Tanjant ve Kotanjant Toplam Formülü

Sevgili arkadaşlar herkese merhabalar, bu dersteki konumuz tanjant ve kotanjant toplam formülü.
Şimdi ilk olarak tanjantın toplamından bahsedelim.
Tanjant A artı B demek tan A artı tan B bölü bir eksi tan A çarpı tan B demektir.
Ben bu formülü Tantan van tantan şeklinde ezberlettiriyorum.
Tanjant A artı tanjant b bölü 1 eksi 2 açının bu sefer tanjantlarının çarpımı yani tanjant a çarpı tanjant b.
Kotanjant formülüne gelecek olursak aslında çoğu zaman biz kotenjantın formülünü kullanmayacağız.
Yani Kotanjant A artı B'yi bulmak yerine şu altta yanına yıldız attığım bir bölü Tanjant A artı B'yi bulacağız.
Daha doğrusu tanjantını bulacağız.
A artı b'yi ters çevireceğiz.
Kotanjant A artı B'yi elde etmiş olacağız ama isteyenler için onun da formülünün üzerinden bir sefer geçelim isterseniz.
Kotanjant A artı B demek ise cot A çarpı cot B eksi bir bölü cot A artı cot B demektir.
Ve isterseniz artık örneklerimize geçelim.
Şimdi kotanjant 75 derece ifadesinin değerini bulunuz demiş.
İsterseniz ben burada önce tanjant 75 dereceyi bulayım sonra bunu ters çevirelim.
Daha çok kotanjant sorularını bu şekilde çözeceğiz.
Şimdi tanjant 75 nasıl bulunur?
75'i bilindik 2 açının toplamı şeklinde yazabilmemiz lazım.
Bunu da şöyle yazmamız mümkün.
Tanjant 45 derece artı 30 derece şeklinde ve neydi tanjant A artı B.
Tantan van Tantan yani tanjant 45 derece artı tanjant 30 derece bölü aşağı geçtik.
Şimdi Van yani bir eksi yine tanjant 45 çarpı tanjant otuz yazıyorum.
Dolayısıyla bakınız ne oldu şimdi tanjant 75 derece eşittir.
Hemen bunların değerlerini yazalım.
Tanjant 45 nedir?
Birdir.
Sevgili arkadaşlar, tanjant otuz bir bölü kök 3 ya da diğer bir ifadeyle kök üç bölü üçtür.
Bir eksi ikisinin çarpımı da yine kök 3 bölü üç olacaktır.
Şimdi yukarıda payda eşitleyelim 3 artı kök 3 bölü 3 oldu.
Üst taraf şimdi alt tarafı ters çevirip çarpacak.
3 eksi kök 3 buluştu ya ters çevirip çarptığımızda ne olacak?
Şurası üç eksi kök 3 olacak.
Şunlar gitti gördüğünüz gibi 3 artı kök bölü 3 eksi kök 3.
Burada isterseniz yine 3 artı kök 3 ile buranın pay ve paydasını genişletelim.
Yukarısı ne olur?
Hemen üç kere üç dokuz bakın bir üç kök üç, bir üç kök üç daha geldi.
Altı kök üç.
Bir de ne var?
Kök üç ile kök üçün çarpımı ondan artı üç geldi.
Ve paydada da 9 eksi 3'ten altı var.
Sevgili arkadaşlar, bakınız 12 artı 6 kök üçü siz eğer 6'ya bölerseniz 2 artı kök 3 ifadesini bulmuş olursunuz.
Dolayısıyla bu tabii ki neydi?
Tanjant 75 dereceydi.
Fakat bana sorduğu şey ne?
O da kotanjant 75.
Yani bunun çarpmaya göre tersi bir bölü iki artı kök üç diyeceğiz ona.
Yine biz paydada köklü ifade bırakmayalım.
Pay ve paydayı eşlenik ile çarpıyorum hemen yukarısı ne olacak iki eksi kök üç olacak.
Payda kısmı ise 4 eksi üçten bir olacak.
Dolayısıyla kotanjant 75 değeri de iki eksi kök üç olarak hesaplanmış olacak.
Siz isterseniz kotanjant formülünü de kullanabilirsiniz.
Ben genelde kotanjant sorulan sorularda bu şekilde önce tanjant bulup sonra ters çeviriyorum diyelim ve zaman kaybetmeden diğer sorumuza da geçelim.
Alfa ve beta alfa ve beta özür diliyorum.
Sıfır pi bölü iki açık aralığında yani birinci bölgedeki iki açılmış.
Tanjant alfa 1 bölü 2, kotanjant beta 3 bölü 4 olduğuna göre tanjant alfa artı beta ifadesinin değeri kaçtır?
diye sormuş.
Şimdi şöyle yapacağız hemen bunları dik üçgenin alınabilir, iki tane açı dik üçgeni alayım ikisinde.
Tanjantını biliyoruz.
Alfanın Neydi tanjant karşı bölü komşuyla dik kenarlar arasında bire iki oran varsa hipotenüs kısa olanın yani birin kök 5 katı onu yazdım.
Şimdi bir dik üçgende beta için çizeceğim.
Onun da kotanjantını biliyorum ya.
Kotanjant neydi bu sefer komşu bölü karşı.
Burada da 3-4-5 özel üçgeni var zaten.
Bunu yapmamızın sebebi şuydu sevgili arkadaşlarım.
Tanjant alfa artı ve betayı bulurken şimdi Tantan Van Tantan'ın kullanalım yine ne diyeceğiz?
Tanjant alfa artı tanjant beta bölü bir eksi tanjant alfa çarpı tanjant beta.
Şimdi tanjant alfa 1 bölü 2.
Tanjant beta yok.
Elimde kotanjantı vardı.
Yok ben şimdi dik üçgeni aldım ya artık tanjant bulurum.
Karşı bölü komşu direkt terse çevirebilir.
Tabii ki sorun yoktu.
Böyle bir eksi tanjant alfa bir bölü 2.
Tanjant beta yine onu söyledik.
4 bölü 3 hemen isterseniz paydayı eşitleyelim.
Burayı 3'le burayı ikiyle genişletiyoruz.
Üst taraf ne oluyor?
3 artı 4 kere iki 8.
Yani 11 bölü altı geldi, alt tarafta ise bakın şimdi 2 kere 3 6 payda eşitliyorum 6 kere 6 eksi 4 yani 2 bölü 6 da oradan geldi.
Altılar da hemen kısalsın.
Aradığımız tanjant alfa artı beta değeri on bir bölü iki olarak hesaplanmış olur.
Sevgili arkadaşlar diyelim ve sıradaki sorumuza geçelim.
Şekildeki ABCD dikdörtgeninde diyor ki EC'ye siz eğer K derseniz DE bu durumda 2K olur.
AB 12 imiş.
Yani aslında 3K dediğimiz şey 12 imiş.
Dolayısıyla k'mız nedir?
4.
Yani EC uzunluğumuz.
Şöyle 4'müş.
DE uzunluğumuz da 8 ve AE şurası 10'muş.
Ben onu da yazdım.
Başka bildiğimiz bir uzunluk yok sanırım.
Hemen bakalım gerek de yok gibi.
Şurası 6 8 10 var öncelikle AB 6 hemen bunun karşılasın Ben 6 yazdım AD ve BC sonuçta birbirine eşit.
Ve şöyle diyelim şimdi örneğin şurası x açısı olsun, burası da Y açısı olsun.
Burada X artı Y artı alfa.
Sevgili arkadaşlar 180 derece olacak.
Çünkü onlar bütünler açılar üç tanesi birden şu şekilde baktığımızda bakın şöyle 180 tamamladılar.
Dolayısıyla alfa demek aslında 180 eksi X artı Y demekmiş.
Şimdi bana bunun nesini sormuş?
Tanjant.
O halde tanjant alfa eşittir yani tanjant 180 eksi x artı y ya 180'den geri geliyorum işaret eksi.
Ikinci bölgede isim de değiştirmiyor.
Eksi tanjant x artı y'yi aslında bana sormuş.
Tamam hemen ben bunu bulurum.
Şimdi ne olacak ki?
Eksi başında dursun.
Tanjantın toplam formülü neydi?
Tanx artı tany var.
Öncelikle karşı bölü komşudan 6 bölü 8, üç bölü dört de yazabilirim.
Tanjant x yerine artı hemen dik üçgenden okudum.
Bakın karşı bölü komşu.
Şimdi tanjanta bakıyorum.
O da EBC üçgeninde karşı bölü komşu.
Nedir?
6 bölü 4'ten 3 bölü 2.
Yukarıda ne yazdım?
Tanjant, eksi artı tanjant diye yazdım.
Şimdi bir eksi tanjant, x çarpı tanjant diye.
Yani bunların çarpımları.
Üç bölü dört çarpı üç bölü iki bitti arkadaşlar bitti.
Şimdi şurayı pay ve paydasını birle, bunun pay ve paydasını iki ile genişletiyoruz, başında eksimiz var lütfen unutmayalım.
Ne oldu şimdi?
3.
Burada 2 kere 3 6.
Burada 9.
9 bölü 4 geldi üst tarafı.
Aşağıda 2 kere 4 8, ya 8 eksi 9.
Orası da eksi 1 bölü 8 geldi.
Şimdi şu eksiler birbirlerini artı yapsınlar.
9 bölü 4.
8'i ters çevirip çarptığında yukarıda 1 tane 2 kalır.
9 kere 2'den aradığımız değer 18 olarak bulunur.
Sevgili arkadaşlar bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki derste görüşmek üzere, hoşçakalın.