Bir fonksiyonun tersi f A'dan B'ye eşittir f x birebir ve örten bir fonksiyon olsun.
Bu durumda Y eşittir f x fonksiyonun tersi f'in tersi b'den A'ya x eşittir f'in tersi y'dir.
Yani bir fonksiyonun tersinden bahsedebilmemiz için birebir ve örten olması gerekiyor.
Ve aynı zamanda bir f fonksiyonu A'dan B'ye tanımlayacak olursak B'den A'ya f'in tersini tanımlarız.
Yani tanım kümesi ile görüntü kümesinin yer değiştirmesiyle ters fonksiyonu bulmuş oluyoruz.
Burada da gösterdiğimiz gibi y eşittir f x de x ve y yer değiştirecektir.
Yani bir örnek verecek olursak f 2, 7'ye eşit olsun.
Bu ikisinin yer değiştirmesiyle artı f'in tersi 7 2'ye eşit olmuş olur.
Şimdi örnekler üzerinden devam edelim.
Örnek.
f a'dan b fonksiyonu şekilde tanımlanmıştır.
Buna göre f'in tersi a eksi f'in tersi b artı f'in tersi c ifadesinin eşiti nedir?
Şimdi verilen fonksiyon A'dan B'ye.
O halde A kümesi tanım kümesi, B kümesi görüntü kümesi.
O halde başlayalım.
1 elemanı nereye gitmiş?
C'ye yani F 1 eşittir C yazabilirim.
Peki ben neyi öğrendim?
Bu değiştirdiğim takdirde artık fonksiyonun tersini yazabilirim.
f'in tersi C neye eşit olmuş oluyor buradan?
Bire.
Şimdi iki elemanına bakalım.
f 2.
Nereye gitmiş?
A'ya.
Yer değiştirdiğim takdirde f'in tersi.
A neye eşit burada?
2'ye.
Şimdi 3 elemanına bakalım.
f 3 eşittir 3 B'ye gitmiş.
Gene yer değiştirdiğim takdirde fonksiyonun tersi f eşitmiş 3'e.
Peki f'in tersi?
A'yı artık bulduk.
O da iki.
eksi f'in tersi b 3'e artı f'in tersi c O da bir.
Buradan cevabımız eksi 1 artı 1'den 0 gelmiş oluyor.
Örnek.
f x eksi 3 eşittir 3x artı bir olduğuna göre f'in tersi 6 değerini bulunuz.
Şimdi öncelikle fonksiyonun tersinden bahsetmiş.
O halde biz yine tanım kümesi ile görüntü kelimesini şöyle yer değiştirelim.
Yer değiştirdiğimiz takdirde artık f'in tersi 3x artı bir neye eşit olmuş oluyor?
x eksi 3'e.
F'in tersi içerisinde ne var?
6 var.
O halde ben burada içerisinin 6 olmasını istiyorum.
6 olması için x'e vereceğim değeri hesaplayalım.
3x artı 1 eşittir 6, 3x eşittir 5.
x'imiz buradan 5 bölü 3 gelmiş oluyor.
O halde verilen fonksiyonunda x gördüğümüz üzere 5 bölü 3 yazarsak f 6'yı bulmuş oluyoruz.
O halde f'in tersi 6 eşittir.
Eşitliğinde de 5 bölü üç yazacağız.
Her taraf da 5 bölü 3 yazdığımızı düşünürsek içerisinde 6 bulduk.
Burada da 5 bölü üç eksi üç yazmış oluyoruz.
Yani f'in tersi 6 buradan ne gelmiş oldu?
5 eksi dokuz bölü üçten eksi 4 bölü üç gelmiş oluyor.
Şimdi ise bir özellikten bahsedelim.
f, r'den r'ye f x eşittir X artı B için f'in tersi x eşittir x eksi B bölü A olur.
Şimdi bu ne demek?
Öncelikle bir fonksiyonun tersini bulabilmek için X artı b gibi bir ifadede x'i yalnız bırakmamız gerekiyor.
O halde başlayalım.
f x şimdi B'yi karşıya attık.
eksi b eşittir a x her tarafı a'ya böldüm a'lar birbirini götürdü.
Peki f x eksi b bölü a neye eşit olmuş oldu?
x'e.
Şimdi ise burada şöyle bir özellik var.
f x gördüğümüz yere artık burada x yazacağız.
X gördüğümüz yere de artık burada f'in tersi x yazacağız.
O halde burada f x gördüğümüz yere x yazacak olursak x eksi b bölü neye eşit olmuş oldu?
Aslında fonksiyonun tersine.
Demek ki fonksiyonun tersini bulmak demek ne demekmiş?
Verilen fonksiyonda x'i yalnız bırakmak demekmiş.
Şimdi bir tane şöyle örnek yazacak olursak f x mesela x artı 2 olsun.
Bu fonksiyonun tersini nasıl bulacağız?
Direkt artı 2'yi karşıya attık.
x eksi 2 neye olmuş oldu?
x'e.
f x gördüğümüz yere ne yazıyorduk biz?
x yazıyorduk.
x eksi 2 peki.
X gördüğümüz yere ne yazıyoruz artık?
fonksiyonun tersi.
İşte fonksiyonun tersini ne bulmuş olduk?
Biz burada x eksi 2 bulmuş olduk.
Bu durumda Y eşittir f x fonksiyonun tersi f'in tersi b'den A'ya x eşittir f'in tersi y'dir.
Yani bir fonksiyonun tersinden bahsedebilmemiz için birebir ve örten olması gerekiyor.
Ve aynı zamanda bir f fonksiyonu A'dan B'ye tanımlayacak olursak B'den A'ya f'in tersini tanımlarız.
Yani tanım kümesi ile görüntü kümesinin yer değiştirmesiyle ters fonksiyonu bulmuş oluyoruz.
Burada da gösterdiğimiz gibi y eşittir f x de x ve y yer değiştirecektir.
Yani bir örnek verecek olursak f 2, 7'ye eşit olsun.
Bu ikisinin yer değiştirmesiyle artı f'in tersi 7 2'ye eşit olmuş olur.
Şimdi örnekler üzerinden devam edelim.
Örnek.
f a'dan b fonksiyonu şekilde tanımlanmıştır.
Buna göre f'in tersi a eksi f'in tersi b artı f'in tersi c ifadesinin eşiti nedir?
Şimdi verilen fonksiyon A'dan B'ye.
O halde A kümesi tanım kümesi, B kümesi görüntü kümesi.
O halde başlayalım.
1 elemanı nereye gitmiş?
C'ye yani F 1 eşittir C yazabilirim.
Peki ben neyi öğrendim?
Bu değiştirdiğim takdirde artık fonksiyonun tersini yazabilirim.
f'in tersi C neye eşit olmuş oluyor buradan?
Bire.
Şimdi iki elemanına bakalım.
f 2.
Nereye gitmiş?
A'ya.
Yer değiştirdiğim takdirde f'in tersi.
A neye eşit burada?
2'ye.
Şimdi 3 elemanına bakalım.
f 3 eşittir 3 B'ye gitmiş.
Gene yer değiştirdiğim takdirde fonksiyonun tersi f eşitmiş 3'e.
Peki f'in tersi?
A'yı artık bulduk.
O da iki.
eksi f'in tersi b 3'e artı f'in tersi c O da bir.
Buradan cevabımız eksi 1 artı 1'den 0 gelmiş oluyor.
Örnek.
f x eksi 3 eşittir 3x artı bir olduğuna göre f'in tersi 6 değerini bulunuz.
Şimdi öncelikle fonksiyonun tersinden bahsetmiş.
O halde biz yine tanım kümesi ile görüntü kelimesini şöyle yer değiştirelim.
Yer değiştirdiğimiz takdirde artık f'in tersi 3x artı bir neye eşit olmuş oluyor?
x eksi 3'e.
F'in tersi içerisinde ne var?
6 var.
O halde ben burada içerisinin 6 olmasını istiyorum.
6 olması için x'e vereceğim değeri hesaplayalım.
3x artı 1 eşittir 6, 3x eşittir 5.
x'imiz buradan 5 bölü 3 gelmiş oluyor.
O halde verilen fonksiyonunda x gördüğümüz üzere 5 bölü 3 yazarsak f 6'yı bulmuş oluyoruz.
O halde f'in tersi 6 eşittir.
Eşitliğinde de 5 bölü üç yazacağız.
Her taraf da 5 bölü 3 yazdığımızı düşünürsek içerisinde 6 bulduk.
Burada da 5 bölü üç eksi üç yazmış oluyoruz.
Yani f'in tersi 6 buradan ne gelmiş oldu?
5 eksi dokuz bölü üçten eksi 4 bölü üç gelmiş oluyor.
Şimdi ise bir özellikten bahsedelim.
f, r'den r'ye f x eşittir X artı B için f'in tersi x eşittir x eksi B bölü A olur.
Şimdi bu ne demek?
Öncelikle bir fonksiyonun tersini bulabilmek için X artı b gibi bir ifadede x'i yalnız bırakmamız gerekiyor.
O halde başlayalım.
f x şimdi B'yi karşıya attık.
eksi b eşittir a x her tarafı a'ya böldüm a'lar birbirini götürdü.
Peki f x eksi b bölü a neye eşit olmuş oldu?
x'e.
Şimdi ise burada şöyle bir özellik var.
f x gördüğümüz yere artık burada x yazacağız.
X gördüğümüz yere de artık burada f'in tersi x yazacağız.
O halde burada f x gördüğümüz yere x yazacak olursak x eksi b bölü neye eşit olmuş oldu?
Aslında fonksiyonun tersine.
Demek ki fonksiyonun tersini bulmak demek ne demekmiş?
Verilen fonksiyonda x'i yalnız bırakmak demekmiş.
Şimdi bir tane şöyle örnek yazacak olursak f x mesela x artı 2 olsun.
Bu fonksiyonun tersini nasıl bulacağız?
Direkt artı 2'yi karşıya attık.
x eksi 2 neye olmuş oldu?
x'e.
f x gördüğümüz yere ne yazıyorduk biz?
x yazıyorduk.
x eksi 2 peki.
X gördüğümüz yere ne yazıyoruz artık?
fonksiyonun tersi.
İşte fonksiyonun tersini ne bulmuş olduk?
Biz burada x eksi 2 bulmuş olduk.
Sıkça Sorulan Sorular
Ters fonksiyon nedir?
Ters fonksiyon, bir fonksiyonun görüntü kümesinden alınan herhangi bir elemanını tanım kümesinden asıl haline gönderen fonksiyona denir.
Fonksiyonun tersi nasıl bulunur?
Bir fonksiyonun tersi bulunurken öncelikle fonksiyonda y = f(x) olarak yazılıp x yalnız bırakılır. Daha sonra y gördüğümüz yere x ve x gördüğümüz yere de f-1(x) yazılır.
Fonksiyonun tersini almak ne demektir?
f : A → B fonksiyonu birebir ve örten olsun. O halde fonksiyonun tersi vardır ve f-1 şeklinde gösterilir. f-1 : B → A olur. Yani fonksiyonun tanım kümesi, f-1’in görüntü kümesi, aynı şekilde f’in görüntü kümesi de f-1’in tanım kümesi olur.
Bir fonksiyonun tersinin olması için gereken şartlar nelerdir?
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için fonksiyonumuz birebir ve örten olmalıdır. Eğer fonksiyon bu iki şartı sağlamıyor ise fonksiyonun tersi olmaz.
Ters fonksiyon işareti nasıl yapılır?
Ters fonksiyon işareti f-1 şeklinde gösterilir.
