Üslü Denklemler

Merhabalar arkadaşlar, şimdi üslü denklemlere giriş yapıyoruz.
Bakalım bunu iki farklı şekilde inceleyeceğiz.
Şöyle x elemandır reel sayılar olsun ama bunların içinde -1, 0, 1 yok.
Yani bu durumları incelemiyoruz.
Ve m,n'de yine reel sayı olsun sıfırdan farklı olmak üzere.
Eğer bakınız x üzeri m, x üzeri n'e eşitse yani tabanlar aynıysa o zaman demek ki üstlerinde aynı olması gerektiğini söyleriz.
Ama bakınız burada -1, 0 ve 1 olmaz çünkü düşününüz 1 üzeri m, 1 üzeri n diyoruz.
E şimdi m'nin yerine 50'de yazabilirsiniz.
Buraya olma durumu gelmez.
O yüzden buradaki kısım olmayacak.
Yani -1, 0 ve 1 olmayacak burada ve x üzeri n, x üzeri m'e eşitse biz üslerin aynı olacağını söyleyeceğiz burada.
Peki farklı olarak x ve y elemanları reel sayılar ve yine bakınız -1, 0 ve 1 burada dahil değil ve n elemandır da tam sayı olsun.
Burada yine sıfırdan farklı olmak üzere.
Bu sefer bakınız x üzeri n eşittir y üzeri n denkleminde yani bu sefer üstler aynıysa tabanların iki farklı durumu var.
Eğer üst tekse tabanlar direkt olarak birbirilerine eşittir ama üst çiftse yani 2, 4, 6, 8 gibi bir çiftlik durumu varsa o zaman demek ki bunlar mutlak değerce birbirlerine eşitlerdir.
Bunun sebebi de hep şu yüzden gelir arkadaşlar.
Bakınız -2'nin karesi de burada 4 yapacaktır, diye sorsam o zaman iki ihtimal olduğunu söylersiniz.
Bir -2 bir de 2 o yüzden burada da öyle mutlak değer içinde olsun ki biz bunun bir normal durumunu bir de eksili durumunu inceleyelim.
Peki şimdi örneklerimize bakalım 3 üzeri bulunuz demiş.
E şimdi bizim demek ki ne yapmamız lazım?
Buradaki 243'ü 3 tabanında yazmamız lazım.
O zaman ben şöyle yazıyorum sol taraf 3 üzeri 3x eksi 4 olarak kalıyor.
Sağ tarafı da 3 üzeri 5 olarak yazıyorum.
O zaman 3x eksi 4 eşittir 5'ten -4'ü karşı attığımızda O zaman demek ki bu denklemin çözüm kümesinde biz 3 elemanın olduğunu söyleriz.
Peki farklı bir örneğimiz 25 üzeri 2x artı 1 eksi 125 üzeri x artı 4 eşittir 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi tamam bunlar 25 ve 125'ler burada 5'nin bir kuvveti olduğunu biliyorum.
Şimdi 25 5'in karesidir.
Onu şu şekilde yazalım ve üstünde 2x artı 1 dursun ve daha sonra diyorum ki şuradaki eksi 125 üzeri x artı 4' ü sağ tarafa alalım da normal pozitifi ile ilgilenelim ve oranın 5'in küpü olduğunu biliyorum daha sonra bunun üstünde x artı 4 var.
Tamam şimdi üssün üssü kuralını uygulayacak olursak çarpılacaktı bunlar.
Yani 4x artı 2 olacak.
E burada dağıttığımızda yani çarptığımızda bu sefer 3x artı 12'yi elde edeceğiz.
E tabanlar aynı o zaman üsler aynı olmak zorunda.
O zaman 4x artı 2 diyorum buradan 3x artı 12 ise 3x'i sol tarafa aldım x kaldı.
biz burada çözüm kümesinin 10 olduğunu söyleriz.
Peki şimdi x artı 1 üzeri 12 eşittir 3x eksi 5 üzeri 12 denklemini sağlayan x gerçel sayıların toplamı kaçtır?
Şimdi bakınız bu sefer de üstler aynı tabanlar farklı bu şekilde verilmiş.
Yani tabanlar değişken durumunda verilmiş ve üstlere baktığınızda 12 yani çift.
Çift olduğunda biz diyeceğiz ki tabanların o zaman mutlak değerleri birbirlerine eşittir.
Yani şu şekilde 3x eksi 5.
Peki biz bunu nasıl çözüyorduk?
İki farklı şekilde çözüyorduk.
Bir normal gördüğünüz gibi yani x artı 1 eşittir 3x eksi 5 diyerek çözüyorduk.
Bir de bir tanesini sabit tutup diye diğerini eksi ile çarpıyorduk.
Genelde sol taraftakini sabit tutarsak, hani karışıklığa yol açmayız.
Sağ taraftakini eksiyle çarpıp çıkarttığımızda eksi 3x artı 5 olduğunu görürüz.
Şimdi iki denklemden biz x sayılarını bulacağız.
x'i sağ tarafa eksi 5'i sağ tarafa aldığınızda burada 6 burada da 2x oldu.
O zaman her tarafı 2'ye böldüğümüzde buradan x eşittir 3'ü elde ediyoruz.
Burada eksi 3x'i sol tarafa aldım.
Bunların ikisinin toplamı soruyor.
3 ile de 1'i toplayacak olursak 4'ü elde etmiş oluruz.
Peki x eksi 4 bölü 2 üzeri 3 eşittir 27 denklemin çözüm kümesini bulunuz diyorum.
Şimdi o zaman demek ki bakınız her şey şu an farklı gibi gözüküyor.
Ama ben 27'nin şöyle olduğunu biliyorum.
Sol tarafı ilk önce bir yazayım x eksi 4 bölü 2'nin küpü eşittir Bakınız üsler aynı üsler aynı ve tek.
Tek olduğunda biz ne diyorduk?
Tabanlar direk olarak birbirlerine eşittir.
Yani x eksi 4 bölü 2'yi ben burada direkt olarak 3'e eşitleyeceğim.
tarafa çarpma olarak attım.
x eksi 4 eşittir 6 ve -4'ü de sağ tarafa aldığımızda x eşittir bakınız yine 10'u elde etmiş oluyoruz.
Yani çözüm kümesinde şu şekilde 10'u görmeliyiz biz.
Peki son örneğimiz şimdi 3 eksi x bölü 4 üzeri 5 eşittir 32 denklemin çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi o zaman demek ki yine ayar çekmemiz lazım.
Şu 32'nin ne olduğunu biliyoruz?
O zaman denklemi yazalım 3 eksi x bölü 4 üzeri 5 eşittir 2 üzeri 5.
Şimdi bakınız üsler aynı ve tek o zaman demek ki tabanlar direkt olarak birbirlerine eşit.
O zaman 3 eksi x bölü 4 eşittir 2.
Burada da x olacaktır.
O zaman demek ki x eşittir -5 olur.
Çözüm kümesinde de bunu görmeliyiz yani -5 elemanını bu şekilde yazmalıyız.