İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu  dersteki konumuz: "İki nokta arasındaki uzaklık " Analitik düzlemde (x1,y1) A noktası ve (x2,y2) B noktası noktası olsunlar.
Bu iki nokta   arasındaki uzaklık, bu noktaları birleştiren  doğru parçasına uzunluğudur, aslında.
Şimdi   gelin isterseniz analitik düzlemde bu  iki noktayı gösterelim.
A noktası x1 ve y1 olsun.   Bakın şöyle işaretledik.
B noktası da x2 ve y2 olarak işaretledik.
İki doğru arasındaki   uzaklık şu doğru parçasının uzunluğudur.
Şimdi bunları bir dik üçgen oluşturacak   şekilde birleştirirsek, şu şekilde apsis ve ordinatını  işaretledikten sonra, içini yeşile boyadım, bu   dik üçgende şu alttaki yatay olan kenarının  uzunluğu x2 - x1 kadardır, apsisler farkı.
Şu düşey   olanın da uzunluğu y2 - y1 kadar.
E şimdi bu  içini yeşil boyadığımız üçgende Pisagor bağıntısı   yazarsak biz eğer, iki nokta arasındaki uzaklık  yani AB uzunluğunun karesi eşittir (x2 - x1)'in karesi artı (y2 - y1)'in karesi olacak.
Dolayısıyla biz iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için,   AB uzunluğu bulmak için, iki noktanın apsisler farkının   karesi artı ordinatlar farkının karesini karekök içerisine aldığımızda, iki nokta arasındaki   uzaklığı bulmuş olacağız.
Hemen bir tane örnek çözelim isterseniz.
A ve B noktaları verilmiş, "İkisi arasındaki uzaklık kaç birimdir?
" diyor.  Biz hemen A ve B'yi yazacağız ve bir tane karekök   atacağız karşı tarafa.
Az önce söylediğimiz tek farkı bu önce apsisleri birbirinden çıkarıyorum   bakın -3 - 5.
Hangi sırayla çıkardığınız hiçbir  önemi yok, zaten karesini alacağız.
Sonra 7'den   de -8 çıkarıyorum.
Dikkat!
7 eksi -8.
Ne  oldu arkadaşlar buradan.
Hemen bakın, kök içerisinde   şurası -8'in karesi (artı 8'in karesi aynı şey)  diğer taraftan burası da 15 yaptı 15'in karesi ve   bu uzunlukları biz nereden tanıyoruz 8 - 15 - 17  üçgeninden tanıyoruz.
Yani aslında burası 17'nin   karesine eşittir.
Kare ve karekök kısalırsa  aradığımız iki nokta arasındaki uzunluk, yani   AB uzunluğu, 17 birimdir, diyebiliriz.
Bir  sonraki soruya geçtim.
Analitik düzlemde A(a,5) ve B( -1, -3) noktaları arasındaki uzaklık soruyor.
Biz şimdi iki nokta arasındaki uzaklığı  nasıl buluyorduk.
Burada ki a'dan -1 çıkartıp kare  alıyordum.
Hatta şuraya kare yazayım burada  direkt a artı 1'in (a - ( -1))' in karesi   yazmış olduk.
Artı diğer taraftan da 5 - (-3) arası da + oldu 5 + 3'ten   burada 8'in karesi yazabilir.
E şimdi iki nokta  arasındaki uzaklık 10 vermiş yani o zaman bu   da 10'un karesine eşittir, arkadaşlar.
Bunu da nereden tanıyorum: 6 - 8 - 10 uzunluklar ben tanıdım.
Dolayısıyla a + 1 buradan nedir, arkadaşlar?
6 veya -6.
İkisinin karesi de sonuçta   Dolayısıyla 6 - 8 - 10'dan kenar uzunluklarını   tanıdığımız, yukarıdaki şu denklemi çözmüş olduk.
O  halde bu durumda şöyle söyleriz: a, ya 5'tir ya da -7'dir, sevgili gençler.
İki tane durum var.  Bana ne diyor: a'nın alabileceği değerleri çarpın.
çarpımı -35 olarak bulunmuş olur, diyelim ve vakit   kaybetmeden diğer sorumuza geçtik.
Analitik düzlemde K(4, -1) ve L(-2,3) noktalarına eşit uzaklıkta olup   x ekseni üzerinde bulunan, isterseniz bu noktaya biz  M noktası diyelim, şöyle bir nokta varmış.
x ekseni üzerindeyse bunu y'si sıfırdır, değil mi?
Sonuçta  bir x'i vardır, buna k diyelim.
Ama y'si, x ekseni üzerinde olduğu için bu noktanın sıfırdır.
Şimdi  burada iki tane nokta var, bu noktalar kimler biri K(4, -1) diğeri de L(-2,3).
Şunları birbirine eşit uzaklıktaymış, o zaman yapacağımız şey ne biliyor   musunuz?
KM uzunluğunu LM uzunluğuna eşitleyeceğiz.
Şimdi burada 4 ve k   bunların farkına alıyorum, isterseniz buna k - 4'ün karesi de diyebilirim.
0'a -1: burası 1'in   karesi ve buraya bir tane karekök koydum bu KM  uzunluğu olmuş oldu.
LM'yi bulurken de k - (-2) yine + olacak (k + 2) karesi artı 0 - 3 O da 3'ün karesi de yazılabilir, fark etmez.
Yine   bir tane karekök koyduğumuzda LM uzunluğunu da  bulmuş olduk.
Burada her iki tarafın karesini   alırsak karekökler gidecektir.
Hemen açıyorum  şimdi bu parantez kareyi.
k kare - 8k + 16  bir de +1 var yanında,  eşittir, devam ediyorum, burası ise k kare + 4k + 4 yaptı.
Bir de yanında 9 varmış.
k kareler gördüğünüz gibi kısaldı, arkadaşlar.
+8k'yı -8k olarak attık.
Burası 12k yaptı.
Yazdıklarımızı da silelim, kafanız karışmasın.
Bakın burası 13   Çıkardım hemen karşıya atıp 16'dan.
3 kaldı 1 daha  bu noktanın apsisini yani aslında k'yı soruyordu.   Dolayısıyla apsisimiz 1/3' tür diyebiliriz.
Geldik bir sonraki sorumuza: Analitik düzlemde   ABC üçgenin köşe noktalarının koordinatlarını  bize A(k + 1, k - 1), B(-1,1) ve C(2,0)   olarak vermiş.
ABC ikizkenar üçgenmiş.
Hemen bir tane üçgen çizelim Köşelerini de isimlendirelim ve AB ile AC eşitmiş.
Şimdi burada AB uzunluğunu AC uzunluğuna eşit diyeceğim.
Bu   köşe koordinatlarında yazayım isterseniz (k + 1, k - 1) şurası (-1,1) son olarak C değerimiz   de (2,0) Şimdi AB arasındaki uzaklığı nasıl buluyorum.
k + 1'den -1 çıkarıyorum.
Eksi, eksiden artı oldu.   O zaman k + 2'nin karesi apsisler farkının karesi  aldım.
AB uzunluğu buluyorum şu an k - 1'den   tekrar 1 çıkardım şurası k - 2 yaptı.
O zaman  k - 2'nin karesi, kök içerisine aldığımızda   AB uzunluğunu bulmuş olduk.
Devam ediyor.
AC'ye  geçtim k + 1'den 2 çıkardım k - 1'in karesi   sonrasında k - 1'den 0 çıkardım.
Yine k - 1'in karesi.
Bunlar aynı geldiler, topladım ve karekökünü   aldım.
Her iki tarafın karesini aldım karekökler  kısalmış oldu.
şimdi k + 2'nin karesi ne demek?
k kare + (birinci ile ikincinin çarpımının iki katı) 4k + 4.
devam ediyorum yan tarafta k kare - 4 k + 4 var eşittir dedim k kare - 2k + 1, + bir tane daha var bakın.
k kare - 2k + 1  Şu iki k kareler birbirlerini götürdüler.
Buradaki 4k'lar da gitti.
Bakın -2, -2, -4k bu tarafa attım   +4k yaptı.
Şimdi şurası 2 geldi.
Öbür tarafı,  sol taraftan 4, 4 daha 8 gelmişti.
2 - 8 Yani buraya ne geldi, arkadaşlar -6 geldi.
Bu durumda k'mız  -6/4'ten - 3/2 olarak bulunmuş olur.
  Bu soruyla birlikte bu dersimizin sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki derste görüşmek üzere, Kendinize çok iyi bakın.