İkinci Dereceden Denklemler Yeni Nesil Sorular Bölüm 5

Merhaba arkadaşlar.
Konumuza yeni soru çeşitleriyle devam edelim.
Örnek i^2=-1 ve a gerçel sayı b sıfırdan farklı olmak üzere ax^2-bx+8=0 ikinci dereceden denklemin kökleri a*b ve a/b olduğuna göre b aşağıdakilerden hangisi olabilir demiş.
Şimdi öncelikle bu ikinci derece denklemin kökler toplamına bakalım.
Kökler toplamı şimdi kökleri ne vermiş.
Kökler toplamı demek ne demek?
a*b+a/b demek.
Kökler toplamı formülleri de -b/a, b/a.
Bir de kökler çarpımı var.
Kökler çarpımını yazalım kökler çarpımı demek a*b çarpı a/b.
Bu neye eşitti?
c/a'ya yani sekiz bölü a.
Burada b'ler birbirini götürdü.
a^2=8/a içler dışlar.
a^3=8.
Buradan a iki gelmiş oluyor.
Peki devam ediyoruz, burada yerine yazalım a gördüğümüz yere iki yazalım.
2b+2/b=b/2.
Peki burada şöyle karşıya atalım 2/b=b/2-2b'den, 2/b=-3b/2 gelmiş oldu.
İçler dışlar.
-3b^2=4.
Buradan her tarafı eksi 3'e bölecek olursak, b^2=-4/3 gelmiş oldu.
Peki bunun biz kökünü alacak olursak.
b eşittir şöyle her tarafın kökünü alalım buradan 2i/kök3 eya b buradan -2i/kök3 olmuş oluyor.
B aşağıdakilerden hangisi olabilir demiş.
Yani 2i/kök3 D şıkkı.
O halde doğru cevabımız D olacaktır.
Örnek.
f(x)=1+x-x^2 ve kök -1=i olmak üzere f(1+i)/f(1-i) ifadesinin sanal kısmı kaçtır?
Öncelikle f içerisinde bir artı i'ye bakalım.
Burada fonksiyonda x gördüğümüz yere 1+i yazalım.
1+1+i-(1+i)^2 buradan 2-i gelmiş oluyor f(1+i).
Şimdi f(1-i)'yi bulalım.
Burada da fonksiyonda x gördüğümüze de 1-i yazacağız.
1+1-i-(1-i)^2.
Buradan 2+i gelmiş oluyor f(1-i).
Şimdi verilenleri burada yerine yazalım.
2-i/2+i yi sormuş oluyoruz.
Şimdi burada paydayı biz eşleniği ile çarpalım 3-4i/5.
İfadenin bana sanal kısımını sormuş.
Yani sanal kısım buradan şöyle eksi de alacak olursak -4/5 gelmiş oluyor cevabımız.
Örnek.
2x+3x^2=ax^2-2x+a-2 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir.
x1+x1*x2=1/a-3 olduğuna göre a kaçtır?
Şimdi öncelikle yukarıda verilen ikinci derece denklemi düzenleyelim.
ax^2-2x+a-2-3x^2-2x=0 gelmiş oldu.
x^2(a-3)-4x+a-2=0.
Şimdi verilen ifadede x1*x2 var.
x1*x2 neydi?
Kökler çarpımı verilen bu ifadenin kökler çarpımı nedir?
c/a yani sabit a eksi 2 bölü x karenin katsayısı a eksi üç.
Peki burada yerine yazalım.
x1+a-2/a-3=1/a-3.
Verilen ifadeyi şöyle düzelecek olursak x1=3-a/a-3 Yani bu iki ifade şöyle sadeleştirecek olursak x1 buradan -1 gelmiş oldu.
Verilen denklemin bir tane kökünü bulduk -1.
Şimdi bana a'yı sormuş şu verilen ifadede denklemi yerine yazacak olursak.
Yani kökü eksi bir olduğu için x gördüğüm yere eksi bir yazacak olursam.
Eksi birin karesi 1 çarpı a eksi üç.
Burada eksi 4 var, yanında da eksi 1.
Çarpacak olursak artı 4 artı a eksi 2 eşittir 0 a, eksi 3 artı 4 artı a eksi eşittir.
0 düzenleyecek olursak iki a buradan bir eksi 2'den eksi bir eşittir 0, iki a eşittir bir a buradan 1/2 gelmiş oluyor.