Vektörlerin bileşkesinin bulunması; üç farklı yöntemden bahsedeceğiz.
Birinci yöntem olan uç uca ekleme yöntemi ile başlayalım. Üç tane farklı vektör çizdim buraya, biliyorsunuz vektörler yönlü büyükler olduğu için nasıl işlem yapıyorum?
Vektörel işlem yapıyorum. Yani burada ben cebirsel olarak skaler bir toplam yapamam, bu vektörel toplamı yapabilmem için de ne yapmam lazım?
Bu vektörlerin yönünü doğrultusunu ve şiddetini değiştirmeden uç uca eklemem lazım. Şimdi başlayalım A vektörü B vektörü ve C vektörü çizdim.
Bunları vektörel olarak şu şablonda toplayalım ve bileşkelerini hesaplamış olalım.
Şimdi baktığımda A vektörünü olduğu gibi taşıyorum.
Şöyle ifade ettim bu A vektörümüz.
A vektörünün ucuna kimi ekliyorum B vektörünü ekliyorum.
B vektörünü eklediğimde de şu şekilde ifade ediyorum.
Daha sonra bunun ucuna da C vektörünü ekliyorum. C vektörünü de şöyle ifade etmiş olurum. Evet şimdi bu üç faktörün toplamı ifade ederken ne yapacağım?
Burası neydi A vektörü, B vektörü ve C vektörü.
Üçünün toplamı bize bu üç vektörün nesini verecek?
Bileşkesini verecek.
Bu bileşke ifade edilirken başlangıç noktası, yani sistemi başlangıç noktası sistemin bitiş noktası.
Sistemin başlangıç noktasından sistemin bitiş noktasına doğru çizdiğim vektör benim bileşke vektörümdür.
Yani ben vektörleri toplarken uç uca eklerken ne yaptım?
Birbirlerini takip ettirdim şu şekilde.
A'nın başlangıcı A'nın bitişi, B'nin başlangıcı B'nin bitişi, C'nin başlangıcı C'nin bitişi ama bileşke vektörü R ile gösteriyorum.
Bileşke vektörü ifade ederken, sistemin başlangıcı sistemin bitişine doğru vektör çizdim bu da bunu kimi verdi?
Bileşke vektörü ifade etti.
Peki illa bu sırada mı olmak zorunda?
Biliyorsunuz toplamada değişme özelliği var yani ben illa A+B+C diye bunu yapmak zorunda değilim. Ne yapabiliriz C+B+A diye de yazabilirim.
Bakalım böyle yazdığımda da aynı sonuca gidecek miyim?
Şimdi yazalım C vektörünü nasıl ifade ediyorum?
Şu şekilde bu bizim C vektörümüz.
Daha sonra B vektörünü nasıl ifade ediyoruz?
Şöyle ifade ediyoruz, bu da B vektörü.
Peki A vektörünü de şu şekilde çizmiştik.
Baktığımda, yazalım şurası C, burası B, burası da A vektörü. Üçünün toplamını çizmek istediğimde yine ne yapıyorum?
Sistemin başlangıcı sistemin bitişi, sistemin başlangıcından sistemin bitişine doğru çizdiğim vektör bana kimi verecek?
Bileşke vektörü vermiş olacak.
Bakın büyüklükleri, yönleri ve doğrultuları aynı olmuş oluyor.
Bu şekilde ifade ediyoruz. Peki ben bunları başka nasıl toplayabilirim.
Bir önceki dersimizde kartezyen sistemlere bakmıştık. Mesela A vektörü şurası A vektörünün orjini kabul edilirse, nasıl ifade ederiz?
Yazalım, A vektörünün x-y bileşenlerini yazalım.
Burası orjin kabul edilirse A'nın X ekseninde büyüklüğüm kaç?
3.
Y ekseninde kaç olmuş oluyor?
4.
Peki B vektörüne bakalım.
B vektörü burası da B'nin orijini, başlangıç noktası B X ekseninde kaç birim?
3 birim.
Y ekseninde kaç birim?
-1 birim.
Peki C vektörüne bakalım C vektörüne bakmak istediğimde, şurası C'nin başlangıç noktası X ekseninde -1 birim.
Y ekseninde de kaç birim olduğunu görüyorum?
-2 birim olduğunu görüyorum. Şimdi bunları topladığımda şu şekilde ifade edeceğiz X ekseninde bileşke kaç birimmiş?
3, birimmiş?
1 birimmiş.
Sonra geliyorum bileşkeme bakıyorum.
Gerçekten de bu bileşke böyle mi?
Bakın bileşkenin başlangıç noktası X ekseninde 5 birim Y ekseninde 1 birim olduğunu görüyorum.
İşte böyle kartezyen sistemde de düşünebilirsiniz. Peki ben bu vektörlerden bir tanesini çıkartmak isteseydim, nasıl ifade edecektim?
Şu şekilde bir tanesinin eksilisini alacaktım.
Yani şu C vektörünün mesela eksilisini ifade etmiş olalım.
A+B-C'yi yazalım.
Nasıl yazacağım?
A'yı olduğu gibi çiziyorum, şuradan A'yı olduğu gibi çizelim.
Şu şekilde, bu A vektörümüz, sonra ucuna kime ekleyelim?
C'nin eksilisini de ekleyebiliriz, B'yi de ekleyebiliriz.
B'yi ekleyeceğim ama bir tık taşmış olacak.
Şöyle bir kare dışarıda kaldı.
-C demiş olalım, C'nin eksilisini nasıl ifade edeceğim?
O da yine dışarıda çalışmış olduğum şu şekilde ifade etmiş olacağız.
Şimdi baktığımızda bu vektörleri toplamı bize neyi verecek?
Şu şekilde sistemi başlangıcı-sistemi bitişi, şöyle çizmiş olacağız. Yani ne yaptık?
Burasını A vektörü dedim, burasına B vektörü olduğunu ifade ettim ve C'nin eksilisini nasıl çizdim?
Şu şekilde bakın -C, yani sisteme de C'yi böyle eklemiş oldum.
Birinci yöntem olan uç uca ekleme yöntemi ile başlayalım. Üç tane farklı vektör çizdim buraya, biliyorsunuz vektörler yönlü büyükler olduğu için nasıl işlem yapıyorum?
Vektörel işlem yapıyorum. Yani burada ben cebirsel olarak skaler bir toplam yapamam, bu vektörel toplamı yapabilmem için de ne yapmam lazım?
Bu vektörlerin yönünü doğrultusunu ve şiddetini değiştirmeden uç uca eklemem lazım. Şimdi başlayalım A vektörü B vektörü ve C vektörü çizdim.
Bunları vektörel olarak şu şablonda toplayalım ve bileşkelerini hesaplamış olalım.
Şimdi baktığımda A vektörünü olduğu gibi taşıyorum.
Şöyle ifade ettim bu A vektörümüz.
A vektörünün ucuna kimi ekliyorum B vektörünü ekliyorum.
B vektörünü eklediğimde de şu şekilde ifade ediyorum.
Daha sonra bunun ucuna da C vektörünü ekliyorum. C vektörünü de şöyle ifade etmiş olurum. Evet şimdi bu üç faktörün toplamı ifade ederken ne yapacağım?
Burası neydi A vektörü, B vektörü ve C vektörü.
Üçünün toplamı bize bu üç vektörün nesini verecek?
Bileşkesini verecek.
Bu bileşke ifade edilirken başlangıç noktası, yani sistemi başlangıç noktası sistemin bitiş noktası.
Sistemin başlangıç noktasından sistemin bitiş noktasına doğru çizdiğim vektör benim bileşke vektörümdür.
Yani ben vektörleri toplarken uç uca eklerken ne yaptım?
Birbirlerini takip ettirdim şu şekilde.
A'nın başlangıcı A'nın bitişi, B'nin başlangıcı B'nin bitişi, C'nin başlangıcı C'nin bitişi ama bileşke vektörü R ile gösteriyorum.
Bileşke vektörü ifade ederken, sistemin başlangıcı sistemin bitişine doğru vektör çizdim bu da bunu kimi verdi?
Bileşke vektörü ifade etti.
Peki illa bu sırada mı olmak zorunda?
Biliyorsunuz toplamada değişme özelliği var yani ben illa A+B+C diye bunu yapmak zorunda değilim. Ne yapabiliriz C+B+A diye de yazabilirim.
Bakalım böyle yazdığımda da aynı sonuca gidecek miyim?
Şimdi yazalım C vektörünü nasıl ifade ediyorum?
Şu şekilde bu bizim C vektörümüz.
Daha sonra B vektörünü nasıl ifade ediyoruz?
Şöyle ifade ediyoruz, bu da B vektörü.
Peki A vektörünü de şu şekilde çizmiştik.
Baktığımda, yazalım şurası C, burası B, burası da A vektörü. Üçünün toplamını çizmek istediğimde yine ne yapıyorum?
Sistemin başlangıcı sistemin bitişi, sistemin başlangıcından sistemin bitişine doğru çizdiğim vektör bana kimi verecek?
Bileşke vektörü vermiş olacak.
Bakın büyüklükleri, yönleri ve doğrultuları aynı olmuş oluyor.
Bu şekilde ifade ediyoruz. Peki ben bunları başka nasıl toplayabilirim.
Bir önceki dersimizde kartezyen sistemlere bakmıştık. Mesela A vektörü şurası A vektörünün orjini kabul edilirse, nasıl ifade ederiz?
Yazalım, A vektörünün x-y bileşenlerini yazalım.
Burası orjin kabul edilirse A'nın X ekseninde büyüklüğüm kaç?
3.
Y ekseninde kaç olmuş oluyor?
4.
Peki B vektörüne bakalım.
B vektörü burası da B'nin orijini, başlangıç noktası B X ekseninde kaç birim?
3 birim.
Y ekseninde kaç birim?
-1 birim.
Peki C vektörüne bakalım C vektörüne bakmak istediğimde, şurası C'nin başlangıç noktası X ekseninde -1 birim.
Y ekseninde de kaç birim olduğunu görüyorum?
-2 birim olduğunu görüyorum. Şimdi bunları topladığımda şu şekilde ifade edeceğiz X ekseninde bileşke kaç birimmiş?
3, birimmiş?
1 birimmiş.
Sonra geliyorum bileşkeme bakıyorum.
Gerçekten de bu bileşke böyle mi?
Bakın bileşkenin başlangıç noktası X ekseninde 5 birim Y ekseninde 1 birim olduğunu görüyorum.
İşte böyle kartezyen sistemde de düşünebilirsiniz. Peki ben bu vektörlerden bir tanesini çıkartmak isteseydim, nasıl ifade edecektim?
Şu şekilde bir tanesinin eksilisini alacaktım.
Yani şu C vektörünün mesela eksilisini ifade etmiş olalım.
A+B-C'yi yazalım.
Nasıl yazacağım?
A'yı olduğu gibi çiziyorum, şuradan A'yı olduğu gibi çizelim.
Şu şekilde, bu A vektörümüz, sonra ucuna kime ekleyelim?
C'nin eksilisini de ekleyebiliriz, B'yi de ekleyebiliriz.
B'yi ekleyeceğim ama bir tık taşmış olacak.
Şöyle bir kare dışarıda kaldı.
-C demiş olalım, C'nin eksilisini nasıl ifade edeceğim?
O da yine dışarıda çalışmış olduğum şu şekilde ifade etmiş olacağız.
Şimdi baktığımızda bu vektörleri toplamı bize neyi verecek?
Şu şekilde sistemi başlangıcı-sistemi bitişi, şöyle çizmiş olacağız. Yani ne yaptık?
Burasını A vektörü dedim, burasına B vektörü olduğunu ifade ettim ve C'nin eksilisini nasıl çizdim?
Şu şekilde bakın -C, yani sisteme de C'yi böyle eklemiş oldum.
