Merhaba sevgili gençler, bu videomuzda türevin geometrik yorumuyla ilgili çok güzel üç tane daha soru çözeceğim.
y eşittir x küp eğrisine üzerindeki A 2,8 noktasından çizilen teğet eğriyi başka bir B noktasında kesmektedir.
B noktasının apsisini bulunuz dedik.
Öncelikle bir x küp eğrisini çizelim arkadaşlar.
x küp eğrisi çok karşınıza çıkar, nasıl çizildiğini bilin mutlaka.
Şu şekilde bir eğridir arkadaşlar.
Y eşittir x küp eğrisi.
2'ye 0, 2'ye 8 noktasını buraya alalım.
Şimdi buradan ben bir teğet çizdiğimde eğriyi başka bir B noktasında kesiyor muyuz?
Şu nokta B noktası olsun bunun koordinatları ne olur?
Y eşittir x küp eğrisi üzerinde olduğu için A'ya a küp olur arkadaşlar ve bizim teğetimiz olan de doğrusunun eğimi iki tane noktasını bildiğimiz için 8 eksi a küp bölü iki eksi A olarak yazabiliriz.
Doğrumuzun eğimi budur.
Teğet eğimini ben başka nasıl buluyordum?
Üzerindeki noktanın apsisini türevde yerine yazdığımızda türevimiz f x eşittir üç x karedir.
O zaman türevinde iki yerine yazdım.
Şöyle diyelim f türev iki eşittir üç çarpı 2'nin karesinden on iki buldum.
Eşittir 12.
Bu da eğimdir sonuçta.
Paydasına bir yazdım, içler dışlar çarpımı yapıyorum.
24 eksi on iki a eşittir eksi a küp artı sekiz.
Bir tarafa toplarsam sol tarafa topluyorum.
A küp eksi 12a artı on altı eşittir sıfır.
Şimdi bu denklemi nasıl çözeceğiz?
Üçüncü dereceden bir denklem.
Burada çarpanlara ayırma becerinizi konuşturmanız gerekiyor.
Şöyle yapacağım a küp eksi 4 a eksi 8 a artı on altı eşittir 0.
Eksi 12 a'yı eksi 4a eksi 8a olarak ayırdım.
Sonra şu kısmı a parantezine aldığında a kare eksi 4 kalır.
A kare eksi dördü de a eksi iki çarpı a artı iki olarak ayırın.
Bu kısımda da eksi 8 parantezine alırsanız a eksi 2 elde edersiniz ki iki tane terimde de eksi iki olmuş oldu.
Şimdi eksi iki parantezine alırsam buradan A ve A artı 2 gelir.
Bunları çarptığınızda a kare artı 2a bu terimden geldi.
Bundan a eksi ikiyi kaldırdım ne kalır?
Eksi 8 gelir.
Eksi 8 de buradan geldi eşittir 0.
A eksi 2 aynen yazalım.
A kare artı 2 a eksi sekizi bir daha çarpanlara ayırabiliriz.
O da nedir?
A Eksi 2 çarpı a artı 4 olarak çarpanlara ayrılabilir.
Son olarak birleştirdiğinizde a eksi 2'nin karesi bakın iki tane geldi ondan.
Çarpı a artı 4 eşittir 0 olacaksa köklerimiz A eşittir 2 ve A eşittir eksi dörttü.
Sıfıra eşitledim kökleri buldum.
Bakın burada A eşittir iki çift katlı köktür, çift katlı kökler de orada teğet olması lazım.
Bakın burada iki de teğet zaten o bulduğum iki bu iki zaten.
Peki a eksi a eşittir eksi 4 ne işte o eksi dört de bu olmalıdır arkadaşlar.
B noktasının apsisini sormuştuk.
Cevabımız eksi 4 olmalıdır.
Devam ediyorum diğer örneğimizle.
Y eşittir x kare parabolüne 0'a eksi 25 noktasından çizilen teğetlerin parabole teğet oldukları noktalar a ve b'dir.
Buna göre a ve b noktaların apsisleri farkının mutlak değeri kaçtır?
Dedik arkadaşlar.
y eşittir x kare parabolümüzü çiziyorum.
Evet, şimdi sıfıra eksi 25 noktası bunu bazen üzerindedir diye belirtiyoruz, bazen belirtmiyoruz.
Sıfıra eksi 25 belirtilmediyse üzerinde mi diye hemen bir yerine deneyin.
x yerine sıfırı yazınca eksi 5 yaptı mı?
Yapmadı.
Bakın sıfıra eksi 25 o halde parabolün dışındadır.
Zaten şuradan bile anlıyoruz teğetlerin diyor.
Üzerindeki bir nokta olsaydı üzerindeki bir noktadan bir tane teğet çizebilirdik.
Ama dışındaki bir noktadan parabole iki tane teğet çizebiliriz arkadaşlar.
O yüzden teğetlerin dedi bize ve bu noktalara A ve B noktaları dedim.
Teğetleri attığım nokta da sıfıra eksi 25 noktası.
Şimdi A ve B noktalarının apsisleri farkını, mutlak değerini alıyorum.
O zaman B noktasına a dersem a'ya a kare olur mu bu parabolün üzerinde olduğu için.
Ne demiştik?
Bakın iki tane noktayı biliyorsak hemen buradan bir eğim bulalım.
O da a kare eksi eksi 25'ten a kare artı 25 bölü a eksi 0.
Eğimimiz budur.
Eğimi bir de nasıl bulurum?
Ben üzerindeki noktanın yani B'nin apsisini yerine yazdığımda türevinde yerine yazdığımda eğimi bulurum.
Türevimiz f türev x arkadaşlar 2x'tir.
Türevinde a'yı yerine yazdığımızda eğimin 2a olduğunu bulurum.
Buradan içler dışlar çarpımı yaptığınızda iki a kare eşittir paydamız bir burada.
A kare artı 25.
A kareleri bir tarafa topladım.
Bunu sol tarafa attığınızda a kare eşittir 25 elde ederim.
Ve buradan a'nın 5 ya da eksi 5 olduğunu bulurum.
5 hangisi?
B'nin koordinatları.
O halde 5 a'nın apsisi de eksi 5 olur.
Bulmuşken koordinatları bulalım.
5 yerine yazdım fonksiyonu.
5'e 25 B noktası, eksi beşe 25 de A noktasıdır.
Biz neyi sorduk?
Apsisleri farkının mutlak değerini sorduk.
Yani eksi 5 eksi 5'in mutlak değerini sorduk.
O da 10 olmalıdır arkadaşlar.
Evet, son bir örneğimiz.
Eğrisinin üzerindeki A noktasından çizilen teğeti y eksenini B 0,2 noktasında kestiğine göre A noktasının koordinatının alabileceği pozitif değer kaçtır?
Hemen bir koordinat düzlemini çizelim.
Ve bu parabol arkadaşlar y kare eşittir 16x parabolü.
Normalde bizim parabollerimiz gördüğümüz paraboller y eşittir x kare idi.
Onları şu şekilde çiziyorduk.
Şimdi x eşittir y kareli olunca parabolümüz bu şekilde olur arkadaşlar.
Yine orijinden geçer.
Bakın 0,0'dan geçiyor.
Bu şekilde bir parabol çizdim ve üzerinde bir A noktası belirledim.
Hatta bunu alışkın olduğumuz hale çevirelim.
Y eşittir yapalım.
Her iki tarafın kökünü aldığımda 4 kök x olur ve sıfıra ikiden geçen burada da bir B noktası var.
Sıfıra iki noktası.
A noktasından çizdiğim teğet B 0, 2 noktasından geçiyormuş A noktasının koordinatları.
Bakın yine aynı şeyi yapıyorum.
Apsisine a dersem koordinatı 4 kök a olmalıdır.
Burada y eşittir dört kök x oldu.
Y'nin negatif olma ihtimali yok.
Yani parabolümüz sadece şu kısımdır aslında.
Eğrimiz sadece burası alt tarafı almayız.
Evet, şimdi a'ya kök a noktası olarak A noktasını belirledik.
B noktası sıfıra ikiydi.
Yine iki noktası bilinen doğrunun eğiminden dört kök a eksi 2 bölü a eksi sıfır.
Eğimi buldum.
Başka ne yapacaktım?
Türevinde bunun yerine yazacaktım değil mi?
Türevim nedir?
4 kök x'in türevi şöyle f türevi x diyelim.
Kök x'in türevi bir bölü iki kök x'ti.
O halde 4 bölü iki kök x yani iki bölü kök x bizim fonksiyonumuzun türevidir.
Yerine a yazdığınızda iki bölü kök a elde ederim.
İçler dışlar çarpımı yaparsanız 4 kök a ile kök a'yı çarptığınızda 4 a elde ettiniz.
Eksi ikiyle kök a'yı çarptınız.
Eksi iki kök a eşittir iki a'dır arkadaşlar.
2a'yı bu tarafa atalım 2a kalır.
4 a eksi 2a'dan eksi iki kök a eşittir 0.
İki ifadede de iki var ve kök a var.
2 kök a ortak parantezine alırsam burada ne kalır?
Sadece kök a kalır.
Buradan da bir şey kalmadı.
Eksi bir yazdım ve burayı sıfıra eşitlediğinizde a eşittir iki kök a sıfırsa kök a sıfırdır.
Yani a sıfırdır.
Burayı sıfıra eşitlediğinizde kök a eşittir birdir yani a eşittir bir elde ederiz.
A bir ise ne diyorduk biz?
A noktasının koordinatının alabileceği pozitif değer.
A'ya sıfır verdiğinizde sıfıra sıfır geliyor zaten.
A'nın koordinatları bir verdiğimizde A noktasının koordinatları 1'e 4 elde ediliyor.
Bize sorulan şu dört.
Cevabımız pozitif değer sorulduğu için 4'tür arkadaşlar.
y eşittir x küp eğrisine üzerindeki A 2,8 noktasından çizilen teğet eğriyi başka bir B noktasında kesmektedir.
B noktasının apsisini bulunuz dedik.
Öncelikle bir x küp eğrisini çizelim arkadaşlar.
x küp eğrisi çok karşınıza çıkar, nasıl çizildiğini bilin mutlaka.
Şu şekilde bir eğridir arkadaşlar.
Y eşittir x küp eğrisi.
2'ye 0, 2'ye 8 noktasını buraya alalım.
Şimdi buradan ben bir teğet çizdiğimde eğriyi başka bir B noktasında kesiyor muyuz?
Şu nokta B noktası olsun bunun koordinatları ne olur?
Y eşittir x küp eğrisi üzerinde olduğu için A'ya a küp olur arkadaşlar ve bizim teğetimiz olan de doğrusunun eğimi iki tane noktasını bildiğimiz için 8 eksi a küp bölü iki eksi A olarak yazabiliriz.
Doğrumuzun eğimi budur.
Teğet eğimini ben başka nasıl buluyordum?
Üzerindeki noktanın apsisini türevde yerine yazdığımızda türevimiz f x eşittir üç x karedir.
O zaman türevinde iki yerine yazdım.
Şöyle diyelim f türev iki eşittir üç çarpı 2'nin karesinden on iki buldum.
Eşittir 12.
Bu da eğimdir sonuçta.
Paydasına bir yazdım, içler dışlar çarpımı yapıyorum.
24 eksi on iki a eşittir eksi a küp artı sekiz.
Bir tarafa toplarsam sol tarafa topluyorum.
A küp eksi 12a artı on altı eşittir sıfır.
Şimdi bu denklemi nasıl çözeceğiz?
Üçüncü dereceden bir denklem.
Burada çarpanlara ayırma becerinizi konuşturmanız gerekiyor.
Şöyle yapacağım a küp eksi 4 a eksi 8 a artı on altı eşittir 0.
Eksi 12 a'yı eksi 4a eksi 8a olarak ayırdım.
Sonra şu kısmı a parantezine aldığında a kare eksi 4 kalır.
A kare eksi dördü de a eksi iki çarpı a artı iki olarak ayırın.
Bu kısımda da eksi 8 parantezine alırsanız a eksi 2 elde edersiniz ki iki tane terimde de eksi iki olmuş oldu.
Şimdi eksi iki parantezine alırsam buradan A ve A artı 2 gelir.
Bunları çarptığınızda a kare artı 2a bu terimden geldi.
Bundan a eksi ikiyi kaldırdım ne kalır?
Eksi 8 gelir.
Eksi 8 de buradan geldi eşittir 0.
A eksi 2 aynen yazalım.
A kare artı 2 a eksi sekizi bir daha çarpanlara ayırabiliriz.
O da nedir?
A Eksi 2 çarpı a artı 4 olarak çarpanlara ayrılabilir.
Son olarak birleştirdiğinizde a eksi 2'nin karesi bakın iki tane geldi ondan.
Çarpı a artı 4 eşittir 0 olacaksa köklerimiz A eşittir 2 ve A eşittir eksi dörttü.
Sıfıra eşitledim kökleri buldum.
Bakın burada A eşittir iki çift katlı köktür, çift katlı kökler de orada teğet olması lazım.
Bakın burada iki de teğet zaten o bulduğum iki bu iki zaten.
Peki a eksi a eşittir eksi 4 ne işte o eksi dört de bu olmalıdır arkadaşlar.
B noktasının apsisini sormuştuk.
Cevabımız eksi 4 olmalıdır.
Devam ediyorum diğer örneğimizle.
Y eşittir x kare parabolüne 0'a eksi 25 noktasından çizilen teğetlerin parabole teğet oldukları noktalar a ve b'dir.
Buna göre a ve b noktaların apsisleri farkının mutlak değeri kaçtır?
Dedik arkadaşlar.
y eşittir x kare parabolümüzü çiziyorum.
Evet, şimdi sıfıra eksi 25 noktası bunu bazen üzerindedir diye belirtiyoruz, bazen belirtmiyoruz.
Sıfıra eksi 25 belirtilmediyse üzerinde mi diye hemen bir yerine deneyin.
x yerine sıfırı yazınca eksi 5 yaptı mı?
Yapmadı.
Bakın sıfıra eksi 25 o halde parabolün dışındadır.
Zaten şuradan bile anlıyoruz teğetlerin diyor.
Üzerindeki bir nokta olsaydı üzerindeki bir noktadan bir tane teğet çizebilirdik.
Ama dışındaki bir noktadan parabole iki tane teğet çizebiliriz arkadaşlar.
O yüzden teğetlerin dedi bize ve bu noktalara A ve B noktaları dedim.
Teğetleri attığım nokta da sıfıra eksi 25 noktası.
Şimdi A ve B noktalarının apsisleri farkını, mutlak değerini alıyorum.
O zaman B noktasına a dersem a'ya a kare olur mu bu parabolün üzerinde olduğu için.
Ne demiştik?
Bakın iki tane noktayı biliyorsak hemen buradan bir eğim bulalım.
O da a kare eksi eksi 25'ten a kare artı 25 bölü a eksi 0.
Eğimimiz budur.
Eğimi bir de nasıl bulurum?
Ben üzerindeki noktanın yani B'nin apsisini yerine yazdığımda türevinde yerine yazdığımda eğimi bulurum.
Türevimiz f türev x arkadaşlar 2x'tir.
Türevinde a'yı yerine yazdığımızda eğimin 2a olduğunu bulurum.
Buradan içler dışlar çarpımı yaptığınızda iki a kare eşittir paydamız bir burada.
A kare artı 25.
A kareleri bir tarafa topladım.
Bunu sol tarafa attığınızda a kare eşittir 25 elde ederim.
Ve buradan a'nın 5 ya da eksi 5 olduğunu bulurum.
5 hangisi?
B'nin koordinatları.
O halde 5 a'nın apsisi de eksi 5 olur.
Bulmuşken koordinatları bulalım.
5 yerine yazdım fonksiyonu.
5'e 25 B noktası, eksi beşe 25 de A noktasıdır.
Biz neyi sorduk?
Apsisleri farkının mutlak değerini sorduk.
Yani eksi 5 eksi 5'in mutlak değerini sorduk.
O da 10 olmalıdır arkadaşlar.
Evet, son bir örneğimiz.
Eğrisinin üzerindeki A noktasından çizilen teğeti y eksenini B 0,2 noktasında kestiğine göre A noktasının koordinatının alabileceği pozitif değer kaçtır?
Hemen bir koordinat düzlemini çizelim.
Ve bu parabol arkadaşlar y kare eşittir 16x parabolü.
Normalde bizim parabollerimiz gördüğümüz paraboller y eşittir x kare idi.
Onları şu şekilde çiziyorduk.
Şimdi x eşittir y kareli olunca parabolümüz bu şekilde olur arkadaşlar.
Yine orijinden geçer.
Bakın 0,0'dan geçiyor.
Bu şekilde bir parabol çizdim ve üzerinde bir A noktası belirledim.
Hatta bunu alışkın olduğumuz hale çevirelim.
Y eşittir yapalım.
Her iki tarafın kökünü aldığımda 4 kök x olur ve sıfıra ikiden geçen burada da bir B noktası var.
Sıfıra iki noktası.
A noktasından çizdiğim teğet B 0, 2 noktasından geçiyormuş A noktasının koordinatları.
Bakın yine aynı şeyi yapıyorum.
Apsisine a dersem koordinatı 4 kök a olmalıdır.
Burada y eşittir dört kök x oldu.
Y'nin negatif olma ihtimali yok.
Yani parabolümüz sadece şu kısımdır aslında.
Eğrimiz sadece burası alt tarafı almayız.
Evet, şimdi a'ya kök a noktası olarak A noktasını belirledik.
B noktası sıfıra ikiydi.
Yine iki noktası bilinen doğrunun eğiminden dört kök a eksi 2 bölü a eksi sıfır.
Eğimi buldum.
Başka ne yapacaktım?
Türevinde bunun yerine yazacaktım değil mi?
Türevim nedir?
4 kök x'in türevi şöyle f türevi x diyelim.
Kök x'in türevi bir bölü iki kök x'ti.
O halde 4 bölü iki kök x yani iki bölü kök x bizim fonksiyonumuzun türevidir.
Yerine a yazdığınızda iki bölü kök a elde ederim.
İçler dışlar çarpımı yaparsanız 4 kök a ile kök a'yı çarptığınızda 4 a elde ettiniz.
Eksi ikiyle kök a'yı çarptınız.
Eksi iki kök a eşittir iki a'dır arkadaşlar.
2a'yı bu tarafa atalım 2a kalır.
4 a eksi 2a'dan eksi iki kök a eşittir 0.
İki ifadede de iki var ve kök a var.
2 kök a ortak parantezine alırsam burada ne kalır?
Sadece kök a kalır.
Buradan da bir şey kalmadı.
Eksi bir yazdım ve burayı sıfıra eşitlediğinizde a eşittir iki kök a sıfırsa kök a sıfırdır.
Yani a sıfırdır.
Burayı sıfıra eşitlediğinizde kök a eşittir birdir yani a eşittir bir elde ederiz.
A bir ise ne diyorduk biz?
A noktasının koordinatının alabileceği pozitif değer.
A'ya sıfır verdiğinizde sıfıra sıfır geliyor zaten.
A'nın koordinatları bir verdiğimizde A noktasının koordinatları 1'e 4 elde ediliyor.
Bize sorulan şu dört.
Cevabımız pozitif değer sorulduğu için 4'tür arkadaşlar.
