Merhaba arkadaşlar, türevin geometrik yorumuyla ilgili örnek çözümüne devam ediyorum.
F x eşittir x kare eksi 3x eksi 10 eğrisinin x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetlerinin x ekseni ile yaptıkları pozitif yönlü açıların tanjantları toplamını soruyoruz.
x eksenine yapılan pozitif yönlü açının tanjantı ne demekti?
Eğim demekti arkadaşlar.
O yüzden x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetlerin eğimini alıyorum.
Peki x eksenini nerede keser?
Bunu nasıl buluyorduk?
Sıfıra eşit dediğimizde x kare eksi 3x eksi 10'un köklerinde x eksenini keser arkadaşlar.
Çarpanlara ayırdım.
Eksi 5 2 x eksi 5 çarpı x artı 2 olarak çarpanlara ayırdığınızda köklerimiz 5 ve eksi iki olur.
Yani x ekseninin apsisi 5 ve apsisi eksi iki olan noktalarda keser.
O halde bize sorulan f türev 5 artı f türev eksi ikidir.
Eğimler toplamı soruluyordu bize.
Yani türevlerinin o noktalardaki değerlerinin toplamı soruluyor.
f türev x'i alalım üsleri başa indirip bir azaltım.
2x eksi 3x türevi de eksi 3 tür f'imiz budur.
Beşi yerine yazdığınızda iki çarpı beş eksi 3'ten 10 eksi 3 yedi buradan elde ettim.
Eksi iki yazarsam yerine eksi iki çarpı iki, eksi dört üç de çıkarttım.
Eksi 7'de buradan buldum ve cevabımız sıfırdır.
Arkadaşlar bir sonraki örneğimizde eğrisinin x eşittir 1 apsisi noktasındaki teğetinin eğimi.
Yani bize f verdi bir noktasındaki teğetin eğimi.
f türev bir soruluyor arkadaşlar ama f bu değil değil mi?
f nedir?
Bu fonksiyonun içeride bir fonksiyon vermiş.
Bunun tekrar x'e göre türevlerini aldığımda ben f'i elde edeceğim.
O zaman önce bir f'i bulalım.
f x nedir?
x küp artı 2x kare eksi 4x artı 1'in x'e göre türevidir.
Alalım türevini.
3 x kare artı 4 x eksi 4.
Şimdi f türevi bulmak için bunun tekrar türevini alacağım değil mi arkadaşlar?
O zaman f türev x 3x karenin türevi 6x 4x'in türevi de 4.
f türev x'i buldum bana f türev bir soruluyor.
x yerine de biri yazınca arkadaşlar 6 artı 4'ten cevabımız on olmalıdır.
Diğer örneğimize bakalım.
Eğrisinin üzerindeki A ve B noktalarından çizilen teğetleri x eksenine paralel ise ne demektir?
O doğrunun eğimi sıfırdır arkadaşlar.
x'e paralel olan doğruların eğimleri sıfır olmalıdır ise a ve b noktalarının apsisleri toplamı.
Evet, yani eğimi sıfır olan noktaların apsisleri toplamı soruluyor bize.
O zaman eğimi sıfır olacaksa türevini aldım.
f türev x 3x kare eksi 8x eksi 3.
Bunu 0 yapan değerleri arıyorum.
Üç x e x olarak burayı ayırdım.
Bunu da eksi 3'e 1 olarak ayırdığımda şöyle çapraz bir şekilde ortayı elde etmem gerekiyordu.
Bakın buradan eksi 9 x buradan artı x oldu eksi 8x'i elde ettim.
Yazarken yan yana yazıyorduk 3x artı bir çarpı x eksi üç eşittir 0 sıfıra eşitlediğinizde 3x artı bir eşittir 0 ise x buradan eksi bir bölü üç elde edilir.
x eksi 3 eşittir sıfır ise üçü sağa attığınızda x eşittir 3 elde edilir.
Bize de zaten ne soruluyordu?
A ve B noktalarının apsisleri toplamı.
O zaman birisi A noktasının, birisi B noktasının apsisidir.
Eksi bir bölü 3 ve 3'ün toplamı soruldu bize.
Paydaları eşitleyip topladığınızda cevabımız 8 bölü üç dür.
Arkadaşlar böyle kökleri bulmadan direkt şunu da yapabilirsiniz zaten ne soruluyor bize?
Eğimi sıfır olan yani türevi sıfır olan o noktayı yerine yazdığınızda türevi sıfır yapan değerleri soruyor.
Demek ki türevinin köklerini soyuyor.
Köklerinin toplamını soruyor a ve b apsislerin toplamı.
O halde cevap şu.
Denklemin kökler toplamı yani eksi b bölü a deyip direkt 8 bölü 3 diyebilirdiniz.
Belki çarpanlara tam ayıramayacaktık değil mi rasyonel sayı olarak ayrılmayacaktı.
O zaman kök toplamını kullanabilirsiniz.
Evet, son sorumuz.
F x eşittir 4x artı 1 eğrisini a 1'e 5 noktasından çizilen teğetlerin teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir?
O zaman önce teğetin ismini bulalım yani f türev x'i bir alalım.
Şurası aslında nedir?
4 çarpı X üzeri eksi bir demektir değil mi X paydaya yazılmış.
1 in türevi 0 zaten 4 çarpı 2 üzeri eksi 1'in türevini alırken eksi bir başa indirdim.
Eksi 4 X üzeri eksi iki oldu.
Yani eksi 4 bölü X karedir.
Arkadaşlar türevini aldım eğimini buluyorum.
Şimdi biri yerine yazdım.
Eksi x'in yerine bir yazdığınızda eksi 4 elde ettiniz.
Bu eğimimiz arkadaşlar.
Eğimi biliyorsak, geçtiği noktayı biliyorsak o zaman geçtiği nokta diyorum ama biz bunun geçtiği nokta olduğunu nereden biliyoruz?
Bakın fonksiyonunda x yerine bir yazdığınızda 5 elde edebiliyor muyum?
Evet.
O yüzden bu nokta bu eğrinin üzerindedir.
Üzerinde olmasa zaten 1 yerine yazınca eğimi vermez de bize noktayı yerine yazıyoruz.
Evet ama o noktanın eğrinin üzerinde olması gerekiyordu.
Evet eğimi bulduk.
Geçtiği nokta da belli.
Eğimi ve geçtiği bir nokta bilinen doğrunun denklemini kullanıyorum.
Şimdi y eksi 5 eşittir eğim çarpı x eksi bir dediğimde doğrunun denklemini buldum.
Yine eksi 5 eşittir eksi 4 artı 4 buradan y eşittir eksi 4x 5 i de diğer tarafa attım.
Artı 9 doğrumuz tamamdır.
Şimdi bu doğruyu çizelim arkadaşlar.
Bir doğruyu nasıl çizeriz?
x ve y'ye 0 vererek eksenleri kestiği noktaları buluruz.
x'e 0 verirsem y'yi dokuzda keser.
Y'ye sıfır verdiğinizde y eşittir 0 olduğunda ne olur?
Eksi 4x artı dokuzu 0 yapan değer 9 bölü 4 dür arkadaşlar.
O zaman x ekseninde 9 bölü 4 noktasında kesen bir doğrudur.
Bu doğru ve bu doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin yani şu üçgenin alanı soruluyor bize.
Taban 9 bölü 4.
Yükseklik 9 9 bölü 4 çarpı dokuz bölü iki taban çarpı yükseklik bölü iki.
Cevabımız 81 bölü dördü tekrar ikiye böldüğünüzde son olarak seksen bir bölü sekiz elde ederiz arkadaşlar.
Alanımız budur.
F x eşittir x kare eksi 3x eksi 10 eğrisinin x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetlerinin x ekseni ile yaptıkları pozitif yönlü açıların tanjantları toplamını soruyoruz.
x eksenine yapılan pozitif yönlü açının tanjantı ne demekti?
Eğim demekti arkadaşlar.
O yüzden x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetlerin eğimini alıyorum.
Peki x eksenini nerede keser?
Bunu nasıl buluyorduk?
Sıfıra eşit dediğimizde x kare eksi 3x eksi 10'un köklerinde x eksenini keser arkadaşlar.
Çarpanlara ayırdım.
Eksi 5 2 x eksi 5 çarpı x artı 2 olarak çarpanlara ayırdığınızda köklerimiz 5 ve eksi iki olur.
Yani x ekseninin apsisi 5 ve apsisi eksi iki olan noktalarda keser.
O halde bize sorulan f türev 5 artı f türev eksi ikidir.
Eğimler toplamı soruluyordu bize.
Yani türevlerinin o noktalardaki değerlerinin toplamı soruluyor.
f türev x'i alalım üsleri başa indirip bir azaltım.
2x eksi 3x türevi de eksi 3 tür f'imiz budur.
Beşi yerine yazdığınızda iki çarpı beş eksi 3'ten 10 eksi 3 yedi buradan elde ettim.
Eksi iki yazarsam yerine eksi iki çarpı iki, eksi dört üç de çıkarttım.
Eksi 7'de buradan buldum ve cevabımız sıfırdır.
Arkadaşlar bir sonraki örneğimizde eğrisinin x eşittir 1 apsisi noktasındaki teğetinin eğimi.
Yani bize f verdi bir noktasındaki teğetin eğimi.
f türev bir soruluyor arkadaşlar ama f bu değil değil mi?
f nedir?
Bu fonksiyonun içeride bir fonksiyon vermiş.
Bunun tekrar x'e göre türevlerini aldığımda ben f'i elde edeceğim.
O zaman önce bir f'i bulalım.
f x nedir?
x küp artı 2x kare eksi 4x artı 1'in x'e göre türevidir.
Alalım türevini.
3 x kare artı 4 x eksi 4.
Şimdi f türevi bulmak için bunun tekrar türevini alacağım değil mi arkadaşlar?
O zaman f türev x 3x karenin türevi 6x 4x'in türevi de 4.
f türev x'i buldum bana f türev bir soruluyor.
x yerine de biri yazınca arkadaşlar 6 artı 4'ten cevabımız on olmalıdır.
Diğer örneğimize bakalım.
Eğrisinin üzerindeki A ve B noktalarından çizilen teğetleri x eksenine paralel ise ne demektir?
O doğrunun eğimi sıfırdır arkadaşlar.
x'e paralel olan doğruların eğimleri sıfır olmalıdır ise a ve b noktalarının apsisleri toplamı.
Evet, yani eğimi sıfır olan noktaların apsisleri toplamı soruluyor bize.
O zaman eğimi sıfır olacaksa türevini aldım.
f türev x 3x kare eksi 8x eksi 3.
Bunu 0 yapan değerleri arıyorum.
Üç x e x olarak burayı ayırdım.
Bunu da eksi 3'e 1 olarak ayırdığımda şöyle çapraz bir şekilde ortayı elde etmem gerekiyordu.
Bakın buradan eksi 9 x buradan artı x oldu eksi 8x'i elde ettim.
Yazarken yan yana yazıyorduk 3x artı bir çarpı x eksi üç eşittir 0 sıfıra eşitlediğinizde 3x artı bir eşittir 0 ise x buradan eksi bir bölü üç elde edilir.
x eksi 3 eşittir sıfır ise üçü sağa attığınızda x eşittir 3 elde edilir.
Bize de zaten ne soruluyordu?
A ve B noktalarının apsisleri toplamı.
O zaman birisi A noktasının, birisi B noktasının apsisidir.
Eksi bir bölü 3 ve 3'ün toplamı soruldu bize.
Paydaları eşitleyip topladığınızda cevabımız 8 bölü üç dür.
Arkadaşlar böyle kökleri bulmadan direkt şunu da yapabilirsiniz zaten ne soruluyor bize?
Eğimi sıfır olan yani türevi sıfır olan o noktayı yerine yazdığınızda türevi sıfır yapan değerleri soruyor.
Demek ki türevinin köklerini soyuyor.
Köklerinin toplamını soruyor a ve b apsislerin toplamı.
O halde cevap şu.
Denklemin kökler toplamı yani eksi b bölü a deyip direkt 8 bölü 3 diyebilirdiniz.
Belki çarpanlara tam ayıramayacaktık değil mi rasyonel sayı olarak ayrılmayacaktı.
O zaman kök toplamını kullanabilirsiniz.
Evet, son sorumuz.
F x eşittir 4x artı 1 eğrisini a 1'e 5 noktasından çizilen teğetlerin teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir?
O zaman önce teğetin ismini bulalım yani f türev x'i bir alalım.
Şurası aslında nedir?
4 çarpı X üzeri eksi bir demektir değil mi X paydaya yazılmış.
1 in türevi 0 zaten 4 çarpı 2 üzeri eksi 1'in türevini alırken eksi bir başa indirdim.
Eksi 4 X üzeri eksi iki oldu.
Yani eksi 4 bölü X karedir.
Arkadaşlar türevini aldım eğimini buluyorum.
Şimdi biri yerine yazdım.
Eksi x'in yerine bir yazdığınızda eksi 4 elde ettiniz.
Bu eğimimiz arkadaşlar.
Eğimi biliyorsak, geçtiği noktayı biliyorsak o zaman geçtiği nokta diyorum ama biz bunun geçtiği nokta olduğunu nereden biliyoruz?
Bakın fonksiyonunda x yerine bir yazdığınızda 5 elde edebiliyor muyum?
Evet.
O yüzden bu nokta bu eğrinin üzerindedir.
Üzerinde olmasa zaten 1 yerine yazınca eğimi vermez de bize noktayı yerine yazıyoruz.
Evet ama o noktanın eğrinin üzerinde olması gerekiyordu.
Evet eğimi bulduk.
Geçtiği nokta da belli.
Eğimi ve geçtiği bir nokta bilinen doğrunun denklemini kullanıyorum.
Şimdi y eksi 5 eşittir eğim çarpı x eksi bir dediğimde doğrunun denklemini buldum.
Yine eksi 5 eşittir eksi 4 artı 4 buradan y eşittir eksi 4x 5 i de diğer tarafa attım.
Artı 9 doğrumuz tamamdır.
Şimdi bu doğruyu çizelim arkadaşlar.
Bir doğruyu nasıl çizeriz?
x ve y'ye 0 vererek eksenleri kestiği noktaları buluruz.
x'e 0 verirsem y'yi dokuzda keser.
Y'ye sıfır verdiğinizde y eşittir 0 olduğunda ne olur?
Eksi 4x artı dokuzu 0 yapan değer 9 bölü 4 dür arkadaşlar.
O zaman x ekseninde 9 bölü 4 noktasında kesen bir doğrudur.
Bu doğru ve bu doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin yani şu üçgenin alanı soruluyor bize.
Taban 9 bölü 4.
Yükseklik 9 9 bölü 4 çarpı dokuz bölü iki taban çarpı yükseklik bölü iki.
Cevabımız 81 bölü dördü tekrar ikiye böldüğünüzde son olarak seksen bir bölü sekiz elde ederiz arkadaşlar.
Alanımız budur.
