Noktanın Orijine Uzaklığı ve Orta Nokta

Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu  dersteki konumuz noktanın orijine uzaklığı.   Orijin biliyorsunuz, 0'a 0 demektir.
Bir A  noktası alalım koordinatları küçük a ve küçük   b olsun.
Burada orijin demek koordinatlarımız 0'a  hatta şu da O harfi olsun.
O ile A arasındaki  uzaklık deyince a'dan sıfırı çıkartıp kare   aldık, a².
b'den sıfırı çıkartıp kare aldık,  b² ve kök içerisine aldığımızda iki nokta   arasındaki uzaklığı yani bir noktanın daha doğrusu  orijine uzaklığını apsis ve ordinatlarının   kareleri toplamının kare kök içine alınması olarak  rahatlıkla ifade edebiliriz diyelim.
Hemen bir   tane örnek verelim.
K(-5,12) noktasının başlangıç  noktasına, biliyorsunuz başlangıç noktası zaten   kimdir?
Orijindir.
Bu O harfi, şunlar da 0'a 0'lar olsun,  olan uzaklığı kaç birimdir?
Ne dedik?
Hemen -5,   +5 fark etmeyecektir ama doğrusu yazalım.  -5'in karesi, 12'nin karesi, kök içerisine   aldığımızda kimi bulacağız?
O ve K noktası  yani orijinle K noktası arasındaki uzaklığı   bulacağız.
Yine buradan şunu biliyorum.  özel üçgenden tanıdığım bir denklemdi burası.  uzunluğu 13 birim olarak bulunmuş olacaktır   değerli arkadaşlar ve geldik bir doğru parçasının  orta noktası.
Bu nasıl bulunur?
Sevgili gençler,   analitik düzlemde iki nokta alalım.
A ve B  noktaları.
Bunların koordinatları (x1, y1) ve (x2, y2)   olsun.
AB doğru parçasının tam ortasında  bulunan C noktasının koordinatlarını bulurken   A ve B'nin apsisleri toplanıp ikiye bölünür.
Aynı  şekilde ordinatlar toplanır, ikiye bölünür.
Yani   aslında aritmetik ortalama alıyoruz.
x1  artı x2 bölü 2, y1 artı y2 bölü 2 nedir?
   Orta noktası yani AB doğru parçasının  orta noktası olan C'nin koordinatlarıdır.   Şimdi yine bu orta nokta formülünden  elde edilen paralelkenar kuralından   bahsedeceğim.
Köşe koordinatları A, B, C, D  köşeleri olan ve köşe koordinatları bilinen   bir paralelkenarı ele alalım.
Şimdi burada  biliyorsunuz ki işte BD nedir?
Ardışık olmayan   iki köşe birleştirildiğinde bir köşegen  olur.
AC nedir?
Yine ardışık olmayan bir,   iki tane köşe birleştirdiğimde köşegen  olur.
Paralelkenarın köşegenleri birbirine   eşit değil ama paralelkenarın köşegenleri  birbirlerini ortalar.
Yani aslında bakın,   şu işaretlediğimiz nokta E noktası diyelim.
Şimdi  E noktasına baktığınızda hem AC'nin hem de BD'nin   orta noktası.
Mesela AC'nin orta noktasıysa,  E noktasının apsisi için ne söylersiniz?
x1'le   hocam x3'ü toplar ikiye bölerim, öyle değil  mi?
Aynı E noktasının apsisini BD üzerinden   de bulabilirsiniz.
Bu sefer x2 ve x4'e bakarsınız.  x2 ile x4'ü toplayıp ikiye bölersiniz.
Şimdi bölü   neyi elde ettim?
x1 artı x3 eşittir arkadaşlar x2 artı x4.   Yani aslında paralelkenar kuralı şuymuş.  Karşılıklı köşelerde bulunan noktalar için   apsisler toplamı diğer karşıdaki apsisler  toplamına, aynı şekilde ordinatlar toplamı   da diğer köşenin ordinatlar toplamına eşitmiş.
Siz  bunu, aynısını ordinat için de yapabilirsiniz.
Ben   sadece göstereyim, y1'le y3'ü toplayıp eşittir  diyorsunuz y2'yle y4 toplamına.
Şu şekilde biz   bu kurala da paralelkenar kuralı diyeceğiz.  Söylediğim gibi orta nokta yardımıyla rahatlıkla   elde edilebilir.
Evet, bir örneğimiz daha var.  Dik koordinat düzleminde K(-5,7) ve L(-7,9)   noktaları veriliyor.
KL'nin orta noktasının  orijine uzaklığı ne kadardır, diye sormuş.   Şimdi KL'nin orta noktasına biz M diyelim.
Orta  noktayı nasıl buluyordum?
İki tane apsisi toplayıp   ikiye bölüyordum, değil mi?
O yüzden -5 artı  diyeceğim, -7 bölü 2.
Apsisleri topladım ikiye   böldüm.
Ordinatlara geldim, bu sefer 7 ile 9'u  toplayıp ikiye bölüyorum.
Dolayısıyla arkadaşlar   neymiş M'nin koordinatları?
-12'yi 2'ye böldüm  -6.
Şurası ne?
Topladım burayı, 16 yaptı.
2'ye   böldüm 8.
Şimdi M'nin koordinatlarını buldum.  Bu M'nin orijine uzaklığını sormuş bana.
OM   diyelim biz oraya.
Ne diyecektik?
Kök içerisinde,  apsisi -6 ya.
Apsisinin karesi artı ordinatı 8,   O da dışarıya 10 diye çıkar.
10 birimmiş sevgili   gençler, KL'nin orta noktası olan M.
Biz orta  noktaya M dedik, M'nin orijine uzaklığı.
Peki,   geldik bir sonraki sorumuz.
Şekilde bir  paralelkenar görüyorsunuz.
ABCD paralelkenarı   ve bize köşe noktaları verilmiş.
Buna göre  a artı b toplamı kaçtır?
Verilmeyen bir tane apsis,   bir tane ordinat var.
Şimdi hemen bakıyorum.
-2  ile 4 var değil mi burada?
-2 ile 4'ü topladığımda   diğer iki köşedeki apsisler toplamına eşit olacak.  Yani kime?
a artı 1'e eşit olacak.
a artı 1, 2 ise a'mız   bakalım.
Bu sefer 3'le b'yi topluyorum.
A ve C'ye   baktım.
Geldim, B ve D'ye bakacağım şimdi.
-5'le  burada?
-8 olarak bulmuş olduk.
Bana sorduğu şey   neydi?
a artı b'ydi.
a artı b, 1 artı -8'den, bu toplam -7  olarak bulunmuş olur.
Sevgili gençler, bu soruyla   birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.  Bir sonraki ders görüşmek üzere, hoşça kalın.