatlarını istiyor.
Şimdi dıştan bölüm olayında C sağda ya da solda olabilir biliyorsunuz ama diyor ki A'nın C'ye uzaklığı 2 iken B'nin C'ye uzaklığı 5 olacak.
Demek ki B noktası C'ye uzak.
O zaman C'yi ben hemen sol uca yazıyorum.
A'ya daha yakın yazıyorum, B'yi sağ uca yazıyorum ki bunlar birbirlerine uzak olsunlar. Yani şurası ne kadarmış bakınız?
5k'ymiş.
AC koordinatları (4, -1).
B'nin koordinatları (-1, 3) C'nin koordinatlarına x ve y diyelim ve diyelim ki bakın şimdi A ve B'yi kullanarak artma azalmayı bulacağım.
Yine oran orantıdan çözeceğim soruyu.
4'ten -1'e 5 azalmış.
Yani 3k'de eğer 5 azalırsa yani -5 olursa, k'de -5/3 olur.
Burada A'dan C'ye yalnız 2k'lik bir uzunluk var.
O zaman x kadardı.
10/3 azalıp kaç olmuş arkadaşlar?
4 olmuş.
Karşıya attığımızda 3 kere 4 12, 10 daha ordinata bakacağız arkadaşlar.
-1'den 3'e bu sefer artmış.
Kaç artmış?
4.
Demek ki 3k'de eğer y kadardı.
Ben bunu gidip 8/3 arttırıp -1 buldum.
Attım karşıya, ne yapar o da?
-11/3 olur C noktamızın ordinatı.
Demek ki hemen C'nin koordinatlarını yazıyorum.
Apsisim 22/3, ordinatım ise -11/3 olarak bulunmuş oldu sevgili arkadaşlar ve bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
