Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersteki konumuz noktanın orijine uzaklığı. Orijin biliyorsunuz, 0'a 0 demektir.
Bir A noktası alalım koordinatları küçük a ve küçük b olsun.
Burada orijin demek koordinatlarımız 0'a hatta şu da O harfi olsun.
O ile A arasındaki uzaklık deyince a'dan sıfırı çıkartıp kare aldık, a².
b'den sıfırı çıkartıp kare aldık, b² ve kök içerisine aldığımızda iki nokta arasındaki uzaklığı yani bir noktanın daha doğrusu orijine uzaklığını apsis ve ordinatlarının kareleri toplamının kare kök içine alınması olarak rahatlıkla ifade edebiliriz diyelim.
Hemen bir tane örnek verelim.
K(-5,12) noktasının başlangıç noktasına, biliyorsunuz başlangıç noktası zaten kimdir?
Orijindir.
Bu O harfi, şunlar da 0'a 0'lar olsun, olan uzaklığı kaç birimdir?
Ne dedik?
Hemen -5, +5 fark etmeyecektir ama doğrusu yazalım. -5'in karesi, 12'nin karesi, kök içerisine aldığımızda kimi bulacağız?
O ve K noktası yani orijinle K noktası arasındaki uzaklığı bulacağız.
Yine buradan şunu biliyorum. özel üçgenden tanıdığım bir denklemdi burası. uzunluğu 13 birim olarak bulunmuş olacaktır değerli arkadaşlar ve geldik bir doğru parçasının orta noktası.
Bu nasıl bulunur?
Sevgili gençler, analitik düzlemde iki nokta alalım.
A ve B noktaları.
Bunların koordinatları (x1, y1) ve (x2, y2) olsun.
AB doğru parçasının tam ortasında bulunan C noktasının koordinatlarını bulurken A ve B'nin apsisleri toplanıp ikiye bölünür.
Aynı şekilde ordinatlar toplanır, ikiye bölünür.
Yani aslında aritmetik ortalama alıyoruz.
x1 artı x2 bölü 2, y1 artı y2 bölü 2 nedir?
Orta noktası yani AB doğru parçasının orta noktası olan C'nin koordinatlarıdır. Şimdi yine bu orta nokta formülünden elde edilen paralelkenar kuralından bahsedeceğim.
Köşe koordinatları A, B, C, D köşeleri olan ve köşe koordinatları bilinen bir paralelkenarı ele alalım.
Şimdi burada biliyorsunuz ki işte BD nedir?
Ardışık olmayan iki köşe birleştirildiğinde bir köşegen olur.
AC nedir?
Yine ardışık olmayan bir, iki tane köşe birleştirdiğimde köşegen olur.
Paralelkenarın köşegenleri birbirine eşit değil ama paralelkenarın köşegenleri birbirlerini ortalar.
Yani aslında bakın, şu işaretlediğimiz nokta E noktası diyelim.
Şimdi E noktasına baktığınızda hem AC'nin hem de BD'nin orta noktası.
Mesela AC'nin orta noktasıysa, E noktasının apsisi için ne söylersiniz?
x1'le hocam x3'ü toplar ikiye bölerim, öyle değil mi?
Aynı E noktasının apsisini BD üzerinden de bulabilirsiniz.
Bu sefer x2 ve x4'e bakarsınız. x2 ile x4'ü toplayıp ikiye bölersiniz.
Şimdi bölü neyi elde ettim?
x1 artı x3 eşittir arkadaşlar x2 artı x4. Yani aslında paralelkenar kuralı şuymuş. Karşılıklı köşelerde bulunan noktalar için apsisler toplamı diğer karşıdaki apsisler toplamına, aynı şekilde ordinatlar toplamı da diğer köşenin ordinatlar toplamına eşitmiş.
Siz bunu, aynısını ordinat için de yapabilirsiniz.
Ben sadece göstereyim, y1'le y3'ü toplayıp eşittir diyorsunuz y2'yle y4 toplamına.
Şu şekilde biz bu kurala da paralelkenar kuralı diyeceğiz. Söylediğim gibi orta nokta yardımıyla rahatlıkla elde edilebilir.
Evet, bir örneğimiz daha var. Dik koordinat düzleminde K(-5,7) ve L(-7,9) noktaları veriliyor.
KL'nin orta noktasının orijine uzaklığı ne kadardır, diye sormuş. Şimdi KL'nin orta noktasına biz M diyelim.
Orta noktayı nasıl buluyordum?
İki tane apsisi toplayıp ikiye bölüyordum, değil mi?
O yüzden -5 artı diyeceğim, -7 bölü 2.
Apsisleri topladım ikiye böldüm.
Ordinatlara geldim, bu sefer 7 ile 9'u toplayıp ikiye bölüyorum.
Dolayısıyla arkadaşlar neymiş M'nin koordinatları?
-12'yi 2'ye böldüm -6.
Şurası ne?
Topladım burayı, 16 yaptı.
2'ye böldüm 8.
Şimdi M'nin koordinatlarını buldum. Bu M'nin orijine uzaklığını sormuş bana.
OM diyelim biz oraya.
Ne diyecektik?
Kök içerisinde, apsisi -6 ya.
Apsisinin karesi artı ordinatı 8, O da dışarıya 10 diye çıkar.
10 birimmiş sevgili gençler, KL'nin orta noktası olan M.
Biz orta noktaya M dedik, M'nin orijine uzaklığı.
Peki, geldik bir sonraki sorumuz.
Şekilde bir paralelkenar görüyorsunuz.
ABCD paralelkenarı ve bize köşe noktaları verilmiş.
Buna göre a artı b toplamı kaçtır?
Verilmeyen bir tane apsis, bir tane ordinat var.
Şimdi hemen bakıyorum.
-2 ile 4 var değil mi burada?
-2 ile 4'ü topladığımda diğer iki köşedeki apsisler toplamına eşit olacak. Yani kime?
a artı 1'e eşit olacak.
a artı 1, 2 ise a'mız bakalım.
Bu sefer 3'le b'yi topluyorum.
A ve C'ye baktım.
Geldim, B ve D'ye bakacağım şimdi.
-5'le burada?
-8 olarak bulmuş olduk.
Bana sorduğu şey neydi?
a artı b'ydi.
a artı b, 1 artı -8'den, bu toplam -7 olarak bulunmuş olur.
Sevgili gençler, bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk. Bir sonraki ders görüşmek üzere, hoşça kalın.
Bu dersteki konumuz noktanın orijine uzaklığı. Orijin biliyorsunuz, 0'a 0 demektir.
Bir A noktası alalım koordinatları küçük a ve küçük b olsun.
Burada orijin demek koordinatlarımız 0'a hatta şu da O harfi olsun.
O ile A arasındaki uzaklık deyince a'dan sıfırı çıkartıp kare aldık, a².
b'den sıfırı çıkartıp kare aldık, b² ve kök içerisine aldığımızda iki nokta arasındaki uzaklığı yani bir noktanın daha doğrusu orijine uzaklığını apsis ve ordinatlarının kareleri toplamının kare kök içine alınması olarak rahatlıkla ifade edebiliriz diyelim.
Hemen bir tane örnek verelim.
K(-5,12) noktasının başlangıç noktasına, biliyorsunuz başlangıç noktası zaten kimdir?
Orijindir.
Bu O harfi, şunlar da 0'a 0'lar olsun, olan uzaklığı kaç birimdir?
Ne dedik?
Hemen -5, +5 fark etmeyecektir ama doğrusu yazalım. -5'in karesi, 12'nin karesi, kök içerisine aldığımızda kimi bulacağız?
O ve K noktası yani orijinle K noktası arasındaki uzaklığı bulacağız.
Yine buradan şunu biliyorum. özel üçgenden tanıdığım bir denklemdi burası. uzunluğu 13 birim olarak bulunmuş olacaktır değerli arkadaşlar ve geldik bir doğru parçasının orta noktası.
Bu nasıl bulunur?
Sevgili gençler, analitik düzlemde iki nokta alalım.
A ve B noktaları.
Bunların koordinatları (x1, y1) ve (x2, y2) olsun.
AB doğru parçasının tam ortasında bulunan C noktasının koordinatlarını bulurken A ve B'nin apsisleri toplanıp ikiye bölünür.
Aynı şekilde ordinatlar toplanır, ikiye bölünür.
Yani aslında aritmetik ortalama alıyoruz.
x1 artı x2 bölü 2, y1 artı y2 bölü 2 nedir?
Orta noktası yani AB doğru parçasının orta noktası olan C'nin koordinatlarıdır. Şimdi yine bu orta nokta formülünden elde edilen paralelkenar kuralından bahsedeceğim.
Köşe koordinatları A, B, C, D köşeleri olan ve köşe koordinatları bilinen bir paralelkenarı ele alalım.
Şimdi burada biliyorsunuz ki işte BD nedir?
Ardışık olmayan iki köşe birleştirildiğinde bir köşegen olur.
AC nedir?
Yine ardışık olmayan bir, iki tane köşe birleştirdiğimde köşegen olur.
Paralelkenarın köşegenleri birbirine eşit değil ama paralelkenarın köşegenleri birbirlerini ortalar.
Yani aslında bakın, şu işaretlediğimiz nokta E noktası diyelim.
Şimdi E noktasına baktığınızda hem AC'nin hem de BD'nin orta noktası.
Mesela AC'nin orta noktasıysa, E noktasının apsisi için ne söylersiniz?
x1'le hocam x3'ü toplar ikiye bölerim, öyle değil mi?
Aynı E noktasının apsisini BD üzerinden de bulabilirsiniz.
Bu sefer x2 ve x4'e bakarsınız. x2 ile x4'ü toplayıp ikiye bölersiniz.
Şimdi bölü neyi elde ettim?
x1 artı x3 eşittir arkadaşlar x2 artı x4. Yani aslında paralelkenar kuralı şuymuş. Karşılıklı köşelerde bulunan noktalar için apsisler toplamı diğer karşıdaki apsisler toplamına, aynı şekilde ordinatlar toplamı da diğer köşenin ordinatlar toplamına eşitmiş.
Siz bunu, aynısını ordinat için de yapabilirsiniz.
Ben sadece göstereyim, y1'le y3'ü toplayıp eşittir diyorsunuz y2'yle y4 toplamına.
Şu şekilde biz bu kurala da paralelkenar kuralı diyeceğiz. Söylediğim gibi orta nokta yardımıyla rahatlıkla elde edilebilir.
Evet, bir örneğimiz daha var. Dik koordinat düzleminde K(-5,7) ve L(-7,9) noktaları veriliyor.
KL'nin orta noktasının orijine uzaklığı ne kadardır, diye sormuş. Şimdi KL'nin orta noktasına biz M diyelim.
Orta noktayı nasıl buluyordum?
İki tane apsisi toplayıp ikiye bölüyordum, değil mi?
O yüzden -5 artı diyeceğim, -7 bölü 2.
Apsisleri topladım ikiye böldüm.
Ordinatlara geldim, bu sefer 7 ile 9'u toplayıp ikiye bölüyorum.
Dolayısıyla arkadaşlar neymiş M'nin koordinatları?
-12'yi 2'ye böldüm -6.
Şurası ne?
Topladım burayı, 16 yaptı.
2'ye böldüm 8.
Şimdi M'nin koordinatlarını buldum. Bu M'nin orijine uzaklığını sormuş bana.
OM diyelim biz oraya.
Ne diyecektik?
Kök içerisinde, apsisi -6 ya.
Apsisinin karesi artı ordinatı 8, O da dışarıya 10 diye çıkar.
10 birimmiş sevgili gençler, KL'nin orta noktası olan M.
Biz orta noktaya M dedik, M'nin orijine uzaklığı.
Peki, geldik bir sonraki sorumuz.
Şekilde bir paralelkenar görüyorsunuz.
ABCD paralelkenarı ve bize köşe noktaları verilmiş.
Buna göre a artı b toplamı kaçtır?
Verilmeyen bir tane apsis, bir tane ordinat var.
Şimdi hemen bakıyorum.
-2 ile 4 var değil mi burada?
-2 ile 4'ü topladığımda diğer iki köşedeki apsisler toplamına eşit olacak. Yani kime?
a artı 1'e eşit olacak.
a artı 1, 2 ise a'mız bakalım.
Bu sefer 3'le b'yi topluyorum.
A ve C'ye baktım.
Geldim, B ve D'ye bakacağım şimdi.
-5'le burada?
-8 olarak bulmuş olduk.
Bana sorduğu şey neydi?
a artı b'ydi.
a artı b, 1 artı -8'den, bu toplam -7 olarak bulunmuş olur.
Sevgili gençler, bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk. Bir sonraki ders görüşmek üzere, hoşça kalın.
