İlk olarak doğru orantı ile başlayacağız.
Bakalım, iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu çokluklara biz doğru orantılıdır diyeceğiz arkadaşlar, doğru orantılıdır.
Yani istediğimiz, biri artarken diğeri de artsın ya da biri azalırken diğeri de azalsın.
Tam tersi bir durum gerçekleşmesin.
Tam tersi durum gerçekleştiğinde de zaten ters orantı olacak, onu da inceleyeceğiz.
Şimdi nasıl olacak peki bu matematiksel işlem olarak?
Şimdi a ve b doğru orantılı ise o zaman demek ki biz şöyle yazacağız, a bölü b eşittir K şeklinde göstereceğiz arkadaşlar bunu.
Bunu tabii daha örneklerde açacağız, bunu birazcık da grafikte göstermek istiyorum.
Şimdi y ve x eksenleri var burada ve bir tane doğru çizilmiş.
Arkadaşlar bu doğru y=x.k doğrusudur aslında.
Biz burada x'i y'nin altına aldığımızda biz şunu elde ederiz, y/x=k.
Yani aslında doğru orantı olan bir grafik elde etmiş olduk burada.
Şimdi peki nasıl oldu?
Bakınız x'ler sağ tarafa doğru artıyor, evet.
y'ler de yukarı doğru artıyor.
O zaman demek ki bu grafik aslında ne demiş oluyor?
x'ler artarken y'ler de artıyor, y'ler artarken x'ler de artıyor diyor.
O zaman demek ki bu yüzden bu grafik doğru orantıyı bize göstermiş olacak.
Peki 3a+2 ve 2b-1 doğru orantıda iki sayıdır.
a=6 iken b=3 olduğuna göre a=9 iken b kaçtır?
Şimdi bunlar doğru orantılı iki sayı ise o zaman demek ki bunlar bölünecek demektir.
O şekilde gösterdik çünkü, 2b-1. Doğru orantılı oldukları için bunların bir tane orantı sabiti gelecektir, peki onu nasıl bulacağız?
İlk önce a'nın yerine 6 koyacağız, b'nin yerine 3 koyacağız, orantı sabitini bulacağız.
Daha sonra 9 koyduğumuzda b'nin ne olduğuna karar vereceğiz.
a'nın yerine 6 koymak istiyorum, 6x3=18, 2 daha, 20 yaptı.
Daha sonra b'nin yerine 3 koymak istiyorum 6'dan 1 çıktı 5. O zaman demek ki 20/5'ten 4 elde ederiz ki bu 4 bizim orantı sabitimize eşittir.
O zaman demek bu orantı sabiti hiç değişmeyecektir.
Yani a=9 koyduğumuzda b öyle bir şey olacak ki yine bu oran 4 gelecek, biz bunu istiyoruz.
Peki a'nın yerine 9 koyuyorum.
9 kere 3, 27, buradan 2 daha, gelmiş olacak.
Tabii burada hep düzgün sayıları gelmek durumunda değil, ben burada 2 ve -1'i karşı tarafa almak istiyorum.
29 eşittir, 2b-1 ile 4'ü çarpacak olursak 8b-4 elde etmiş oluyoruz ve -4'ü de sağ tarafa aldığımızda 33 elde etmiş oluyoruz. b'nin burada 33/8 olduğunu söyleriz.
Dediğimiz gibi burada hep düzgün sayılar gelmek durumunda değildir.
x,y ve z sayıları 3,4 ve 5 ile doğru orantılıdır.
x-2y+3z=40 olduğuna göre x kaçtır?
Şimdi bakınız bu sayılar sırasıyla bunlarla doğru orantılı ise o zaman yazacağımız işlem şudur: x/3 eşittir bu sefer y/4, o da eşittir z/5.
Daha sonra bu bir orantı sabitine eşitlenecektir.
Daha sonra o zaman ne yapacağız?
Buradaki denklemi çözebilmek için 3'ü, 4'ü ve 5'i karşı tarafa atacağız.
Yani şunu elde edeceğiz: x eşittir de burada beş tane k elde etmiş olacağız.
Yerine yazalım, daha sonra ne olmuş oluyor?
3 tane k eksi Üç tane z ise de o zaman 15 tane k yapmış olacak ve bu 40'a eşit.
O zaman 3 ile 15'i topladık, güzel gelecek şimdi, 10 tane k o zaman 40'a eşitse k da buradan 4 olacaktır.
Orantı sabitimiz 4'müş. x'i soruyor, o zaman demek ki burada k yerine bulunmuş olur.
Tabii diğerleri de sorulabilir burada, k'nın yerine 4 yazdığınızda diğerlerini de bulabilirsiniz.
Evet şimdi bu örneğimize bakalım.
870 lira, yaşları 8, 10 ve 12 olan üç çocuğa yaşlarıyla doğru orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor.
Buna göre en büyük çocuk kaç lira alır?
Şimdi arkadaşlar biz ne yapacağız?
Üç çocuğa bu parayı dağıtacağız.
O yüzden ben diyorum ki çocuk-1 olsun, çocuk-2 olsun, bir de çocuk-3 olsun.
Şimdi arkadaşlar, bunların aldıkları paraları da bilmiyoruz O yüzden ben diyorum ki çocuk-1 a lira alsın, çocuk-2 b lira alsın ve çocuk-3 de c lira alsın.
Şimdi arkadaşlar bunlar üç çocuğa 8,10 ve 12 yaşlarındaymış bunlar, ve doğru orantılı olarak dağıtılmış.
O zaman demek ki en küçük çocuk bu olsun, yani 8yaşında olan bu olsun, 10 yaşında olan bu olsun, 12 yaşında olan da bu olsun.
Yani çocuk-1,2,3 şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanmış olsun.
O zaman demek ki bahsettiği şey şöyle yazılır, doğru orantı gereği. a/8 = b/10=c/12 orantısı yazılır ve burada orantı sabitine eşitlenir.
Daha sonra ne yapacağız?
Artık buradaki 8'i, 10'u ve 12'yi karşıya atarak a'nın b'nin ve c'nin k cinsinden eşitini bulacağız.
Yani arkadaşlar a'yı buradan 8k elde ediyoruz, b'yi buradan 10k elde ediyoruz ve c'yi de buradan sonuçta biz bu a lira, b lira ve c lirayı bu çocuklara dağıttıktan sonra topladığımızda 870 lira elde etmeliyiz.
O zaman aynı şekilde de 8k, etmeliyiz O zaman ben bunları topladığımda ne elde etmiş oluyorum?
Bakınız 30k elde etmiş oluyorum. İşte bu 30k'yı da 870 liraya eşitliyorum.
Daha sonra her tarafı 30'a bölecek olursak ilk önce şuradaki 0'ları götürelim, 3k 87 ise o zaman k buradan kaç geliyor?
Evet 29, yani 29 gelmiş olur, yani k buradan 29 bulunmuş oldu.
En büyük çocuk kaç lira alır?
Biz ne almıştık?
Küçükten büyüğe doğru bu şekilde sıralamıştık ve c'nin en büyük olduğunu söylemiştik.
c de arkadaşlar bakınız burada 12k.
O zaman demek ki ne yapacağız?
c'deki k'nın yerine 29 yazacağız.
Yani 12 çarpı 29 olmuş olacak burası.
Kaç elde ediyoruz?
Burada 30 olmuş olsa bu arkadaşlar, 12 ile 30'u çarptığımızda 360 elde ederiz ama bir tane 12 çıkartmamız lazım. buradan 348 TL aldığını söylemiş oluruz.
Doğru orantı nedir?
Aynı türden iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denildiğini öğrenmiştik. Doğru orantı ise;
Bir çokluk artıyorken diğer çokluk da aynı oranda artıyorsa veya bir çokluk azalırken diğer çokluk da aynı oranda azalıyorsa bu çokluklara doğru orantı denir.
a ve b çoklukları doğru orantılı ise;
şeklinde gösterilir.
Doğru orantı örnekleri nelerdir?
Doğru orantı hesaplama soruları ile öğrendiklerini pekiştirebilirsin.
Örnek: 3a+2 ve 2b-1 doğru orantılı iki sayıdır. a = 6 iken b = 3 olduğuna göre, a = 9 iken b neye eşittir?
Verilen çoklukları oranlarsak;
bağıntısını elde ederiz. Soruda verilen değerleri yerine yazarak k orantı sabitini bulalım.
a = 9 iken ise
İçler dışlar çarpımı yaparsak 4.(2b - 1) = 29 olur.
8b - 4 = 29
8b = 33 ise