Önerme Denkliği ve Önerme Değili

Merhabalar arkadaşlar, şimdi denk önermelerle devam ediyoruz.
Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye biz denk önermeler diyeceğiz.
Denk önermeler.
doğruluk değerlerinin aynı olmasını istiyoruz.
Peki nasıl göstereceğiz?
p önermesi q önermesine denk ise bizim artık alıştığımız bir kullanım: p denktir q'dur diyeceğiz.
Eğer değilse, yani p önermesi q önermesine denk değil ise o zaman diyeceğiz ki "p denk değildir q" diyeceğiz.
Genelde eşitlikte veya denklikte biz üstüne çizgi attığımızda bu tam tersini ifade eder.
Burada da aynı şekilde olacak.
Şimdi peki, örneğine bakalım.
Aşağıda verilen önermelerden birbirine denk olanları bulunuz.
Yani ilk önce doğruluğuna ve yanlışlığına karar vereceğiz.
Daha sonra devam ettireceğiz işlemimizi.
Demiş ki p önermesinde, "Asal sayılar tektir." Şimdi, asal sayıların hepsi tek değil.
2 de bir asal sayı ve çift.
O zaman demek ki bunun hepsi doğru olmadığı için ben bunun denginin q "Bir irrasyonel sayıdır." demiş.
Evet, q bir irrasyonel sayıdır.
O zaman demek ki q'nun dengi 1 olacak çünkü doğru bir önerme.
Peki, r'ye bakalım.
r demiş ki "7 eksi 5, 5 eksi 7'ye eşittir." Hayır çünkü 7'den ki bunlar birbirlerine eşit değil, o yüzden demek ki bu önermenin de yanlış olduğunu söyleyeceğiz ve sonuncusu yani s önermesi, bunun da dengine bakalım: "Eksi 3'ün karesi eksi 9'dur." demiş.
Evet çünkü buradaki kare buradaki eksi ile ilgilenmez ve eksi burada aynen kalır.
3'ün de karesini aldığımızda 9 gelecektir.
O zaman demek ki bu önerme de doğrudur diyeceğiz.
O zaman demek ki ne olacak?
Biz p ile r'nin denk olduğunu söyleyeceğiz.
Yani şöyle: p denktir r ve sonuç olarak da q ile de s'nin birbirlerine denk olduğunu söyleyeceğiz.
Onu da buraya yazmış olalım: q denktir s.
Yanlışlar birbirine denk oldu, doğrular da birbirine denk olmuş oldu.
Peki farklı bir örneğe bakalım.
p, q, r, s önermeleri verilmiş, buna göre burada verdiği ifadelerden hangilerinin doğru olduğunu soruyor.
Denklikler var burada, o zaman demek ki doğruluğuna yanlışlığına karar vereceğiz biz bunların.
Bakalım, şimdi p: "1 hafta 6 gündür." Yanlış.
Hiç üstüne konuşmaya gerek yok.
q: "Pozitif olmayan en büyük tamsayı sıfırdır." demiş.
Evet, pozitif olmayan en büyük tamsayı sıfırdır.
Bundan sonra zaten eksiler gelecektir.
O zaman demek ki q'nun biz ne yapacağız, denginin bir olduğunu söyleyeceğiz.
r önermesi "En büyük asal rakam 7'dir." demiş.
Evet, doğrudur.
Asal rakam dediği için 7'dir.
Rakam demeseydi bu doğru olmazdı.
O zaman demek ki r'nin de denginin ne demiş, "4'ün karesi ile 5'in karesini toplarsam 6'nın karesi yapar." demiş ki bu yanlıştır.
Hemen doğruluğunu gösterelim karesi 36'dır yani bu eşit olmadığı için s'nin de dengi 0 olacak.
Peki, biz bundan ne çıkartabiliriz?
p ile s'nin denk olduğunu söyleyebiliriz.
"p denktir s." ve harici olarak da q ile r'nin birbirlerine denk olduğunu söyleriz çünkü doğruluk değerleri aynı.
Peki, inceleyelim.
Adam ne demiş?
p ile s denktir demiş.
Doğrudur.
q ile r denktir demiş.
Doğrudur ama r ile s denk değildir çünkü r ile s'nin doğruluk değerleri aynı değil -şurada gördüğüm üzere-.
Biri 1 iken biri 0, o yüzden bu kabul edilemez yani demek ki cevabımız burada ne olacak?
1 ve 2 olmuş olacak.
Bir önermenin hükmünün değiştirilip yerine olumsuzunun kullanılması ile elde edilen önermeye ilk önermenin -biz ne deriz- olumsuzu veya değili deriz ki değili demek daha fazla karşılaşacağımız bir durum olacak.
Bu şekilde söylenir ve p önermesinin değili de -burası önemlidir- çok fazla karşılaşacağız.
p'nin üstüne bir çizgi atarak gösteririz.
"p değildir." anlamına gelir bu.
Peki, "Bir önermenin değilinin değili kendisine denktir." diyor Evet, bunu da şu şekilde gösterebiliriz: p'nin değilinin değili tekrardan p'ye dönecektir çünkü olumsuzluğun olumsuzunu almaya çalışıyorsun yani aslında en başa dönmüş oluyorsun.
Peki bunu bir de tabloda göstermiş olalım.
Şimdi, p, p'nin değili ve p'nin değilinin değili var burada.
Buradaki ihtimallerde p hangi doğruluk değerlerini alabilir?
Ya 1'i alır ya da 0'ı alır.
p'nin değili ne alacak o zaman demek ki?
p 1'i aldıysa 0'ı alacak, 0'ı aldıysa aslında şunun bir daha değerini alıyoruz, 0'ın değili tekrardan 1 olur.
ki bakarsak şuradaki ifadeler birbirlerine zaten aynı gelmiş oluyor yani biz ne yapmış olduk?
Buradaki ifadenin doğruluğunu da burada göstermiş olduk.
Şimdi örnek: Aşağıdaki önermenin değillerini (olumsuzlarını) yazınız demiş.
Biz yazmayacağız, sadece söyleyip geçelim.
p önermesi: "Trigonometri matematiksel bir terimdir." demiş.
O zaman bunun olumsuzu ne olacak?
"Trigonometri matematiksel bir terim değildir." olacak.
q: "4'ün katları olan sayılar tek sayıdır." demiş.
Biz ne diyeceğiz?
"4'ün katları olan sayılar tek sayı değildir." diyeceğiz değilinde.
r önermesi: "Şanlıurfa ili Güneydoğu Anadolu Bölgesindedir." Biz ne diyeceğiz değilinde?
"Şanlıurfa İli Güneydoğu Anadolu Bölgesinde değildir." diyeceğiz.
s önermesi "Peribacaları Kapadokya bölgesinde değildir." demiş.
O zaman tekrardan biz bunun değilini alırsak "Peribacaları Kapadokya bölgesindedir." deriz.
Umarım bu kısım anlaşılmıştır diye düşünüyorum.
Şimdi bunların matematiksel olanlarına bakalım.
p ve q önermeleri verilmiş.
"Buna göre buradaki öncüllerden hangileri doğrudur?
" demiş.
Şimdi bir p önermesine bir bakalım, ne yapmış p önermesinde?
4 ile 7'yi toplamış, 11'den küçük demiş.
Yanlış çünkü 4 ile 7'yi toplarsak 11 yapar.
11, 11'den küçük müdür?
Hayır.
O zaman demek ki biz buradan ne diyeceğiz?
p önermesinin dengi sıfırdır diyeceğiz.
"Eksi 8, eksi 7'den büyüktür." demiş.
Bakalım şimdi eksi 8, eksi 7'den büyük mü oluyor?
Normalde negatif olmasa doğru ama negatif olduğu için bu yanlış olacak yani aslında burada q önermesinin de dengi zaman.
Buna göre, p'nin değili önermesine ne demiş?
"4 ile 7'yi toplarsam 11' den büyük gelir." demiş.
Doğrudur, sadece buradaki işaretin yani sembolün değişmesi yeterlidir değilini alırken.
O zaman bu doğru gelir.
q'nun değeri "eksi 8 küçüktür eksi 7'dir." demiş yine doğrudur bu çünkü sadece sembolün değişmesi yeterliydi.
O zaman bu da değiştiğinde biz değilini almış oluruz.
"p'nin değeri sıfırdır." demiş.
Şimdi biz p'yi 0 bulduysak değilini 1 bulmalıydık.
O zaman demek ki bu yanlış gelecektir.
"q'nun değili 1'dir." demiş.
Evet, q 0 olduğu için bunun değili 1 olur.
Doğrudur.
"p denktir q" demiş.
Evet, doğrudur çünkü p ile q'nun doğrulukları aynı olduğu için bunlar birbirlerine denk gelirler yani bu da doğru olmuş olacak yani doğrulara hangilerine karar vermiş olduk?
Şimdi son örneğimiz: burada yine p, q, r önermeleri verilmiş.
Biraz daha karışık önermeler koyduk buraya.
"Buna göre bu öncülerden hangileri doğrudur?
" demiş.
Şimdi p önermesini inceleyelim.
"5'in karesi artı 12'nin karesi, 17'nin karesidir." demiş.
bunun 17'nin karesine eşit olmayacağını biliriz çünkü zaten burada kökünü falan almış -ki bunun ihtimali yok zaten doğru olmasının-.
O zaman demek ki biz buna ne diyeceğiz?
p önermesinin denginin 0 olduğunu söyleyeceğiz.
q "28 bölü 7 bir tam sayıdır." demiş.
Doğrudur.
28 çünkü 7'ye tam bölünür ve orada 4 sayısı gelir ki bu doğru olduğunu söyler bize.
r önermesi, kök 2 ile kök 3 sonucunun kök 6 olduğunu söylemiş.
Evet, doğrudur çünkü köklerin dereceleri aynı olduğunda içlerini direkt olarak çarpabiliyoruz.
Peki, şimdi bunlara karar verdik.
"p denktir r" demiş.
Şimdi inceleyelim arkadaşlar, p 0 iken r 1, bunların denk olma ihtimali yok o zaman demek ki bu yanlış olacak.
Şimdi, 2 ve 3'te de değillerine bakmış.
Değiller artık kolaydır diye düşünüyorum.
r'nin değili "Kök eşitken eşit değil olması gerekir ki bu doğru olur ve p nin değili de "5'in karesi artı 12'nin karesinin kökü 17'nin karesi eşit değildir." demiş.
Sadece bunun değişmesi lazımdı.
O da değiştiği için bu da doğru olmuş olacak yani 2 ve 3 burada doğrudur diyoruz.