Sinüs Toplam Formülü

Sevgili arkadaşlar herkese merhabalar.
Bu derste ki konumuz sinüs toplam formülü.
a ve b gibi iki tane açımız olsun.
Bu açıların biz sinüs ve sinüs değerlerini biliyor iken iki açının toplamının sinüs değeri nasıl hesaplanır?
Bu dersimiz de bundan bahsedeceğiz.
Örneğin işte sinüs 75 hesaplayacağız.
Şimdi baktığımızda bir sinüs 75'in değerini bilmiyoruz ama 75 dereceyi bilindik iki açı cinsinden yani onların toplamı cinsinden yazabilirim.
Mesela 45 derece ve 30 derece gibi.
Şimdi 45 derecenin 30 derecenin tüm trigonometrik oranlarını biliyorum.
Yani sinüslerini, kosinüslerini hatta kotanjantları lazım değil ama onları da biliyorum.
Bu 2 açının toplamının sinüs değerini elde edeceğim işte, bu derste bunu öğreneceğiz nasıl elde edeceğimizi.
Şimdi bu açlar a ve b diyelim sinüs a artı b nasıl bulunuyor bakalım.
Sinüs arkadaşlar paylaşımcı ve huylu, huyuna giden bir fonksiyondur.
Yani şöyledir.
İlk açıyı kendisi alır.
Sinüs a çarpı ikinci açıyı ise kosinüse verir.
Bakın paylaştı.
Artı burası artı ise burası da artıdır.
Yani insanın huyuna giden bir fonksiyon.
O yüzden diyorum ben ona.
Sonra hemen şunlara bakın yer değiştirir.
İşte a'yı kendisi almıştı ya bu sefer kosinüse verir, b'i kendisi almış olur.
Yani sinüs a çarpı cos b artı cos a çarpı sin b Sinüs a artı b'nin açılımı.
Dolayısıyla sinüs 75 nasıl hesaplanıyor?
İşte sinüs 45 derece artı 30 derece olarak düşündüğümüzde, a ve b olarak alalım.
Hemen kırk beşi kendine aldı, 30'u kosinüse verdi.
Artı bu sefer yer değiştiler.
45'i kosinüse verdi, kendisi 30 aldı.
Bu direk sin 75 değerini bize verecek.
Sin 45 nedir?
Kök iki bölü iki, cos 30 kök üç bölü iki, cos 45 zaten sin 45'e eşit, sin 30'da bir bölü iki, arada artı var.
Bakın paydamız ortak ve dört yukarıda kök 2'ler ortak.
Şu kök ikilerin de parantezini aldık oraya.
Kök iki parantezinde kök üç artı bir bölü 4 olarak sinüs 75 değeri hesaplanmış olur.
Basit bir örnek de şimdi isterseniz sorularımıza geçelim.
Diyor ki işleminin sonucu kaçtır?
Şimdi burada sinüs toplamına acaba benzer mi bakalım?
Çünkü sin cos geldi hemen artı da var ama diğer tarafta da bir sin cos lazım.
Sin cos da var ama arkadaşlar yani bakıyorum şimdi açılar birbirinden farklı.
Şimdi o yüzden hemen şu cos50'yi değiştireceğim.
Nasıl değiştireceğim bunu?
90'a tamamlayacağım.
Adı da değişsin.
Sinüs 40 derece.
Bakın kosinüstü sinüse geçti.
40'ta problem yok.
Şimdi 20'yi elde etmeye bakalım hemen.
Şimdi burada nasıl elde edilir bu?
Yirmi olabilmesi için burayı 90 artı yirmi olarak düşünmem lazım.
Şimdi 90 artı 20 olarak açıyı düşünürsem bu sinüs ne olur arkadaşlar?
Şimdi ikinci bölgede sinüs artı ama isim değişecek.
Yani kosinüs 20 olacak burası ki zaten istediğim şey o.
Niye?
Bakın ne oldu?
Tekrar yazayım şuraya sinüs 20 çarpı kosinüs 40 sonra artı öbür tarafta sinüs 40 çarpı adı değişti diğer fonksiyonun kosinüs 20 istediğim şey arkadaşlar işte bu 20 40, 40 20, sin cos, sin cos şeklinde.
Dolayısıyla burası nedir?
Sinüs a artı b'nin açılımıdır arkadaşlar.
Yani sinüs 20 derece artı 40 derece.
O halde burası sinüs 60'tır.
Sinüs 60 değeri kök üç bölü iki olduğu için işlerimizin sonucu da kökü 3 bölü 2'dir diyebiliriz.
Ve hemen vakit kaybetmeden diğer sorumuza geçelim.
Şimdi sin α çarpı cos 60 eksi α artı cos α çarpı sin α eksi 60.
Bakın şimdi işlemin sonucu kaçtır diye sormuş ama sin ve cos da α'larında problem yok ama diğeri de sin cos.
Bu da değişmiş aslında isimler.
Fakat gördüğünüz gibi şu açılar birbirinin eksilisi.
Şimdi burada şu özelliği kullanmaya çalışacağım.
Şunu hazırlıyorsunuz kosinüs eksi yutan bir fonksiyonunu yani sinüs ile kosinüs eksi x birbirine eşit, dördüncü derecede kendisi pozitif olduğu için.
Dolayısıyla şimdi sinüsü bozmayalım zaten bunun başında artı var.
Sinüs o eksiyi unutamaz, dışarı kusar.
Dolayısıyla kosinüste oynama yapacağım ben.
Şu ifadenin yerine ne yazacağım?
Kosinüs α eksi atmış yazabilirim.
Yani bunu tıpkı şuna benzetebilirsiniz.
Biz mutlak değerde işlemler yaparken ne yapıyoruz işte bazen gidiyoruz mutlak içerisinde a eksi b gördüğümüz yere b eksi a yazabiliriz.
Ne olacak bir mutlak içerisinde diyoruz.
O da şu kaynaklı bir a sayısının mutlak değeriyle eksilisinin 0'a olan uzaklığı, yani mutlak değer sıfıra olan uzaklık demek, eksilisinin 0!
a olan uzaklığı eşittir.
İşte ben bu özelliği kullandım.
Kosinüste de bu ona birazcık benziyor.
Yani alfa içerdeki alfa ve eksi alfa birbirlerine eşit olma durumu kaynaklı.
Şimdi tabi bunu yaptıktan sonra gördüğünüz gibi açılar aynı sin cos'ta yer değiştirmiş.
Dolayısıyla problem yok.
Bu direk açılım olmuş oldu, sinüsün toplam formülünün hatta açılımı.
Alfa artı nedir diğeri alfa eksi atmış hemen şu ikisinin toplamı şeklinde.
Dolayısıyla bu işlemin sonucu sinüs iki alfa eksi 60 olarak hesaplanmış olur ve bu şekilde bırakabiliriz.
Hiçbir sakıncası yok diyelim ve gelelim bir sonraki sorumuz.
Sinüs x artı y 4 bölü 5 olarak verilmiş.
Sinüs x de 1 bölü 3 olarak verilmiş ve bana sevgili gençler sinüs 2x artı y ifadesinin değeri kaçtır diye soruluyor.
Aslında iki tane ayrı açı gibi düşünün.
Bunların sinüslerini vermiş acaba diyor toplamlarının, bu açıların toplamlarının sinüsü bunu fark ettiniz değil mi?
Şu ifade nedir aslında sinüs x artı y ile x'in toplamıdır.
Yani şu yukarıda verdi 2 tane açının toplamıdır.
Dolayısıyla bunlardan birini a diğerini b gibi düşünün, ne yapıyordum?
Sinüs paylaşımcı idi.
İlk açıyı kendisi alıyordu, çarpı diğerini kosinüse veriyordu ,artı ise de artı vardı arada, artı ise şurada artı oluyordu.
Sonra yer değiştiriyordu.
Yani işte sinüs x'i bu sefer alıyordu.
x artı y'yi kosinüse veriyordu gibi.
Şimdi bakalım sinüs a artı y belli, 4 bölü 5.
cos x'i bulmam lazım.
Bana çünkü sinüs x vermiş öbür tarafta eksi biliyorum zaten.
Şimdi bu işleme birazdan devam edeyim, isterseniz şuraya iki tane dik üçgen çizelim.
O sinüslerini bildiğimiz ifadelerin kosinüslerini de bulmuş oluruz dik üçgen yardımıyla.
Bunlardan yukarıdakine x artı y diyelim.
Şurası da x olsun.
Bana ne verdi?
x artı y'nin sinüsü, yani sinüs ne demek karşı bölü hipotenüs.
Gördünüz gibi 3 4 5 üçgenidir burası.
Diğer dik kenarımız da 3 oldu.
Aşağıdayım x'in sinüsü var yani karşı bölü hipotenüs.
Dolayısıyla 9, 3'ün karesi 9, eksi birden kök 8.
Şurası da 2 kök imiş diğer dik kenarımız.
Sevgili gençler tamam istediğimizi bulduk şimdi kosinüs x'i istiyor ya komşu bölü hipotenüstür.
Yani iki kök iki bölü üçtür.
Artı işlemime devam ediyorum.
Sinx'i vermişti zaten, bir bölü üçtü.
x artı y2nin kosinüs değeri, hemen bakıyorum kosinüs nedir?
Komşu bölü hipotenüs.
Yani arkadaşlar üç bölü beş.
Hiç sadeleştirme yapmayalım isterseniz.
Paydamız ortak bir şekilde on beş olarak kalmaya devam etsin.
Peki yukarıda var mı ortak paranteze alınacak bir şey?
Yok.
Dolayısıyla sekiz kök iki artı üç bölü on beş olarak ifadenin değeri hesaplanmış olur diyelim ve bu sorumuza birlikte dersimizi de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki derste görüşmek üzere kendinize çok iyi bakın.