Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar. Bu dersimizde paralel iki doğru arasındaki uzaklık ve noktanın doğruya uzaklığı ile alakalı örnekler çözmeye devam edeceğiz.
İlk örneğimizle başlayalım.
2x-4y+m=0 ve x-2y+5=0 doğruları arasındaki uzaklık 2 kök 5 birim olduğuna göre m'nin alabileceği değerleri bulunuz, demiş. Şimdi iki doğru arasındaki uzaklığı bulurken hatırlayacaksınız öncelikle doğruların birbirine paralel olması gerekiyordu ve bu paralellik şartı da x'lerin ve y'lerin katsayılarının birbirine eşit olmasıydı.
Dolayısıyla ikinci denklemi eğer biz 2'yle çarparsak bu eşitliği sağlamış oluruz. İlk denklemimiz bakın şu kalsın zaten ikincisini yazıyorum.
2x-4y+10=0, dikkat ettiyseniz eğer sadece sabitler birbirinden farklı geldi ki zaten paralellik şartı buydu.
Bu durumda şöyle yapıyorduk hatırlayacaksınız.
İki doğrunun sabitlerini birbirinden mutlak değerce çıkartıp, bölü x'in ve y'nin katsayılarının karelerinin toplamı yazıyorduk.
O da kök içerisindeydi.
Hemen yazdım ve bunu kaça eşitliyorum arkadaşlar?
2 kök hani uzunluklarını dik üçgenden de hatırlayacağız demiştik.
Dik kenarlar arasında 1'e 2 oran varsa hipotenüs kısa olanın kök 5 katıydı.
Bu da hipotenüs bulmaya benziyor aslında yani alt taraf aslında 2 kök 5 gelir.
Değil mi?
Şu kısım 2 kök içerisinde, daha doğrusu mutlak içerisinde m eksi Bu durumda iki türlü çözülür bu mutlak denklemi. m eksi 10 ya 20'ye eşitlenir ya da -20'ye eşitlenir sevgili arkadaşlar.
Buradan m eşittir eşittir -10 olarak bulunmuş olur.
Dolayısıyla m'nin alabileceği değerleri bulduk.
Bir sonraki örneğimizle devam ediyoruz.
Diyor ki, karşılıklı iki kenarı 4x-3y-5=0 ve 4x-3y+10=0 doğrularının üzerinde bulunan karenin alanı kaç birim karedir?
Şimdi hemen şöyle düşünün.
Mesela şu ikisi birbirine paralel bu iki doğrular olsun.
Diyor ki karenin kenarları bunlar üzerindeymiş, karşılıklı iki kenarı.
Dolayısıyla bir tanesi şuysa mesela, diğeri de şöyledir.
Değil mi?
Dolayısıyla bu iki doğru arasındaki uzaklık aslında nedir?
Karenin bir kenarıdır arkadaşlar.
Şuraya a dersek hemen a eşittir diyelim, bu ikisi arasındaki uzaklığı bulmaya çalışacağım.
Ne yapıyorduk?
Bunların sabitlerini mutlak değerce birbirinden çıkartıp, şurası eksi eksi artı olacak.
10 artı 5'ten 15 olacak.
Paydamız da x'in katsayısının karesi artı y'nin katsayısının karesi.
İşaretleri ile beraber yazdım ama kare aldığımızda biliyorsunuz çok değişen bir şey olmaz.
Şimdi bu bize karenin bir kenarını verecek dedik.
Yukarısı 15 demiştik. Aşağısı zaten uzunluklarını 3, 4, 5'ten hatırlayacaksınız ya da işte 4'ün karesi 16, halde ne geldi?
Karemizin bir kenarı 3 birim geldi arkadaşlar.
Bu karenin alanı bir kenarın karesini alarak bulunur.
Dolayısıyla 3 çarpı arkadaşlar diyelim, hiç de vakit kaybetmeden bir sonraki soruya geçtim.
2x-2y+5=0 ve x-y-3=0 doğrularından eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz, demiş.
Şimdi bu bize şunu aslında anlatmaya çalışıyor. Bakın birinci doğrumuz diyor ki 2x-2y+5=0.
Diğer taraftan doğrumuz, şimdi bu doğru 2 ile çarpılırsa eğer şu ikisinin paralel olduğu inandırıcı gelir insanlara.
2x-2y-6=0 değil mi?
Katsayılarını eşitledim ki bunlar birbirine paralel olsunlar. Şimdi bu doğrulardan eşit uzaklıkta bulunan bütün noktaları bul diyor.
Ne belirtir arkadaşlar sizce?
Şimdi iki tane doğru var.
Bunların üzerinde sonsuz çoklukta noktalar var.
Bunlara eşit uzaklıkta olan tüm noktaları bulursanız bakın şöyle.
Bu da bu ikisine birden paralel olan üçüncü bir doğru olacaktır.
Yani aslında burada şöyle yapabilirsiniz, işte ax+by+c=0.
Dolayısıyla şunlar da eşit uzaklıkta hatta.
Şöyle baktığımızda şunlara eşit uzaklıkta olacak.
Hani orta nokta falan gibi olacak yani ama tabii orada ax+by demeye gerek var mı?
Yok değil mi?
Niye?
Çünkü paralel olduğunu biliyorum.
O halde şöyle derim ben, 2x-2y olur.
Peki sabit ne olur hocam?
Zaten sadece sabit değişiyordu paralellikte.
Ben buraya ne derim?
+c eşittir 0 derim ve buranın c'sini arkadaşlar az önce söyledik ya orta nokta bulur gibi bulurum.
Yani c eşittir derim, diğer iki tane doğrunun sabitlerini alırım.
Şöyle 5 artı -6, bunları toplayıp 2'ye bölerim.
Dolayısıyla sabiti buradan bulmuş olurum.
Kaç gelir buradan?
-1/2 gelir sabitimiz.
Dolayısıyla bu iki, verilen iki doğruya eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesi yine bir doğru belirtir.
Bu doğrunun denklemi de 2x-2y, c'yi yerine yazıyorum şimdi, -1/2 eşittir 0 olarak bulunur.
İsterseniz, hani şıklarda bu rasyonel ifade yoksa ne vardır?
4x-4y-1=0, bu da vardır.
Hangisi varsa eğer onu işaretlemiş olursunuz diyelim ve bir sonraki sorumuza geçelim. Diyor ki x-2y+4=0 doğrusu üzerinden alınan bir a noktasının 3x+4y-6=0 doğrusuna uzaklığı 2 birim olduğuna göre a noktasının apsisinin alabileceği değerleri bulunuz, demiş.
Şimdi bana verilen birinci denklemde bunun üzerinde bir, bu doğru üzerinde bir nokta almamı istiyor. Sonra bu noktanın da, verilen ikinci denklemle verilen doğruya uzaklığını 2 birime eşitlememi istiyor.
Tamam.
Şimdi bu doğru üzerinde aldığımız noktaların koordinatları nasıldır?
Mesela apsisi k olsun, tamam mı?
x yerine k yazıyorum.
k artı siz.
k artı 4 eşittir 2y olur.
y'miz de ne oluyormuş?
k artı 4 bölü 2.
Hani dediğim gibi yine rasyonel ifadelerle uğraşmak istemiyorsanız tamam mı?
Yani birinci doğru üzerinde aldığımız noktanın koordinatları bu şekildeymiş. Şimdi bu noktanın ikinci denkleme olan uzaklığını nasıl buluyorduk?
Hemen götürüyordum, koordinatları yerine yazıyordum doğruda değil mi?
İkinci denklemde yazıyorum yalnız dikkat bakın. Yıldız attım şuraya.
3 çarpı 2k, 6k olur.
Artı, k artı 4'le bu sefer 4'ü çarpıyorum.
4k artı 16, -6 var mutlak içerisindeydi uzunluk asla eksi olmaz.
Bölü diyorum, x'in ve y'nin katsayılarının karelerini topluyorum şu şekilde.
3'ün karesi artı birime eşitlediğimde 2 kere 5'ten 10 gelecek. Yukarıyı hesaplamaya çalışalım hemen.
10k'miz var, şu ikisini topladım.
Bir de +10 var.
Evet. Bunu kaça eşitledim?
Şurası 5'ti, 2 kere içi 10 parantezine alınır, 10 dışarı çıkar. mutlak içerisinde eşittir 1 olur sevgili gençler. Bu durumda nasıl çözülüyordu bu denklem?
k artı eşitliyorduk.
Sonuçta mutlağı 1 çıkan 2 tane değer var.
k artı 1 1 ise k eşittir 0 olur.
k artı 1 -1 ise k eşittir -2 olur.
Şimdi, burada a noktasının apsisinin alabileceği değerleri istemişti bizden. Yalnız bu k değildi.
Biz bunu daha rahat işlem yapabilmek için 2 ile çarpmıştık, a noktamız burada.
Dolayısıyla 2k dediğimiz için apsisi -2'den -4 olur.
İşte apsisin alabileceği değerler bunlardır.
Araya virgül koymam sizi şaşırtmasın. Normalde a noktasını yazmış olsam nasıl yazardım?
yazacağım, 4 olurdu.
-4 yazdığımda da yani daha doğrusu -2 yazdım, apsisim -4 oldu.
Burada -2 yazdığımda ordinatım da 2 olmuş olur ama bana 0'la -4'ü sormuş.
Dolayısıyla sadece o ikisini bulmamız da yeterliydi diyelim ve bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
İlk örneğimizle başlayalım.
2x-4y+m=0 ve x-2y+5=0 doğruları arasındaki uzaklık 2 kök 5 birim olduğuna göre m'nin alabileceği değerleri bulunuz, demiş. Şimdi iki doğru arasındaki uzaklığı bulurken hatırlayacaksınız öncelikle doğruların birbirine paralel olması gerekiyordu ve bu paralellik şartı da x'lerin ve y'lerin katsayılarının birbirine eşit olmasıydı.
Dolayısıyla ikinci denklemi eğer biz 2'yle çarparsak bu eşitliği sağlamış oluruz. İlk denklemimiz bakın şu kalsın zaten ikincisini yazıyorum.
2x-4y+10=0, dikkat ettiyseniz eğer sadece sabitler birbirinden farklı geldi ki zaten paralellik şartı buydu.
Bu durumda şöyle yapıyorduk hatırlayacaksınız.
İki doğrunun sabitlerini birbirinden mutlak değerce çıkartıp, bölü x'in ve y'nin katsayılarının karelerinin toplamı yazıyorduk.
O da kök içerisindeydi.
Hemen yazdım ve bunu kaça eşitliyorum arkadaşlar?
2 kök hani uzunluklarını dik üçgenden de hatırlayacağız demiştik.
Dik kenarlar arasında 1'e 2 oran varsa hipotenüs kısa olanın kök 5 katıydı.
Bu da hipotenüs bulmaya benziyor aslında yani alt taraf aslında 2 kök 5 gelir.
Değil mi?
Şu kısım 2 kök içerisinde, daha doğrusu mutlak içerisinde m eksi Bu durumda iki türlü çözülür bu mutlak denklemi. m eksi 10 ya 20'ye eşitlenir ya da -20'ye eşitlenir sevgili arkadaşlar.
Buradan m eşittir eşittir -10 olarak bulunmuş olur.
Dolayısıyla m'nin alabileceği değerleri bulduk.
Bir sonraki örneğimizle devam ediyoruz.
Diyor ki, karşılıklı iki kenarı 4x-3y-5=0 ve 4x-3y+10=0 doğrularının üzerinde bulunan karenin alanı kaç birim karedir?
Şimdi hemen şöyle düşünün.
Mesela şu ikisi birbirine paralel bu iki doğrular olsun.
Diyor ki karenin kenarları bunlar üzerindeymiş, karşılıklı iki kenarı.
Dolayısıyla bir tanesi şuysa mesela, diğeri de şöyledir.
Değil mi?
Dolayısıyla bu iki doğru arasındaki uzaklık aslında nedir?
Karenin bir kenarıdır arkadaşlar.
Şuraya a dersek hemen a eşittir diyelim, bu ikisi arasındaki uzaklığı bulmaya çalışacağım.
Ne yapıyorduk?
Bunların sabitlerini mutlak değerce birbirinden çıkartıp, şurası eksi eksi artı olacak.
10 artı 5'ten 15 olacak.
Paydamız da x'in katsayısının karesi artı y'nin katsayısının karesi.
İşaretleri ile beraber yazdım ama kare aldığımızda biliyorsunuz çok değişen bir şey olmaz.
Şimdi bu bize karenin bir kenarını verecek dedik.
Yukarısı 15 demiştik. Aşağısı zaten uzunluklarını 3, 4, 5'ten hatırlayacaksınız ya da işte 4'ün karesi 16, halde ne geldi?
Karemizin bir kenarı 3 birim geldi arkadaşlar.
Bu karenin alanı bir kenarın karesini alarak bulunur.
Dolayısıyla 3 çarpı arkadaşlar diyelim, hiç de vakit kaybetmeden bir sonraki soruya geçtim.
2x-2y+5=0 ve x-y-3=0 doğrularından eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz, demiş.
Şimdi bu bize şunu aslında anlatmaya çalışıyor. Bakın birinci doğrumuz diyor ki 2x-2y+5=0.
Diğer taraftan doğrumuz, şimdi bu doğru 2 ile çarpılırsa eğer şu ikisinin paralel olduğu inandırıcı gelir insanlara.
2x-2y-6=0 değil mi?
Katsayılarını eşitledim ki bunlar birbirine paralel olsunlar. Şimdi bu doğrulardan eşit uzaklıkta bulunan bütün noktaları bul diyor.
Ne belirtir arkadaşlar sizce?
Şimdi iki tane doğru var.
Bunların üzerinde sonsuz çoklukta noktalar var.
Bunlara eşit uzaklıkta olan tüm noktaları bulursanız bakın şöyle.
Bu da bu ikisine birden paralel olan üçüncü bir doğru olacaktır.
Yani aslında burada şöyle yapabilirsiniz, işte ax+by+c=0.
Dolayısıyla şunlar da eşit uzaklıkta hatta.
Şöyle baktığımızda şunlara eşit uzaklıkta olacak.
Hani orta nokta falan gibi olacak yani ama tabii orada ax+by demeye gerek var mı?
Yok değil mi?
Niye?
Çünkü paralel olduğunu biliyorum.
O halde şöyle derim ben, 2x-2y olur.
Peki sabit ne olur hocam?
Zaten sadece sabit değişiyordu paralellikte.
Ben buraya ne derim?
+c eşittir 0 derim ve buranın c'sini arkadaşlar az önce söyledik ya orta nokta bulur gibi bulurum.
Yani c eşittir derim, diğer iki tane doğrunun sabitlerini alırım.
Şöyle 5 artı -6, bunları toplayıp 2'ye bölerim.
Dolayısıyla sabiti buradan bulmuş olurum.
Kaç gelir buradan?
-1/2 gelir sabitimiz.
Dolayısıyla bu iki, verilen iki doğruya eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesi yine bir doğru belirtir.
Bu doğrunun denklemi de 2x-2y, c'yi yerine yazıyorum şimdi, -1/2 eşittir 0 olarak bulunur.
İsterseniz, hani şıklarda bu rasyonel ifade yoksa ne vardır?
4x-4y-1=0, bu da vardır.
Hangisi varsa eğer onu işaretlemiş olursunuz diyelim ve bir sonraki sorumuza geçelim. Diyor ki x-2y+4=0 doğrusu üzerinden alınan bir a noktasının 3x+4y-6=0 doğrusuna uzaklığı 2 birim olduğuna göre a noktasının apsisinin alabileceği değerleri bulunuz, demiş.
Şimdi bana verilen birinci denklemde bunun üzerinde bir, bu doğru üzerinde bir nokta almamı istiyor. Sonra bu noktanın da, verilen ikinci denklemle verilen doğruya uzaklığını 2 birime eşitlememi istiyor.
Tamam.
Şimdi bu doğru üzerinde aldığımız noktaların koordinatları nasıldır?
Mesela apsisi k olsun, tamam mı?
x yerine k yazıyorum.
k artı siz.
k artı 4 eşittir 2y olur.
y'miz de ne oluyormuş?
k artı 4 bölü 2.
Hani dediğim gibi yine rasyonel ifadelerle uğraşmak istemiyorsanız tamam mı?
Yani birinci doğru üzerinde aldığımız noktanın koordinatları bu şekildeymiş. Şimdi bu noktanın ikinci denkleme olan uzaklığını nasıl buluyorduk?
Hemen götürüyordum, koordinatları yerine yazıyordum doğruda değil mi?
İkinci denklemde yazıyorum yalnız dikkat bakın. Yıldız attım şuraya.
3 çarpı 2k, 6k olur.
Artı, k artı 4'le bu sefer 4'ü çarpıyorum.
4k artı 16, -6 var mutlak içerisindeydi uzunluk asla eksi olmaz.
Bölü diyorum, x'in ve y'nin katsayılarının karelerini topluyorum şu şekilde.
3'ün karesi artı birime eşitlediğimde 2 kere 5'ten 10 gelecek. Yukarıyı hesaplamaya çalışalım hemen.
10k'miz var, şu ikisini topladım.
Bir de +10 var.
Evet. Bunu kaça eşitledim?
Şurası 5'ti, 2 kere içi 10 parantezine alınır, 10 dışarı çıkar. mutlak içerisinde eşittir 1 olur sevgili gençler. Bu durumda nasıl çözülüyordu bu denklem?
k artı eşitliyorduk.
Sonuçta mutlağı 1 çıkan 2 tane değer var.
k artı 1 1 ise k eşittir 0 olur.
k artı 1 -1 ise k eşittir -2 olur.
Şimdi, burada a noktasının apsisinin alabileceği değerleri istemişti bizden. Yalnız bu k değildi.
Biz bunu daha rahat işlem yapabilmek için 2 ile çarpmıştık, a noktamız burada.
Dolayısıyla 2k dediğimiz için apsisi -2'den -4 olur.
İşte apsisin alabileceği değerler bunlardır.
Araya virgül koymam sizi şaşırtmasın. Normalde a noktasını yazmış olsam nasıl yazardım?
yazacağım, 4 olurdu.
-4 yazdığımda da yani daha doğrusu -2 yazdım, apsisim -4 oldu.
Burada -2 yazdığımda ordinatım da 2 olmuş olur ama bana 0'la -4'ü sormuş.
Dolayısıyla sadece o ikisini bulmamız da yeterliydi diyelim ve bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
