Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersteki konumuz sinüs iki kat açı formülü. Yarım açı formülü diye de geçer.
Şimdi önceki derslerimize bir hatırlatma babında dönüş yapalım isterseniz.
Sinüsün toplam formülü neydi?
Sinüs a artı b'yi biz nasıl söylemiştik?
Biliyorsunuz paylaşımcı bir fonksiyondu.
Yani sin(a+b) demek sina çarpı cosb artı sinb çarpı cosa, hatırlıyorsunuz bunu.
Zaten burası artıyken sinüste değişen bir şey olmaz.
Burası da artıydı ve biz şimdi diyoruz ki a eşittir b eşittir x alırsak eğer ne olur?
İşte x artı x'ten sinüs x.
Sonrasında artı, yine sinüs x çarpı kosinüs x gelir.
Dolayısıyla şu iki ifadeyi topladığımızda sinüs 2x dediğimiz ifade 2 çarpı sinx çarpı cosx olarak bulunmuş olur.
İşte bu çok önemli sinüsün yarım açı ya da iki kat açı formülü.
Yani aslında siz, sağdan sola gidelim önce.
Yani, sinx ve cosx'in çarpımını yan yana görürseniz, burada bir de 2 çarpanı oluşturabiliyorsanız bu ifade direkt sinüsün iki kat açısıdır.
Ya da işte bir ifadeyi gördünüz, bunu parçalamaya çalışıyorsunuz.
Burada ne diyeceksiniz?
Hemen açıyı ikiye bölerek başına iki parça halinde yazabilirsiniz.
Şimdi sinüs 4x'i yazmaya çalışalım.
Nedir bu?
Parçalıyorum 2 çarpı sinüs, bu sefer açıları ikiye böleceğim, 2x çarpı kosinüs 2x.
Aynı şekilde burada da yapacağım. Sinüs α'yı nasıl yazacağım o zaman?
2 çarpı sinüs α/2 çarpı kosinüs α/2.
Sinüs 10 derece de aynı şekilde yazılacak.
2 çarpı, açıyı ikiye bölüyorum, sinüs 5 derece çarpı kosinüs 5 derece şeklinde buradaki boşlukları doldurduktan sonra örneğimize geçiyoruz.
Sinüs 22,5 derece çarpı kosinüs 22,5 derece.
İşte az önce söylediğimiz ifade buydu. Şimdi sinüsle kosinüsün çarpımını yan yana elde ettik ya.
Burada bir tane 2 çarpanı oluşturuyoruz yani 2'yle çarpıp 2'ye böldük.
Yukarısı ne oldu arkadaşlar?
2 çarpı sina çarpı cosa.
Yani direkt sinüs 2a oldu.
O halde buraya ben ne yazabilirim?
Sinüs 45 derece yazabilirim arkadaşlar, Bakın lütfen şunu unutmayın.
Şimdi sin45 nedir?
Kök 2 bölü 2'dir.
Siz tekrar bunu 2'ye bölerseniz bu işlemin sonucu kök 2 bölü 4 olarak bulunmuş olur sevgili arkadaşlar diyelim ve bir sonraki sorumuza geçelim.
Sinüs x eksi kosinüs x eşittir 2/3 olduğuna göre sinüs 2x değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Hemen ne yapıyorum?
Bize verilen eşitlikte her iki tarafın karesini alıyorum.
Şimdi birincinin karesi sin²x eksi birinciyle ikincinin çarpımının iki katı, 2 çarpı sinüs x çarpı kosinüs x, artı ikincinin karesi.
Yani cos²x arkadaşlar. Karşı tarafın da karesini almayı unutmayalım, şimdi 2 çarpı sinüs x çarpı kosinüs x.
Bunu az önce öğrendik.
Neydi bu?
Sinüs 2x'di, buradaki eşittir 4/9'muş.
Bilinenleri ve bilinmeyenleri bir tarafta toplarsak eğer sin2x eşittir 1 eksi bulunmuş olur sevgili gençler.
Evet ve gelelim bir sonraki sorumuza, hiç zaman kaybetmeden. Kosinüs 39 derece bölü kosinüs 13 derece eksi sinüs 39 derece bölü sinüs 13 derece ifadesinin değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Biliyorsunuz daha önce de söyledim, eğer rasyonel bir ifade varsa konu ne olursa olsun hemen payda eşitleyeceğiz. Yani burayı, pay ve paydasını sinüs 13 dereceyle, sağ tarafı da kosinüs 13 dereceyle çarpacağım. Şimdi yukarısı ne olur?
Bakalım şimdi ortak payda zaten şurası yazılabilir herhalde.
Sinüs 13 derece çarpı kosinüs 13 derece.
Burada zaten herhalde bir yarım açı koktu, değil mi?
2 ile çarpıp 2 ile bölme olayı birazdan gerçekleşir.
Peki yukarısı ne?
Ona bakalım hemen.
Şimdi orada şöyle bir durum var.
Sinüs 13 derece çarpı kosinüs 39 derece eksi yanında sonrasında sinüs 39 derece çarpı kosinüs uzatıyorum.
Şimdi, değerli arkadaşlar yukarıda da bir sinüsün fark formülü var gibi ama şimdi kimden kimi çıkaracağız?
O önemli çünkü a eksi b'de önce sinüs a açısını alıyordu.
Dolayısıyla burada çıkarıp başına eksi koyabiliriz.
Değil mi?
Çünkü küçük açıyı önce yazmış.
O halde isterseniz şöyle yazayım buraya, bir tane eksi koyayım.
39'dan 13 çıkardığımızda ne olur?
26.
Dolayısıyla burası sinüs 26, aslında -26 derece ama eksiyi dışarı kusturdum ve burada şunu yapayım isterseniz.
Yarım açıda az önce bahsetmiştik ya, 2 ile çarpıp 2'yle bölme işlemini de gerçekleştirelim.
Yukarıda bir tane çarpı 2 de kalsın, bölü aşağısı ne oldu?
gibi sinüs 26'lar da kısalırsa eğer bu ifadenin değeri -2 olarak bulunmuş olur sevgili arkadaşlar ve bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersteki konumuz sinüs iki kat açı formülü. Yarım açı formülü diye de geçer.
Şimdi önceki derslerimize bir hatırlatma babında dönüş yapalım isterseniz.
Sinüsün toplam formülü neydi?
Sinüs a artı b'yi biz nasıl söylemiştik?
Biliyorsunuz paylaşımcı bir fonksiyondu.
Yani sin(a+b) demek sina çarpı cosb artı sinb çarpı cosa, hatırlıyorsunuz bunu.
Zaten burası artıyken sinüste değişen bir şey olmaz.
Burası da artıydı ve biz şimdi diyoruz ki a eşittir b eşittir x alırsak eğer ne olur?
İşte x artı x'ten sinüs x.
Sonrasında artı, yine sinüs x çarpı kosinüs x gelir.
Dolayısıyla şu iki ifadeyi topladığımızda sinüs 2x dediğimiz ifade 2 çarpı sinx çarpı cosx olarak bulunmuş olur.
İşte bu çok önemli sinüsün yarım açı ya da iki kat açı formülü.
Yani aslında siz, sağdan sola gidelim önce.
Yani, sinx ve cosx'in çarpımını yan yana görürseniz, burada bir de 2 çarpanı oluşturabiliyorsanız bu ifade direkt sinüsün iki kat açısıdır.
Ya da işte bir ifadeyi gördünüz, bunu parçalamaya çalışıyorsunuz.
Burada ne diyeceksiniz?
Hemen açıyı ikiye bölerek başına iki parça halinde yazabilirsiniz.
Şimdi sinüs 4x'i yazmaya çalışalım.
Nedir bu?
Parçalıyorum 2 çarpı sinüs, bu sefer açıları ikiye böleceğim, 2x çarpı kosinüs 2x.
Aynı şekilde burada da yapacağım. Sinüs α'yı nasıl yazacağım o zaman?
2 çarpı sinüs α/2 çarpı kosinüs α/2.
Sinüs 10 derece de aynı şekilde yazılacak.
2 çarpı, açıyı ikiye bölüyorum, sinüs 5 derece çarpı kosinüs 5 derece şeklinde buradaki boşlukları doldurduktan sonra örneğimize geçiyoruz.
Sinüs 22,5 derece çarpı kosinüs 22,5 derece.
İşte az önce söylediğimiz ifade buydu. Şimdi sinüsle kosinüsün çarpımını yan yana elde ettik ya.
Burada bir tane 2 çarpanı oluşturuyoruz yani 2'yle çarpıp 2'ye böldük.
Yukarısı ne oldu arkadaşlar?
2 çarpı sina çarpı cosa.
Yani direkt sinüs 2a oldu.
O halde buraya ben ne yazabilirim?
Sinüs 45 derece yazabilirim arkadaşlar, Bakın lütfen şunu unutmayın.
Şimdi sin45 nedir?
Kök 2 bölü 2'dir.
Siz tekrar bunu 2'ye bölerseniz bu işlemin sonucu kök 2 bölü 4 olarak bulunmuş olur sevgili arkadaşlar diyelim ve bir sonraki sorumuza geçelim.
Sinüs x eksi kosinüs x eşittir 2/3 olduğuna göre sinüs 2x değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Hemen ne yapıyorum?
Bize verilen eşitlikte her iki tarafın karesini alıyorum.
Şimdi birincinin karesi sin²x eksi birinciyle ikincinin çarpımının iki katı, 2 çarpı sinüs x çarpı kosinüs x, artı ikincinin karesi.
Yani cos²x arkadaşlar. Karşı tarafın da karesini almayı unutmayalım, şimdi 2 çarpı sinüs x çarpı kosinüs x.
Bunu az önce öğrendik.
Neydi bu?
Sinüs 2x'di, buradaki eşittir 4/9'muş.
Bilinenleri ve bilinmeyenleri bir tarafta toplarsak eğer sin2x eşittir 1 eksi bulunmuş olur sevgili gençler.
Evet ve gelelim bir sonraki sorumuza, hiç zaman kaybetmeden. Kosinüs 39 derece bölü kosinüs 13 derece eksi sinüs 39 derece bölü sinüs 13 derece ifadesinin değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Biliyorsunuz daha önce de söyledim, eğer rasyonel bir ifade varsa konu ne olursa olsun hemen payda eşitleyeceğiz. Yani burayı, pay ve paydasını sinüs 13 dereceyle, sağ tarafı da kosinüs 13 dereceyle çarpacağım. Şimdi yukarısı ne olur?
Bakalım şimdi ortak payda zaten şurası yazılabilir herhalde.
Sinüs 13 derece çarpı kosinüs 13 derece.
Burada zaten herhalde bir yarım açı koktu, değil mi?
2 ile çarpıp 2 ile bölme olayı birazdan gerçekleşir.
Peki yukarısı ne?
Ona bakalım hemen.
Şimdi orada şöyle bir durum var.
Sinüs 13 derece çarpı kosinüs 39 derece eksi yanında sonrasında sinüs 39 derece çarpı kosinüs uzatıyorum.
Şimdi, değerli arkadaşlar yukarıda da bir sinüsün fark formülü var gibi ama şimdi kimden kimi çıkaracağız?
O önemli çünkü a eksi b'de önce sinüs a açısını alıyordu.
Dolayısıyla burada çıkarıp başına eksi koyabiliriz.
Değil mi?
Çünkü küçük açıyı önce yazmış.
O halde isterseniz şöyle yazayım buraya, bir tane eksi koyayım.
39'dan 13 çıkardığımızda ne olur?
26.
Dolayısıyla burası sinüs 26, aslında -26 derece ama eksiyi dışarı kusturdum ve burada şunu yapayım isterseniz.
Yarım açıda az önce bahsetmiştik ya, 2 ile çarpıp 2'yle bölme işlemini de gerçekleştirelim.
Yukarıda bir tane çarpı 2 de kalsın, bölü aşağısı ne oldu?
gibi sinüs 26'lar da kısalırsa eğer bu ifadenin değeri -2 olarak bulunmuş olur sevgili arkadaşlar ve bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Sıkça Sorulan Sorular
Sinüs yarım açı formülü nedir?
Trigonometri yarım açı formülleri konusunda ilk olarak sinüs yarım açı formülünü inceleyelim.
sin(a + b) = sina . cosb + sinb . cosa olduğunu biliyoruz.
a = b = x alınırsa sin2x açılımı bulunabilir.
sin (2x) = sinx . cosx + sinx . cosx olacaktır.
sin(2x) = 2 . sinx . cosx olarak bulunur.
Örneğin,
sin4x = 2 . sin2x . cos2x
sin10° = 2 . sin5° . cos5°
