İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyor ya da biri azalıyorken diğeri aynı oranda artıyor ise bu çocuklara biz ters orantılıdır diyeceğiz.
Bu sefer bakınız zaten aslında isminden de anlaşıldığı gibi biri artarken diğeri azalıyor biri azalırken diğeri artıyor yani bir terslik durumu var burada. Şimdi peki bunu nasıl göstereceğiz?
a ile b ters orantılı ise bu sefer çarpacağız arkadaşlar çarpıp biz burada bir orantı sabitine eşitleyeceğiz ve bu şekilde soruların çözümüne gideceğiz.
Bunu grafikte gösterecek olursak arkadaşlar bu y çarpı x eşittir k'nın grafiğidir.
Şimdi buradan şöyle bakınız x'ler artarken y'ler azalıyor ya da y'ler azalırken x'ler artıyor şeklinde düşünecek olursak burada aslında ters orantı olduğunu görüyoruz. Peki örneğimiz, şimdi x sayısı y ile doğru z ile ters orantılıdır diyor, ikisi bir arada verilmiş olabilir.
Yani doğru ya da ters orantılı ikisi aynı soru içinde kullanılabilir.
x=10, y=4 iken z=8'miş x=16, y=12 iken z kaçtır diyor.
Şimdi o zaman x y ile doğru orantılı ise o zaman demek ki bölünecek ama z ile ters orantılı olduğu için de çarpılacak arkadaşlar ve bu bir orantı sabitine eşitlenecek.
Şimdi ilk önce bunları yerine koyalım bakalım ne oluyor orantı sabiti.
10/4 çarpı sadeleştirdiğimizde burada 2 kalacak, 10'la da 2'yi çarptığımızda burada orantı sabitini x=16, y=12 koyduğumuzda z'yi bulalım.
x=16 koyduk y=12 koyduk ve z'yi bulacağız burada ve orantı sabiti olarak da bu 20'yi vermeli.
Şimdi ben her tarafı 4 ile sadeleştirmek istiyorum burada. Burada 3 gelecek buradan 4 gelecek.
Daha sonra karşılıklı olarak her tarafı 4 ile sadeleştirmek istiyorum.
Burada 5 gelecek burada da 1 geldi. O zaman demek ki bakınız burada sol tarafta elde ettiğimiz ifade z/3 sağ tarafta da 5 elde ettik, z'yi de buradan 15 olarak bulmuş oluruz. Peki diğer bir örneğimiz, a b c sayıları sırasıyla olduğuna göre b kaçtır?
Şimdi bunlar bu sayılarla ters orantılı ise o zaman demek ki çarpılacak demektir arkadaşlar.
a çarpı 3 daha sonra b çarpı 4 ve c çarpı 6 yapılacak ve bu orantı sabitine eşitlenecek.
Şimdi o zaman bizim yine aynı şekilde a,b,c'yi yalnız bırakmamız lazım. yalnız bırakıyorum yani 3'ü, 4'ü ve 6'yı k'nın altına atıyorum.
a eşittir o zaman bakınız burada k/3 daha sonra b eşittir burada k/4 ve c eşittir buradan k bölü 6 elde etmiş olacağız.
Şimdi artık a'nın b'nin ve c'nin yerine bunları yazacağız demektir.
a'nın yerine k/3 yazarsak b'nin yerine k/4'ü yazacak olursam bu sefer k/6'yı direkt olarak yazıyorum zaten, eşittir 25. Şimdi bunların paydalarının eşitlenmesi lazım, sonra tek payda hâlinde yazmak istiyorum ben bunları.
12 paydasında 4'le 2'yi çarptığımda 8k, d k'yı çarptığımda -2k'yı elde etmiş oluyorum ve eşittir 25'tir diyorum.
Şimdi o zaman demek ki şuradan devam edelim, 8k ile 9k'yı topladım 17k, eşittir buradan 25 elde etmiş oluyoruz. Burada her tarafı 5 ile sadeleştirelim şöyle, 5 ile sadeleştirdiğimizde burada 5 burada 3 gelecek, daha sonra burayı da 3 ile sadeleştirdiğimizde burada 4 gelecek ve 4'ü de karşı tarafa attığımızda bakınız k'yı 20 olarak elde etmiş oluruz.
Bize b soruluyor, b'nin de k/4 olduğunu biliyoruz.
O zaman b buradan k/4 ise, k'nın yerine 20 yazdığımızda 20/4'ten biz b'yi burada yaşları 10, 12 ve 15 olan üç çocuk yaşları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. Buna göre en küçük çocuk kaç para alır?
Şimdi bu sefer yine aynı şekilde çocuk bir diyorum, çocuk iki diyorum ve çocuk üç diyorum.
Şimdi o zaman bunların aldıkları paralar a, b ve c olsun, toplamları 9.
Bu a, b ve c hakkında 10, söyleniyor.
O zaman demek ki şöyle yazılacak: a çarpı 10 eşittir b çarpı 12 o da eşittir c çarpı aynı şekilde a eşittir burada k/10 diyorum, b eşittir buradan k/12 diyorum ve c eşittir de buradan k/15 diyorum.
Şimdi o zaman demek ki bunları topladığımda yani şunları topladığımda k/12 + k/15 = 900 olacak.
Şimdi buradan hepsinin paydası 60'ta eşitlenir.
O zaman burayı 6'yla, burayı 5'le, burayı da 4'le çarpacağım demektir. O zaman demek ki şuradan devam edelim.
Paydası geldi bu da eşittir 900.
Şimdi bakınız ilk önce 15'le 60'ı sadeleştirecek olursak buradan 4 gelir.
Karşıya dağıttığımızda bunu, ne olacak?
k eşittir o zaman demek ki burada 4 x çünkü tekrardan böleceğiz zaten.
Şimdi en küçük çocuk kaç para alır diyor.
En küçük çocuğa biz 10 yaşındaki çocuk yani çocuk bir demiştik, o zaman o a lira alacaksa bakınız, a da k/10, o zaman demek ki a eşittir k/10'sa k'nın yerine burada 4 x900 yazıyorum ben.
Burada sadeleşme geleceği için çarpmadım onu, o zaman şöyle sadeleştiğinde
Ters orantı nedir?
İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyor veya biri azalırken diğer aynı oranda artıyor ise bu çokluklara ters orantı denir.
a ve b çoklukları ters orantılı ise a.b = k şeklinde gösterilir. Bazı kaynaklarda yer alan ters orantı formülü aslında ters orantının a.b = k şekilde gösterimidir.
a ve b değişkenleri arasındaki ters orantı grafikle şekildeki gibi gösterilir.
Grafikleri verilen değişkenler ters orantılı oldukları için;
a.b = a.c = k eşitliğini yazabiliriz.
Ters orantı örnekleri nelerdir?
Günlük hayattan ters orantıya örnek vermek gerekirse hız ve geçen zaman denklemini örnek olarak verilebilir. Örneğin bir araç 100 km mesafeyi 100 km/s hızla 1 saatte tamamlarken, aynı yolu 50 km/s hızla 2 saatte tamamlar.
100 km/s.1 s = 50 km/s.2s = 100 km
Ters orantı konumuza ters orantı soruları ile devam edelim.
Örnek: Bir otelde 80 kişiye 20 gün yetecek kadar yiyecek vardır. 5 gün sonra otelden kaç kişi ayrılırsa kalan yiyecekler kalan kişilere 20 gün yeter?
80 kişiye 20 gün yetecek yiyecek 1 kişiye 80.20 = 1600 gün yeter.
5 gün 80 kişi bir kişinin 400 günde tüketeceği yiyeceği yemiştir.
Geriye bir kişi için 1600 - 400 = 1200 günlük yiyecek kalır.
Bir kişi için 1200 gün yetecek yiyecek kaç kişiye 20 gün yeter?
1.1200 = x.20 = 1200 ise
20x = 1200 olur.
x = 60 bulunur.
Otelden 5 gün sonra 20 kişi ayrılırsa kalan yiyecek kalan kişilere 20 gün yeter.