Sinüs Fark Formülü

Sevgili arkadaşlar herkese merhabalar, bu dersteki konumuz sinüs fark formülü.
Ayrı ayrı sinüs ve kosinüsün değerlerini bildiğimiz iki farklı açıyı ele alalım ve bu açıların farkının sinüs değerini nasıl hesaplayacağız?
Şimdi bu dersimizde bundan bahsedeceğiz.
Örneğin sinüs 15 nasıl hesaplanacak bunu öğreneceğiz.
Arkadaşlar şimdi sinüs 15 derken 15 derece.
Bildiğimiz iki açının farkı cinsinden yazılabiliyor mu?
Evet, yazılabiliyor.
Hangi açılar onlar?
45 derece ve 30 derece olarak.
Şimdi peki 45 derecenin, 30 derecenin tüm trigonometrik değerleri bulunabilir.
Acaba 15 dereceninki nasıl hesaplanır kolay yoldan?
Şimdi ondan bahsedeceğiz.
Tabii ki 15 75 90 üçgeninin de kenar uzunlukları bilen bir arkadaşımız bunu rahatlıkla bulabilir.
Ama biz o üçgenin kenar uzunluğunu kullanmadan da bu trigonometrik değer hesaplanabilir.
Şimdi bu dersimizde bunu anlatacağız.
Şimdi sinüs A artı B'yi nasıl biz açıkladık hatırlayın sinüsün toplam formülünü.
Sinüs dedik ki paylaşımcı bir fonksiyondur ve iyi huylu olur.
Yani aradaki işaret artı ise artı, eksi ise eksi alır.
Dolayısıyla hemen bakınız paylaşımcı özelliğinden Sin a çarpı cos b hemen açıları paylaştılar.
Eksi olduğu için burada eksi attım.
Sonra açılar yer değiştiriyor sin b çarpı cos a.
Dolayısıyla sinüsün fark formülü bu şekilde imiş.
Şimdi hemen basitçe sinüs 15'in nasıl hesaplandığını konuşalım.
Sinüs 15 derece demek sinüs 45 derece ile 30 derecenin farkıdır.
Dolayısıyla hemen burada ben şimdi ne yaparım?
Sinüsün fark formülünü açarım.
Yani derim ki sinüs 45 derece çarpı sinüs 30 derece paylaştık.
Eksi olduğu için burada eksi olur.
Hemen sonra yer değiştiriyoruz.
Sinüs 30 derece çarpı.
Bu sefer kosinüs 45 derece diyorum.
Hemen yazalım arkadaşlar değerleri sin 45 kök iki bölü 2'dir.
Cos 30 kök 3 bölü ikidir.
Eksi sinüs 30, bir bölü 2'dir.
Yine 45 sin 45'e eşit ve kök iki bölü 2'dir.
Bu ifadelere baktığımız zaman paydalarımız ortak ve dört.
Kök 2'ler de ortak, kök 2 bölü 4 parantezinde kök üç eksi 1 olarak aradığımız sinüs 15'in değeri rahatlıkla bulunabilir.
Bu şekilde sinüs fark formülü sorularda işimize yarayacak.
Şimdi isterseniz artık örnek sorularımıza geçelim.
Diyor ki Pi bölü iki ve pi arasında bir alfa açımız var.
Pi ile 3 pi bölü 2 arasında bir beta açımız var.
Cos alfa eksi 15 bölü 17, cos beta da 3 bölü 4 olduğuna göre sinüs beta eksi alfa ifadesinin sonucu bize sorulmuş.
Şimdi sinüs beta eksi alfayı açtığımızda karşımıza alfanın ve betanın sinüs kosinüs değerleri çıkacak.
Dolayısıyla her iki açının da sinüs ve kosinüsü bana lazım olduğu için bana verilen değerler hemen dik üçgen alarak trigonometrik oranlarını hesaplamaya çalışayım.
Tabii ki şunu da burada söylemek gerekir arkadaşlar buraya alfa yazdığım zaman bu doğru bir gösterim değil ama biz bunu sadece trigonometrik oranı bulmak için kullanacağız.
Yani niye doğru gösterim değil açıklayalım.
Şimdi diyor ki pi 2'den büyük, 1'den küçük, yani 90'dan büyük, 180'den küçük bir açı var.
Nasıl bunu dik üçgene alacağız ki?
Alamayız doğru.
Ben bunu dar halde düşünüp dik üçgeni aldım.
Sonrasında ne yapacağım?
Trigonometrik değerin bölgesine göre işaretini belirleyeceğiz.
Şimdi kosinüs neydi?
Komşu bölü hipotenüstü.
Tabii burada artısı eksisi bunun yazılmaz.
Yani oran sonuçta uzunluk.
Bunlar hep pozitif olur ama oran aldıktan sonra sadece bölgeye göre işaret değişir.
Bu ne üçgeni arkadaşlar?
8, 15, 17 üçgeni hemen diğer dik kenarımıza sekizi yazdık.
Bir dik üçgen de beta için çizelim mi?
Betayı da oraya yerleştirelim betanın kotanjantı var.
Yani komşu bölü karşısı var elimizde, şurası da 5'miş.
Değerli gençler hemen şöyle diyorum.
Sinüs Beta Eksi Alfa Açılımı Neydi?
Sinüs paylaşımcı.
İlk açıyı kendisi aldı, ikinci kosinüse verdi.
Eksi ise eksi sonrasında.
İşte sinüs alfa yer değiştiriyorlar.
Çarpı sinüs beta.
Hadi bundan şimdi dik üçgeni hızlıca bulalım arkadaşlar.
Sinüs beta nedir?
Sinüs beta yani karşı bölü hipotenüs.
4 bölü 5.
Hangi bölgedeydi beta?
Beta hangi bölgede?
180'den büyük, 270'ten küçük.
Dolayısıyla işaret ne?
Eksi çarpı şimdi kosinüs alfa komşu bölü hipotenüs.
Ne yazacağım oraya?
15 bölü 17 ama yine bölgeye göre zaten söyleyeceğim ama şurada da zaten bakın soruda da onun eksi olduğunu vermişti.
Eksi 15 bölü on yedi olarak yazdım.
Evet, şimdi devam ediyorum.
Eksi koydum formüldeki eksi bu.
Sinüs alfa bu sefer karşı bölü komşu 8 bölü alfanın olduğu bölgede.
Karşı 8, hipotenüs de 17.
Çarpı dedim ama ondan önce sinüsün bu bölgedeki işareti ne?
Şimdi alfa dediğimiz şey nerede?
Pi bölü iki ile Pi arasında yani ikinci bölgede.
Dolayısıyla işareti artı hiç dokunmuyorum buna.
Geldik kosinüs betaya, betanın komşu bölü hipotenüsüne bakacağım.
3 bölü 5 o da herhalde.
Betanın peki hangi bölgede olduğunu biliyorum.
Bu bölge Pi ile üç pi bölü iki üçüncü bölge.
Dolayısıyla kosinüsün üçüncü bölgedeki işareti yine eksi, şurada bir eksi var arkadaşlar.
Gördüğünüz gibi iki eksi burada artı yaptı.
2 eksi burada artı yaptı.
Sorun yok, sorun yok.
Peki sadeleştirme olayımız var mı?
Şimdi şurası sadeleşiyor ama öbür tarafta sadeleştirme olmuyor.
Dolayısıyla bunu isterseniz çarpalım.
Beş kere yedi otuz 35 elde üç, 85 olarak kalsın.
Yukarısı ne yaptı?
60 15 kere 4 arada artımız var, bir de 24'ümüz.
Dolayısıyla aradığımız cevap neymiş?
Sevgili gençler 84 bölü 85 olarak bulunmuş oluyormuş diyoruz ve bu soruyu da tamamladıktan sonra hemen geldik bir sonrakine.
Sinüs m artı n 2 bölü 3 diyor.
Sinüs m eksi n de bir bölü iki olduğuna göre sin m çarpı cos n ifadesinin değeri kaçtır?
Şimdi sinüs m artı ne demek?
Sinüs m çarpı kosinüs n.
Sonra arada artı var.
Sinüs n çarpı kosinüs m.
Bu ifade 2 bölü 3'e eşitmiş.
Hemen sinüsün farkını da açalım isterseniz.
Sinüs m çarpı kosinüs n bu sefer eksi olacak devam ediyorum.
Sinüs n çarpı sinüs m.
Bunlar yer değiştirdiler.
Bu da neymiş bir bölü iki imiş arkadaşlar.
Şimdi bana sorulan sinüs m ve kosinüs n'nin çarpımı.
Şimdi nerede var o bakalım sinüs m ve kosinüs n, şurada var.
Başka nerede var?
Hemen aşağıda da var.
Gördüğünüz gibi aynı şey ve zaten bu ikisini taraf tarafa topladığımda istemediğim sinüs n ve sinüs m'ler gidiyor.
Bakın artı ve eksi bunlar öbürünü götürüyor.
Yani bana sorduğu şeye ben ne diyeyim isterseniz.
Bir k diyeyim büyük k.
Topladığımızda taraf tarafa burası 2 K olacak.
Eşittir taraf tarafa toplarken ne yapacağım?
Şurayı 2'yle burayı da 3'le genişlettiğimde iki kere iki dört, üç daha yedi bölü altı olarak bakınız şurayı buldum.
Dolayısıyla 2K buysa aradığımız k yani sinüs çarpı kosinüs n değeri yedi bölü on iki olarak bulunmuş olur diyoruz ve bu soruyla birlikte dersimizinde sonuna gelmiş oluyoruz.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.