Sevgili arkadaşlar herkese merhabalar, bu derste ki konumuz köşe koordinatları verilen üç kentsel bölgenin ağırlık merkezi ve alanı şekildeki A-B-C üçgenin köşe koordinatları.
A Espriye bir b x 2'ye eki c.
İlk 3 yer 3 olsun.
Burada ağırlık merkezinin koordinatları demek.
Ağırlık merkezi ne demekti?
Kenar orta ayların kesim noktasıydı.
Yani işte burada A köşesinden çektiğimiz kenar ortay.
Eeee burayı ikiye bölün, gelmiş baleden de bir kenar orta hemen şöyle ikiye bölün.
İşte artık burası zaten iki tanesi varsa üçüncüsü de kesinlikle C'den gelip bu noktadan geçen doğru parçası kesinlikle kenar orta olacak.
Yani burası ağırlık merkezidir.
Kenar orta derin kesim noktası.
Bu genin koordinatlarını bulurken ne yapıyoruz biliyor musunuz?
X1, x2 ve x3 var burada.
Asistler üçünü de toplayıp üçe bölüyoruz.
Aritmetik ortalama aldık.
Aynı şekilde koordinatlarda da bu geçerli.
Y bir, y 2, y 3 bunları toplayıp üçe bölüyoruz.
İlk durumda bulduğumuz apsesi yerleri toplayarak yani asistleri toplayıp 3'e öldükten sonra apsesi bulduk.
Koordinatları toplayıp 3'e ve öldükten sonra da ağırlık merkezinin koordinat bulmuş oluyoruz.
Ve aynı üçgen gene ABD üçgenin köşe koordinatlarını biliyorum.
Alanı nasıl bulunur?
Sevgili gençler burada üç tane nokta var.
Üç tane noktanın sırası hiç önemli olmadan koordinatlarını alt alta yazıyorsunuz.
İşte x1, x2, x3 Y'ye 3 olarak ben yazdım.
Sıra değişebilir.
Nasıl değiştirelim hocam?
Bence sıfırı bol olanları birinci sıraya yazın.
Niye biliyor musun?
İlk sıraya kimin yazdıysa en alta onu tekrar yazıyorsun çünkü.
Sonra bir çaprazlama söz konusu.
Bakın işte şurada eksi 2 çarpı Y.
Bir X 3 çarpı Y.
2 x 1 çarpı Y.
3.
Ve bunları kendi arasında topluyorsunuz.
Bu toplama k diyorsunuz.
Diğer taraftan sağ tarafa doğru şimdi çapraz diyorum.
X bir, y iki, x iki, y üç ilk suç üyedir.
Bunları da kendi arasında toplayıp buna da laf ediyorsunuz.
Bulduğunuz kabileyi mutlak değer c birbirinden çıkartıp ikiye bölününce.
Siz A-B-C üçgeninin alanını bulmuş oluyorsunuz sevgili gençler.
Evet şimdi artık.
İsterseniz örneklerle biraz daha öğrendiklerimizi pekiştirmeye çalışalım.
Analitik düzlemde köşe koordinatları A eksi 1'e 4, B sıfıra 2 ve c x 2 ye sıfır olan A-B-C Üçgen Kentsel Bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatlarını ve alanını bulunuz diyor.
Şimdi ağırlık merkezi G.
Diye gösteriyoruz.
Çok kolay.
Nasıl buluyorduk?
Eksi bir artı sıfır, artı eksi 2.
Bütün asistleri topladım.
3h Bölüm ağırlık merkezinin hepsini buldum geldim ordan atına bu sefer ordan hatlara bakacağım ağını.
Koordinatı 4 B linki 2 C'nin 2 0 topladım arkadaşlar üçe böldü.
İşte size ağırlık merkezinin koordinatları.
Ne oldu?
Yukarısı eksi üç bölümden eksi bir apsesi, altı ve üçten oradan da içilmiş G ağırlık merkezinin koordinatlarını bulduk.
Gelelim şimdi alanı alan bulurken sıfıra bolluğunun başa yazın dedik.
Mesela AB'ye yazayım ben.
Sonra hocam kime yazalım a yazalım farketmez.
Sıra üç önemli değil.
Son eksi 2 0 yazdım.
En başta yazdığımı en sonra tekrar yazıyorum.
Çapraz derken lütfen dikkat işaretlerle beraber eksi 2 çarptım, eksi 8 çarptım.
Sıfır topluyorum.
Sol taraf eksi on geldi sağ tarafa.
Çaprazlama mı var?
Sıfır burası 0.
İşte bunlar kolay olsun diye böyle yazdık.
Hani sıfır.
Bu olunca çarpma kolay oluyor.
Şunlar çarptım eksi 4 çapraz adım.
Şurası da toplayınca eksi 4 gel arkadaşlar bu iki değeri birbirinden çıkartıyorsunuz ve alan a.
Ece'yi bulmuş oluyoruz.
Sonucu ikiye bölümümüzde önce ne yapayım mutlak Dr.
Çıkarcı demek son eksi eksi 4 artı olsun şöyle mutlak derce ve sonucu ikiye bölecek yani 6 böyle 2'den alanımız 3 birim karedir diyebiliriz.
Sevgili gençler.
Gelelim sıradaki sorumuza.
Yandaki A-B-C üçgenin de verilenlerin göre G ağırlık merkezinin koordinatlarını buluruz demiş.
Şimdi.
Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulabilmek için burada A noktasının koordinatlarını İspir ye bir diyeyim.
Beynin koordinatlarını x2 ye 2 diyeyim.
Zaten C elimizde var.
Şimdi ağırlık merkezinin koordinatı neydi?
X1 artı eksi KE değil mi?
Artı 6 Bunları top yorduk ve üçe biliyorduk.
Diğer taraftan Y'ye bir artı ya iki artı dört bunlar da toplayıp üçe veriyorduk, bu da orijinal olmuş oluyordu.
Şimdi bunu bulacağım express 2'ye 1, ye 2 bunları bilmiyoruz.
Bilmiyoruz ama şimdi AB'nin orta noktası bana FB olarak verilmiş.
Ya orta nokta formülünden şunu diyemez miyim?
X1 ile x2 toplayıp ikiye böler desem kaçı bulacağım?
9'u dolayısıyla x1 artı x2 nedir arkadaşlar?
18'dir bakınız şuraya buldum.
Bu kısımda emiş on sekiz geldim, şimdi diğer orta nokta formülünde Y bir y 2.
Yani aslında aynı doğru parçasının orta noktası.
Ama bu koordinatlar da y birle de yetkiyi toplayıp ikiye böldüğünü yüzde kaçı bulacaksınız?
Eksi sekizi.
Dolayısıyla sevgili arkadaşlar, y bir partiye iki de x son altıdır, şurayı da buldum şurası bakın eksi 10 al demiş.
Bu durumda 18 6'yla topladım.
Kaç etti?
24 3'e söylersem ağırlık merkezimizin tepsisini bulduk.
8.
Diğer taraftan eksi 16 4, daha eksi 12 yaptı.
3'e bölümümüzde oradan hatta eksi 4 olarak bulunmuş oldu.
İşte size A-B-C üçgeninin ağırlık merkezi olan G noktasının koordinatları.
Peki.
Geldik sıradaki sorumuza A-B-C üçgenin de.
Her bir kenarının orta noktası olan D ve F'nin koordinatları bize verilmiş ve x 2 3 bire iki f 2 2'ye dönmüş.
Buna göre x artı eksi, iki artı eksi 3 bölü 1 artı 2 artı 3 oranı kaçtır diye sorulmuş.
Şimdi hemen bakın cevaplamaya çalışalım şimdi X1 ile.
Ix ikiyi toplayıp ikiye böldü, Müjde D'nin af sesini bulacağız yani eksi 2.
O zaman burası kaçmış eksi 4 miş arkadaşlar topla.
Diğer taraftan X2 ile ilk suçu toplayıp ikiye bölümümüzde fiks ikiyle ilk suçu toplayıp ikiye böldüğünü de F'nin abisini bulacağız.
2 O zaman eksi 2, artı eksi üstü 4 mü?
Peki son olarak şimdi Ege'ye bakacağım.
X Birle arkadaşlar.
X Üçü topladım ve ikiye bölün Ege'nin sesini biri bulacağım.
O zaman ikidir değil mi?
Bakınız burada taraf tarafa toplama işlemi yaparsam 2 x 1 2 x2 ve 2 x3 gelecektir.
2.
Parantezin de x1 artı eksi iki artı eksi 3 toplamı kaç etti?
Şunlar gitti 2 yaptı.
Demek ki x1 artı x2 artı eksi 3 neymiş 1 miş.
Üst tarafını buldum bana sorduğu şeyi şimdi geldi koordinatlara aynı şeyi yapalım mı diye birliği topladım.
2.
Bölümde D'nin ordan atını bulacağım, yani üçü o zaman toplamları altıdır geldim.
Ye iki artı ve üç ikiye böldüğü müjde Feyenoord'un atını dörde bulacağım.
Yani ikisinin toplamı 8'dir derim o zaman.
Son olarak Y 1 ile Y 3 arkadaşlar topladım, ikiye böldü.
Müjde E'nin ordan atını ikiye bulacağım.
O zaman bunların sonucu da 4'tür.
O halde bu ifadeleri yine topladığımızda 2'ye 1, 2'ye 2, 2'ye 3 gelecek.
O halde yine bir artı y iki artı y 3 yazayım.
Direk sağ tarafı toplayıp 2'ye vereceğim onsekiz birlikten 9.
Dolayısıyla koordinatlar toplamında bulmuş olduk.
Bize sorduğu oran neydi?
X1, x2 artık sütçü ya da bir yazıyorum diye bir artıya çıkar diye 3 yerine de 9 alıyorum.
Bana sor, ifadenin değeri birbirine dokunmuş deriz ve bu soruyla birlikte dersimizi de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimiz de görüşmek üzere.
Hoşçakalın.
A Espriye bir b x 2'ye eki c.
İlk 3 yer 3 olsun.
Burada ağırlık merkezinin koordinatları demek.
Ağırlık merkezi ne demekti?
Kenar orta ayların kesim noktasıydı.
Yani işte burada A köşesinden çektiğimiz kenar ortay.
Eeee burayı ikiye bölün, gelmiş baleden de bir kenar orta hemen şöyle ikiye bölün.
İşte artık burası zaten iki tanesi varsa üçüncüsü de kesinlikle C'den gelip bu noktadan geçen doğru parçası kesinlikle kenar orta olacak.
Yani burası ağırlık merkezidir.
Kenar orta derin kesim noktası.
Bu genin koordinatlarını bulurken ne yapıyoruz biliyor musunuz?
X1, x2 ve x3 var burada.
Asistler üçünü de toplayıp üçe bölüyoruz.
Aritmetik ortalama aldık.
Aynı şekilde koordinatlarda da bu geçerli.
Y bir, y 2, y 3 bunları toplayıp üçe bölüyoruz.
İlk durumda bulduğumuz apsesi yerleri toplayarak yani asistleri toplayıp 3'e öldükten sonra apsesi bulduk.
Koordinatları toplayıp 3'e ve öldükten sonra da ağırlık merkezinin koordinat bulmuş oluyoruz.
Ve aynı üçgen gene ABD üçgenin köşe koordinatlarını biliyorum.
Alanı nasıl bulunur?
Sevgili gençler burada üç tane nokta var.
Üç tane noktanın sırası hiç önemli olmadan koordinatlarını alt alta yazıyorsunuz.
İşte x1, x2, x3 Y'ye 3 olarak ben yazdım.
Sıra değişebilir.
Nasıl değiştirelim hocam?
Bence sıfırı bol olanları birinci sıraya yazın.
Niye biliyor musun?
İlk sıraya kimin yazdıysa en alta onu tekrar yazıyorsun çünkü.
Sonra bir çaprazlama söz konusu.
Bakın işte şurada eksi 2 çarpı Y.
Bir X 3 çarpı Y.
2 x 1 çarpı Y.
3.
Ve bunları kendi arasında topluyorsunuz.
Bu toplama k diyorsunuz.
Diğer taraftan sağ tarafa doğru şimdi çapraz diyorum.
X bir, y iki, x iki, y üç ilk suç üyedir.
Bunları da kendi arasında toplayıp buna da laf ediyorsunuz.
Bulduğunuz kabileyi mutlak değer c birbirinden çıkartıp ikiye bölününce.
Siz A-B-C üçgeninin alanını bulmuş oluyorsunuz sevgili gençler.
Evet şimdi artık.
İsterseniz örneklerle biraz daha öğrendiklerimizi pekiştirmeye çalışalım.
Analitik düzlemde köşe koordinatları A eksi 1'e 4, B sıfıra 2 ve c x 2 ye sıfır olan A-B-C Üçgen Kentsel Bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatlarını ve alanını bulunuz diyor.
Şimdi ağırlık merkezi G.
Diye gösteriyoruz.
Çok kolay.
Nasıl buluyorduk?
Eksi bir artı sıfır, artı eksi 2.
Bütün asistleri topladım.
3h Bölüm ağırlık merkezinin hepsini buldum geldim ordan atına bu sefer ordan hatlara bakacağım ağını.
Koordinatı 4 B linki 2 C'nin 2 0 topladım arkadaşlar üçe böldü.
İşte size ağırlık merkezinin koordinatları.
Ne oldu?
Yukarısı eksi üç bölümden eksi bir apsesi, altı ve üçten oradan da içilmiş G ağırlık merkezinin koordinatlarını bulduk.
Gelelim şimdi alanı alan bulurken sıfıra bolluğunun başa yazın dedik.
Mesela AB'ye yazayım ben.
Sonra hocam kime yazalım a yazalım farketmez.
Sıra üç önemli değil.
Son eksi 2 0 yazdım.
En başta yazdığımı en sonra tekrar yazıyorum.
Çapraz derken lütfen dikkat işaretlerle beraber eksi 2 çarptım, eksi 8 çarptım.
Sıfır topluyorum.
Sol taraf eksi on geldi sağ tarafa.
Çaprazlama mı var?
Sıfır burası 0.
İşte bunlar kolay olsun diye böyle yazdık.
Hani sıfır.
Bu olunca çarpma kolay oluyor.
Şunlar çarptım eksi 4 çapraz adım.
Şurası da toplayınca eksi 4 gel arkadaşlar bu iki değeri birbirinden çıkartıyorsunuz ve alan a.
Ece'yi bulmuş oluyoruz.
Sonucu ikiye bölümümüzde önce ne yapayım mutlak Dr.
Çıkarcı demek son eksi eksi 4 artı olsun şöyle mutlak derce ve sonucu ikiye bölecek yani 6 böyle 2'den alanımız 3 birim karedir diyebiliriz.
Sevgili gençler.
Gelelim sıradaki sorumuza.
Yandaki A-B-C üçgenin de verilenlerin göre G ağırlık merkezinin koordinatlarını buluruz demiş.
Şimdi.
Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulabilmek için burada A noktasının koordinatlarını İspir ye bir diyeyim.
Beynin koordinatlarını x2 ye 2 diyeyim.
Zaten C elimizde var.
Şimdi ağırlık merkezinin koordinatı neydi?
X1 artı eksi KE değil mi?
Artı 6 Bunları top yorduk ve üçe biliyorduk.
Diğer taraftan Y'ye bir artı ya iki artı dört bunlar da toplayıp üçe veriyorduk, bu da orijinal olmuş oluyordu.
Şimdi bunu bulacağım express 2'ye 1, ye 2 bunları bilmiyoruz.
Bilmiyoruz ama şimdi AB'nin orta noktası bana FB olarak verilmiş.
Ya orta nokta formülünden şunu diyemez miyim?
X1 ile x2 toplayıp ikiye böler desem kaçı bulacağım?
9'u dolayısıyla x1 artı x2 nedir arkadaşlar?
18'dir bakınız şuraya buldum.
Bu kısımda emiş on sekiz geldim, şimdi diğer orta nokta formülünde Y bir y 2.
Yani aslında aynı doğru parçasının orta noktası.
Ama bu koordinatlar da y birle de yetkiyi toplayıp ikiye böldüğünü yüzde kaçı bulacaksınız?
Eksi sekizi.
Dolayısıyla sevgili arkadaşlar, y bir partiye iki de x son altıdır, şurayı da buldum şurası bakın eksi 10 al demiş.
Bu durumda 18 6'yla topladım.
Kaç etti?
24 3'e söylersem ağırlık merkezimizin tepsisini bulduk.
8.
Diğer taraftan eksi 16 4, daha eksi 12 yaptı.
3'e bölümümüzde oradan hatta eksi 4 olarak bulunmuş oldu.
İşte size A-B-C üçgeninin ağırlık merkezi olan G noktasının koordinatları.
Peki.
Geldik sıradaki sorumuza A-B-C üçgenin de.
Her bir kenarının orta noktası olan D ve F'nin koordinatları bize verilmiş ve x 2 3 bire iki f 2 2'ye dönmüş.
Buna göre x artı eksi, iki artı eksi 3 bölü 1 artı 2 artı 3 oranı kaçtır diye sorulmuş.
Şimdi hemen bakın cevaplamaya çalışalım şimdi X1 ile.
Ix ikiyi toplayıp ikiye böldü, Müjde D'nin af sesini bulacağız yani eksi 2.
O zaman burası kaçmış eksi 4 miş arkadaşlar topla.
Diğer taraftan X2 ile ilk suçu toplayıp ikiye bölümümüzde fiks ikiyle ilk suçu toplayıp ikiye böldüğünü de F'nin abisini bulacağız.
2 O zaman eksi 2, artı eksi üstü 4 mü?
Peki son olarak şimdi Ege'ye bakacağım.
X Birle arkadaşlar.
X Üçü topladım ve ikiye bölün Ege'nin sesini biri bulacağım.
O zaman ikidir değil mi?
Bakınız burada taraf tarafa toplama işlemi yaparsam 2 x 1 2 x2 ve 2 x3 gelecektir.
2.
Parantezin de x1 artı eksi iki artı eksi 3 toplamı kaç etti?
Şunlar gitti 2 yaptı.
Demek ki x1 artı x2 artı eksi 3 neymiş 1 miş.
Üst tarafını buldum bana sorduğu şeyi şimdi geldi koordinatlara aynı şeyi yapalım mı diye birliği topladım.
2.
Bölümde D'nin ordan atını bulacağım, yani üçü o zaman toplamları altıdır geldim.
Ye iki artı ve üç ikiye böldüğü müjde Feyenoord'un atını dörde bulacağım.
Yani ikisinin toplamı 8'dir derim o zaman.
Son olarak Y 1 ile Y 3 arkadaşlar topladım, ikiye böldü.
Müjde E'nin ordan atını ikiye bulacağım.
O zaman bunların sonucu da 4'tür.
O halde bu ifadeleri yine topladığımızda 2'ye 1, 2'ye 2, 2'ye 3 gelecek.
O halde yine bir artı y iki artı y 3 yazayım.
Direk sağ tarafı toplayıp 2'ye vereceğim onsekiz birlikten 9.
Dolayısıyla koordinatlar toplamında bulmuş olduk.
Bize sorduğu oran neydi?
X1, x2 artık sütçü ya da bir yazıyorum diye bir artıya çıkar diye 3 yerine de 9 alıyorum.
Bana sor, ifadenin değeri birbirine dokunmuş deriz ve bu soruyla birlikte dersimizi de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimiz de görüşmek üzere.
Hoşçakalın.
Sıkça Sorulan Sorular
Köşe koordinatları verilen üçgenin ağırlık merkezi nasıl bulunur?
Köşe koordinatları verilen üçgenin ağırlık merkezi, köşelerinin apsis ve ordinatlarının toplamları üçe bölünerek bulunur.
ABC üçgeninin ağırlık merkezi olan G noktasının koordinatları formülü = 
Köşe koordinatları verilen üçgenin ağırlık merkezi nasıl bulunur?
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı, köşe koordinatları apsis ve ordinatları ayrı olarak alt alta yazıldıktan sonra ilk yazılan köşe koordinatının en alt satıra eklenmesi ve aşağıdaki şekildeki gibi çarpılması ile bulunur. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değerine ulaşılır.
Köşe koordinatları A(x1, y1) , B(x1, y1), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alan formülü =
olarak bulunur.
