Sevgili arkadaşlar herkese merhabalar, bu dersimizde sinüs ve sinüs denklemleriyle ilgili farklı soru tipleriyle örnekler çözeceğiz.
Birinci örneğimizle başlayalım.
Diyor ki cos 4 alfa eşittir 3 bölü 7 denkleminin 0 2 pi kapalı aralığında kaç tane kökü vardır?
Şimdi hemen şöyle düşünün.
Kosinüsü 3 bölü 7 çıkan açılar ya birinci bölgededir şu şekilde ya da dördüncü bölgededir.
Kosinüsün pozitif olduğu başka bölge yok çünkü.
Ve diyor ki buradaki alfalar diyor.
Sıfırla 2 pi aralığında değişecek.
Benimki 4 alfaydı o zaman bu aralığımı da 4'le çarparak genişletiyorum.
0 4 alfa ve 8 pi.
Bu ne demek arkadaşlar?
4 tur atalım yani.
Şimdi şurada birim çember etrafında bir tur attım.
2 pi.
Döndüm geldim 4 tekrar geldim.
6 Son olarak geliyorum 8 pi 4 tur attım.
Bakın kaç tane kökü vardır diyor ya yani buradaki şimdi açıyı falan işte değeri falan hiçbirini bilmemize gerek yok.
Sonuçta bakınız burada kaç kere kestik, bir iki, üç dört kere burada kestim.
1 2, 3 4 kere de burada kestim.
Yani bu aralıkta denklemin 8 tane kökü vardır desek yeterlidir.
Tekrar hatırlatalım bu yöntemin ismi sarmal ya da salyangoz metoduydu.
Önceki sunumlarımızda da bundan bahsetmiştik.
Güzel bir yöntem kullanmanızı tavsiye ederim.
Gelelim bir sonraki sorumuza.
Sinüs 2 x eşittir cosinüs 3x denklemini sağlayan 0 pi kapalı aralığındaki kökleri bulunuz.
Şimdi şöyle diyeceğiz burada cos 3x'in ismini değiştirerek sinüs 2x'e eşitlemeye çalışacağım.
Şimdi bunu nasıl yapabilirim?
Şöyle derim.
Sinüs 2x ya burası sinüs doksan eksi 3x dir.
90 derece tabii ki 90'dan geri geliyorum.
Birinci bölgede benim işaretim artı ama 90 derece olduğu için burada isim değişecek, cosinüs 3x olacak ya da bunu başka ifade etmenin yolu sinüs doksan derece artı 3x dir.
Bu da aynı şey.
Bakıyorsunuz hemen ikinci bölgede sinüs işaret artı isim değişti.
Kosinüs x.
Sonuçta ne yaptım?
Bakın bunlar birbirini eşitleyecek bir yer oluşturdum.
Diyeceğim ki ya 2x eşittir 90 eksi 3x.
Artı 360 k.
Tabii ki bunlar derece ve k'lar burada tam sayılar ya da arkadaşlar 2x eşittir 90 artı 3 x artı 360 k.
Yani burada ben ne yapmış oldum aslında?
Esas ölçüsü 90 eksi 3x ya da 90 artı 3x çıkan açılar burada denklemi sağlar.
Bunu ele almaya çalıştım.
Eksi 3x'i karşıya attım.
5x'i 5'e de böldüğümde x eşittir şurası 18 derece olur.
artı 72 derece çarpı K.
Burada ne dedik?
k'lar tam sayılar sıfır verdim hemen ne olur?
X eşittir 18 derece olur birinci açımız.
Sonrasında 1 verdim.
72 artı 18'den 90 derece oldu.
2 verelim 144 artı 18.
O da yüz altmış iki derece olur.
Sonrasında daha büyük değerler verdiğimizde 0 pi alanın dışına çıkmış oluruz.
Buradan başka k'mız gelmez.
Şimdi artı 3 eksi karşıya attım.
Eksi 3 eksi olarak geldi.
Burada eksi kaldı.
Orası da 90 derece artı 360 derece çarpı k burada da k'lar tam sayılar.
Sıfır verdim ne olur?
Eksi x eşittir 90'dan x eşittir eksi 90 eksi 90 ne demek?
270 derece sıfır pi aralığına giremedik bile.
Dolayısıyla buradan hiç kök gelmez arkadaşlar.
Buradan kök yok ve diyor bana burası kökleri bulun sol taraftan sadece üç tane kök geldi, sağ taraftan kök gelmedi.
18 derece, 90 derece ve 162 derece sıfır pi aralığındaki köklerini bulmuş olduk diyelim sevgili arkadaşlar ve bir sonraki sorumuza devam ediyoruz.
Diyor ki sizin sinüsleri altı alfa eksi cosinüs üzeri altı alfa eşittir sıfır denkleminin sıfır pi aralığındaki köklerinin toplamı kaç radyandır?
Radyan cinsinden istemiş tamam.
Hemen şöyle diyelim bakınız sinüs üzeri altı alfa eşittir kosinüs üzeri altı alfa ise hemen şurayı altı yapıyorum.
Burada altıncı dereceden kök aldığımızda iki durum gelir biliyorsunuz.
Ne olur ya sinüs alfa eşittir sinüs alfa olur ya da sevgili arkadaşlar biri diğerinin eksilisine eşit olur değil mi?
Sonuçta 6 çift bir kuvvet yani eksi kosinüs alfaya eş olur sinüs alfa diyelim.
Şimdi sin alfa zaten Kos alfaya eşitse bunu sağlayan sıfır pi aralığında tek bir değer var.
O da nedir?
Pi bölü 4 45 derecedir değil mi?
Başka yok zaten 0 1 aralığında.
Biri diğerinin eksilisi ise yine sıfır pi alanında bunu sağlayan neresi?
İkinci bölge var başka yok ki.
Yani birinin artı diğerinin eksi olduğu başka bölge yok zaten.
O da alfa eşittir üç pi bölü 4 radyandır.
Bu 2 açının toplamı bize sorulmuş.
Pi bölü 4 ile siz üç pi bölü dördü toplarsanız 4 pi bölü 4'ten pi radyan olarak yani 180 derece olarak sıfır pi aralığındaki yukarıdaki denklemin kökler toplamını bulmuş olursunuz.
Sevgili gençler diyelim ve sıradaki sorumuza hiç vakit kaybetmeden devam edelim.
Sin kare alfa artı 10 tane cos kare alfa eşittir 10 denkleminin 0 2 pi kapalı aralığındaki çözüm kümesini buluruz demiş.
Hemen yapalım.
Bakınız şimdi sin alfayı yazıyorum.
10 çarpımının da burada fonksiyonlar birbirine benzesin diye kare alfa yerine bir eksi sin kare alfa yazacağım.
Ve sonucu ona eşitleyeceğim ne olur?
Şimdi dikkat edelim.
Eksi 10 sin kare geldi bir tane daha artı sin kare vardı.
Eksi 9 tane sin kare alfa oldu.
Şimdi artı 10 burada var artı 10 öbür tarafta var.
Karşıya attım 0.
9 eksi 9 tane sin 0 ise kendi de sıfırdır.
Kendisi sıfır ise köklü hali de sıfırdır.
Yani ne kaldı?
Sin alfa eşittir sıfır.
En son şunu elde ettim bakın tamam şimdi sinüs alfa eşittir sıfırı sağlayan hemen açıları bulalım çözüm kümemizi.
Hatta sormuş şöyle yazayım hemen buraya köklerimizi yerleştirelim sıfır zaten kapalı aralık sıfır kesinlikle sağlarsınız, sıfır sıfırdır.
Başka sinüs 180 derece yani sin pi de sıfırdır.
Döndüm geldim 2 pi var bir de zaten başka yok o da 360 derece ya da 2 pi aynı şey zaten çözüm kümemizin 3 farklı elemanı varmış.
Üçünü de yerleştirdik.
Hemen devam ediyorum.
Sıradaki soru.
Sinüs 2 eksi kosinüs a eşittir 0 denklemini sağlayan en küçük pozitif üç farklı kök toplamı kaç derecedir?
Hemen bakalım arkadaşlar ne yapıyorum 2 kat açı formülünden iki çarpı sinüs a çarpı kosinüs A olarak Sin 2 A'yı yazdım.
Eksi kosinüs a eşittir 0 bunu yazdık.
Şimdi tabii ki ortak çarpanlar var gözüküyor.
Hemen onun parantezine aldım.
Sinüs a parantezinde iki tane Sin a eksi bir geldi, eşittir 0.
İfadelerin çarpı sonucu sıfır çıkmış ayrı ayrı sıfıra eşitlenebilir.
Burada ya sinüs a eşittir sıfırdır ya da iki sin a eksi biri sıfıra eşitlerseniz sinüs a eşittir bir bölü ikidir.
Şimdi iki tane durum var hemen değerlendirelim.
Şimdi sinüs hangi açılar da 0.
Önce onu yazayım isterseniz.
Şu şekilde göstereyim burada karışıklık olmasın.
Burada a eşittir ne olabilir?
Pi bölü 2 radyan 90 derece olabilir ya da diğer taraftan üç pi bölü iki radyan olabilir.
Gerçi derece sorulmuş farketmez.
Yani bu zaten 90 derece 270 derece demek sinüs hangi değerlerde bir bölü iki o da isterseniz onu da derece yazalım.
Sinüs otuz bir bölü 30 derece olabilir ya da diğer taraftan bunu hemen ikinci bölgeye taşıyorum ismini değiştirmeden.
180 eksi 30 yüz elli derece olabilir.
Bana diyor ki en küçük üç tane farklı değer.
Şimdi otuz derece var, 150 derece var.
Şurada pi bölü iki radyan 90 derece demek zaten.
Dolayısıyla 150, 90 ve 30'un bana toplamı sorulmuş.
Hemen şuraya topluyorum.
Sıfır.
12, 17, 51 270 derece olarak bana sorulan açıların toplamını bulmuş oluruz sevgili gençler ve bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere kendinize çok iyi bakın.
Birinci örneğimizle başlayalım.
Diyor ki cos 4 alfa eşittir 3 bölü 7 denkleminin 0 2 pi kapalı aralığında kaç tane kökü vardır?
Şimdi hemen şöyle düşünün.
Kosinüsü 3 bölü 7 çıkan açılar ya birinci bölgededir şu şekilde ya da dördüncü bölgededir.
Kosinüsün pozitif olduğu başka bölge yok çünkü.
Ve diyor ki buradaki alfalar diyor.
Sıfırla 2 pi aralığında değişecek.
Benimki 4 alfaydı o zaman bu aralığımı da 4'le çarparak genişletiyorum.
0 4 alfa ve 8 pi.
Bu ne demek arkadaşlar?
4 tur atalım yani.
Şimdi şurada birim çember etrafında bir tur attım.
2 pi.
Döndüm geldim 4 tekrar geldim.
6 Son olarak geliyorum 8 pi 4 tur attım.
Bakın kaç tane kökü vardır diyor ya yani buradaki şimdi açıyı falan işte değeri falan hiçbirini bilmemize gerek yok.
Sonuçta bakınız burada kaç kere kestik, bir iki, üç dört kere burada kestim.
1 2, 3 4 kere de burada kestim.
Yani bu aralıkta denklemin 8 tane kökü vardır desek yeterlidir.
Tekrar hatırlatalım bu yöntemin ismi sarmal ya da salyangoz metoduydu.
Önceki sunumlarımızda da bundan bahsetmiştik.
Güzel bir yöntem kullanmanızı tavsiye ederim.
Gelelim bir sonraki sorumuza.
Sinüs 2 x eşittir cosinüs 3x denklemini sağlayan 0 pi kapalı aralığındaki kökleri bulunuz.
Şimdi şöyle diyeceğiz burada cos 3x'in ismini değiştirerek sinüs 2x'e eşitlemeye çalışacağım.
Şimdi bunu nasıl yapabilirim?
Şöyle derim.
Sinüs 2x ya burası sinüs doksan eksi 3x dir.
90 derece tabii ki 90'dan geri geliyorum.
Birinci bölgede benim işaretim artı ama 90 derece olduğu için burada isim değişecek, cosinüs 3x olacak ya da bunu başka ifade etmenin yolu sinüs doksan derece artı 3x dir.
Bu da aynı şey.
Bakıyorsunuz hemen ikinci bölgede sinüs işaret artı isim değişti.
Kosinüs x.
Sonuçta ne yaptım?
Bakın bunlar birbirini eşitleyecek bir yer oluşturdum.
Diyeceğim ki ya 2x eşittir 90 eksi 3x.
Artı 360 k.
Tabii ki bunlar derece ve k'lar burada tam sayılar ya da arkadaşlar 2x eşittir 90 artı 3 x artı 360 k.
Yani burada ben ne yapmış oldum aslında?
Esas ölçüsü 90 eksi 3x ya da 90 artı 3x çıkan açılar burada denklemi sağlar.
Bunu ele almaya çalıştım.
Eksi 3x'i karşıya attım.
5x'i 5'e de böldüğümde x eşittir şurası 18 derece olur.
artı 72 derece çarpı K.
Burada ne dedik?
k'lar tam sayılar sıfır verdim hemen ne olur?
X eşittir 18 derece olur birinci açımız.
Sonrasında 1 verdim.
72 artı 18'den 90 derece oldu.
2 verelim 144 artı 18.
O da yüz altmış iki derece olur.
Sonrasında daha büyük değerler verdiğimizde 0 pi alanın dışına çıkmış oluruz.
Buradan başka k'mız gelmez.
Şimdi artı 3 eksi karşıya attım.
Eksi 3 eksi olarak geldi.
Burada eksi kaldı.
Orası da 90 derece artı 360 derece çarpı k burada da k'lar tam sayılar.
Sıfır verdim ne olur?
Eksi x eşittir 90'dan x eşittir eksi 90 eksi 90 ne demek?
270 derece sıfır pi aralığına giremedik bile.
Dolayısıyla buradan hiç kök gelmez arkadaşlar.
Buradan kök yok ve diyor bana burası kökleri bulun sol taraftan sadece üç tane kök geldi, sağ taraftan kök gelmedi.
18 derece, 90 derece ve 162 derece sıfır pi aralığındaki köklerini bulmuş olduk diyelim sevgili arkadaşlar ve bir sonraki sorumuza devam ediyoruz.
Diyor ki sizin sinüsleri altı alfa eksi cosinüs üzeri altı alfa eşittir sıfır denkleminin sıfır pi aralığındaki köklerinin toplamı kaç radyandır?
Radyan cinsinden istemiş tamam.
Hemen şöyle diyelim bakınız sinüs üzeri altı alfa eşittir kosinüs üzeri altı alfa ise hemen şurayı altı yapıyorum.
Burada altıncı dereceden kök aldığımızda iki durum gelir biliyorsunuz.
Ne olur ya sinüs alfa eşittir sinüs alfa olur ya da sevgili arkadaşlar biri diğerinin eksilisine eşit olur değil mi?
Sonuçta 6 çift bir kuvvet yani eksi kosinüs alfaya eş olur sinüs alfa diyelim.
Şimdi sin alfa zaten Kos alfaya eşitse bunu sağlayan sıfır pi aralığında tek bir değer var.
O da nedir?
Pi bölü 4 45 derecedir değil mi?
Başka yok zaten 0 1 aralığında.
Biri diğerinin eksilisi ise yine sıfır pi alanında bunu sağlayan neresi?
İkinci bölge var başka yok ki.
Yani birinin artı diğerinin eksi olduğu başka bölge yok zaten.
O da alfa eşittir üç pi bölü 4 radyandır.
Bu 2 açının toplamı bize sorulmuş.
Pi bölü 4 ile siz üç pi bölü dördü toplarsanız 4 pi bölü 4'ten pi radyan olarak yani 180 derece olarak sıfır pi aralığındaki yukarıdaki denklemin kökler toplamını bulmuş olursunuz.
Sevgili gençler diyelim ve sıradaki sorumuza hiç vakit kaybetmeden devam edelim.
Sin kare alfa artı 10 tane cos kare alfa eşittir 10 denkleminin 0 2 pi kapalı aralığındaki çözüm kümesini buluruz demiş.
Hemen yapalım.
Bakınız şimdi sin alfayı yazıyorum.
10 çarpımının da burada fonksiyonlar birbirine benzesin diye kare alfa yerine bir eksi sin kare alfa yazacağım.
Ve sonucu ona eşitleyeceğim ne olur?
Şimdi dikkat edelim.
Eksi 10 sin kare geldi bir tane daha artı sin kare vardı.
Eksi 9 tane sin kare alfa oldu.
Şimdi artı 10 burada var artı 10 öbür tarafta var.
Karşıya attım 0.
9 eksi 9 tane sin 0 ise kendi de sıfırdır.
Kendisi sıfır ise köklü hali de sıfırdır.
Yani ne kaldı?
Sin alfa eşittir sıfır.
En son şunu elde ettim bakın tamam şimdi sinüs alfa eşittir sıfırı sağlayan hemen açıları bulalım çözüm kümemizi.
Hatta sormuş şöyle yazayım hemen buraya köklerimizi yerleştirelim sıfır zaten kapalı aralık sıfır kesinlikle sağlarsınız, sıfır sıfırdır.
Başka sinüs 180 derece yani sin pi de sıfırdır.
Döndüm geldim 2 pi var bir de zaten başka yok o da 360 derece ya da 2 pi aynı şey zaten çözüm kümemizin 3 farklı elemanı varmış.
Üçünü de yerleştirdik.
Hemen devam ediyorum.
Sıradaki soru.
Sinüs 2 eksi kosinüs a eşittir 0 denklemini sağlayan en küçük pozitif üç farklı kök toplamı kaç derecedir?
Hemen bakalım arkadaşlar ne yapıyorum 2 kat açı formülünden iki çarpı sinüs a çarpı kosinüs A olarak Sin 2 A'yı yazdım.
Eksi kosinüs a eşittir 0 bunu yazdık.
Şimdi tabii ki ortak çarpanlar var gözüküyor.
Hemen onun parantezine aldım.
Sinüs a parantezinde iki tane Sin a eksi bir geldi, eşittir 0.
İfadelerin çarpı sonucu sıfır çıkmış ayrı ayrı sıfıra eşitlenebilir.
Burada ya sinüs a eşittir sıfırdır ya da iki sin a eksi biri sıfıra eşitlerseniz sinüs a eşittir bir bölü ikidir.
Şimdi iki tane durum var hemen değerlendirelim.
Şimdi sinüs hangi açılar da 0.
Önce onu yazayım isterseniz.
Şu şekilde göstereyim burada karışıklık olmasın.
Burada a eşittir ne olabilir?
Pi bölü 2 radyan 90 derece olabilir ya da diğer taraftan üç pi bölü iki radyan olabilir.
Gerçi derece sorulmuş farketmez.
Yani bu zaten 90 derece 270 derece demek sinüs hangi değerlerde bir bölü iki o da isterseniz onu da derece yazalım.
Sinüs otuz bir bölü 30 derece olabilir ya da diğer taraftan bunu hemen ikinci bölgeye taşıyorum ismini değiştirmeden.
180 eksi 30 yüz elli derece olabilir.
Bana diyor ki en küçük üç tane farklı değer.
Şimdi otuz derece var, 150 derece var.
Şurada pi bölü iki radyan 90 derece demek zaten.
Dolayısıyla 150, 90 ve 30'un bana toplamı sorulmuş.
Hemen şuraya topluyorum.
Sıfır.
12, 17, 51 270 derece olarak bana sorulan açıların toplamını bulmuş oluruz sevgili gençler ve bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere kendinize çok iyi bakın.
