Değerli arkadaşlar, herkese merhaba.
Bu dersimizdeki konumuz paralel iki doğru arasındaki uzaklık.
d1 ve d2 paralel iki doğru olsunlar. Bakın, dolayısıyla bunların denklemlerini daha önce öğrendik.
ax+by kısımları aynıdır.
Sadece farklı olan kimdir?
Sabitler.
Birisi ax+by+c1=0 d2 ise, ax+by+c2=0 tipindedir.
Şimdi, tabii ki paralellikte bunlar direkt birbirine eşit olmayacak ama aralarında oran da olabilir.
Biri diğerinin 2 katıdır, siz bu formüle başlamadan ikisinin katsayılarını eşitlemezseniz yanlış yaparsınız.
Öncelikle burada x'ler ve y'ler katsayıları birbirine eşit.
Sabitler farklı durumda olacak.
Bu hale, hazır hale getireceksiniz doğruları.
Sonrasında şunu yapıyoruz.
Mutlak içerisinde sabitler farkı, yani mutlak c1 eksi c2 bölü karekök içerisinde x'in ve y'nin katsayılarının karelerinin toplamı. Yani a² artı b² diyeceğiz.
Şimdi hemen, örnek üzerinde daha detaylı anlatmaya çalışalım.
Dik koordinat sisteminde x+2y+3=0 ve x+2y-8=0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir, diye sorulmuş.
Bakın, x ve y'nin katsayıları gördüğünüz gibi sırasıyla aynı ve eşit.
Farklı olan tek şey kim?
Sabitler. Zaten benim de işime onlar yarayacak.
Ne yapacak?
Hemen 3'ten -8'i çıkarıyorum, yine mutlak içerisinde çıkarıyorum.
Uzunluk eksi asla olamaz. Bölü diyorum karekök içerisinde x'in katsayısı 1, karesi.
Yukarısı kaç geldi değerli arkadaşlar?
11. Aşağısı kaç geldi?
11 bölü kök 5.
Ya da diğer bir ifade ile, 11 kök 5 bölü 5 birim olarak söyleyip bu şekilde bırakabiliriz ve hemen bir sonraki sorumuza geçelim.
Analitik düzlemde 6x-8y+16=0 ve Buna göre m'nin alabileceği değerleri bulunuz, demiş.
Şimdi bakın, x ve y'nin katsayıları eşit değil.
Ya aşağıdakini ikiyle çarpacağım ki sayıları büyütmek istemem, ya da yukarıdakini ikiye böleceğim.
Yukarıdaki sabiti ile beraber ikiye bölünüyor, yani beni rasyonel ifadeyle de uğraştırmayacak.
O zaman ikiye bölüyorum üst tarafı, yani 3x-4y+8=0.
Şimdi şu ikisi arasındaki uzaklığa bakacağım, x'ler y'ler aynı.
Sabitleri mutlak değerce birbirinden çıkarıyorum arkadaşlar. Bölü diyorum x'in kat sayısının karesi, y'nin kat sayısının karesi.
Bunları toplayıp karekök içerisine alıyorum ve aradaki uzaklığı 2'ye eşitliyorum ve buradan gördüğünüz gibi ne olur şimdi?
Mutlaka içerisinde m-8 dediğimiz ifade, uzunluklarını.
9 artı 16 25, kök 25 5.
İçler dışlar yaparsam iki kere beşten 10 olur.
İki türlü çözülebilir bu mutlak değer işlemi.
m-8 ya 10'dur ya da arkadaşlar nedir?
-10'dur yani m dediğimiz ifade 18 olabilir ya da -2 olabilir diyoruz. Dolayısıyla m'nin alabileceği değerleri de bulmuş olduk diyelim ve hemen sıradaki sorumuza geçelim. doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir, diye sorulmuş.
Şimdi, soru aslında önce şurada paralel olduğunu söylemiş.
Zaten paralel olmayan iki doğru arasındaki uzaklık da bulunmaz.
Niye?
Paralel olmayan doğru ya bir noktada kesişir ya da birden çok noktada kesişir.
Zaten bir noktada kesiyorsa aralarındaki uzaklık yok yani nereden ölçeceğimize bakamayız değil mi?
Birden fazla ortak noktası varsa çakışıktır.
Aynı doğrulardır, yine aralarında uzaklık bulmak mümkün değil deriz. Peki, şimdi önce paralel olduğunu kullanarak oradaki a'yı bir bulalım.
Birinci denklemimizde x'in katsayısı 3, ikinci denklemimizde x'in katsayısı a-3.
Eşit olmalı.
Birinci denklemimizde y'nin katsayısı -4, ikinci denklemimizde y'nin katsayısı 8 ve hatta ve hatta ne demiştik?
Sabitler de bunlardan farklı olacak ki zaten farklı.
Burası -1/2 gelir görüyorsunuz.
Şu ikisini birbirine eşitleyeceğim ama önce şunları sadeleştireyim.
2 kalsın hatta eksiyi de aşağıya vereyim, -2 olsun.
İçler dışlar çarpımı yapınca a eksi 3 eşittir -6.
Dolayısıyla, a'mız ne gelir?
-3 gelmiş olsun.
Peki, a eşittir -3 için hemen yerine yazıyorum bakın.
Birinci denklemim ne?
3x-4y-7=0.
-3'ü yazınca, hatta önce bir yukarıda yazayım.
-3, -3 daha -6x+8y+11=0.
Şimdi burada da sabitten dolayı şu görünmüyor.
O zaman ne yapayım?
Bunu hemen ikiyle çarpayım.
6x-8y-14=0.
x'ler, y'ler eşit mi?
Eşit.
Bakınız şu iki doğru arasındaki uzaklık kaç birim, diye sorulmuş bana ama katsayılar yani mutlak değerce eşit şu anda değil mi?
İşarette de problem var.
O zaman aşağıdaki denklemi de eksiyle çarpayım ben.
-6x+8y+14=0 olsun, tamam. Şimdi istediğime ulaştım.
Ne yapacağım hemen?
Sabitleri mutlak değerce birbirinden çıkaracağım. Bölü diyorum arkadaşlar, x'in katsayısı -6'nın karesi.
y'nin katsayısı 8, 8'in karesi.
Bunu da şöyle karekök içerisine alıyorum.
36, 64, 100 yapar.
100'ün karekökü 10'dur.
Ya da 6, tanıdığımız için öyle söylüyorum.
14 eksi 11 de burası da 3 olur.
Demek ki aradaki uzaklık 3/10 birimmiş sevgili gençler.
Evet, bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersimizdeki konumuz paralel iki doğru arasındaki uzaklık.
d1 ve d2 paralel iki doğru olsunlar. Bakın, dolayısıyla bunların denklemlerini daha önce öğrendik.
ax+by kısımları aynıdır.
Sadece farklı olan kimdir?
Sabitler.
Birisi ax+by+c1=0 d2 ise, ax+by+c2=0 tipindedir.
Şimdi, tabii ki paralellikte bunlar direkt birbirine eşit olmayacak ama aralarında oran da olabilir.
Biri diğerinin 2 katıdır, siz bu formüle başlamadan ikisinin katsayılarını eşitlemezseniz yanlış yaparsınız.
Öncelikle burada x'ler ve y'ler katsayıları birbirine eşit.
Sabitler farklı durumda olacak.
Bu hale, hazır hale getireceksiniz doğruları.
Sonrasında şunu yapıyoruz.
Mutlak içerisinde sabitler farkı, yani mutlak c1 eksi c2 bölü karekök içerisinde x'in ve y'nin katsayılarının karelerinin toplamı. Yani a² artı b² diyeceğiz.
Şimdi hemen, örnek üzerinde daha detaylı anlatmaya çalışalım.
Dik koordinat sisteminde x+2y+3=0 ve x+2y-8=0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir, diye sorulmuş.
Bakın, x ve y'nin katsayıları gördüğünüz gibi sırasıyla aynı ve eşit.
Farklı olan tek şey kim?
Sabitler. Zaten benim de işime onlar yarayacak.
Ne yapacak?
Hemen 3'ten -8'i çıkarıyorum, yine mutlak içerisinde çıkarıyorum.
Uzunluk eksi asla olamaz. Bölü diyorum karekök içerisinde x'in katsayısı 1, karesi.
Yukarısı kaç geldi değerli arkadaşlar?
11. Aşağısı kaç geldi?
11 bölü kök 5.
Ya da diğer bir ifade ile, 11 kök 5 bölü 5 birim olarak söyleyip bu şekilde bırakabiliriz ve hemen bir sonraki sorumuza geçelim.
Analitik düzlemde 6x-8y+16=0 ve Buna göre m'nin alabileceği değerleri bulunuz, demiş.
Şimdi bakın, x ve y'nin katsayıları eşit değil.
Ya aşağıdakini ikiyle çarpacağım ki sayıları büyütmek istemem, ya da yukarıdakini ikiye böleceğim.
Yukarıdaki sabiti ile beraber ikiye bölünüyor, yani beni rasyonel ifadeyle de uğraştırmayacak.
O zaman ikiye bölüyorum üst tarafı, yani 3x-4y+8=0.
Şimdi şu ikisi arasındaki uzaklığa bakacağım, x'ler y'ler aynı.
Sabitleri mutlak değerce birbirinden çıkarıyorum arkadaşlar. Bölü diyorum x'in kat sayısının karesi, y'nin kat sayısının karesi.
Bunları toplayıp karekök içerisine alıyorum ve aradaki uzaklığı 2'ye eşitliyorum ve buradan gördüğünüz gibi ne olur şimdi?
Mutlaka içerisinde m-8 dediğimiz ifade, uzunluklarını.
9 artı 16 25, kök 25 5.
İçler dışlar yaparsam iki kere beşten 10 olur.
İki türlü çözülebilir bu mutlak değer işlemi.
m-8 ya 10'dur ya da arkadaşlar nedir?
-10'dur yani m dediğimiz ifade 18 olabilir ya da -2 olabilir diyoruz. Dolayısıyla m'nin alabileceği değerleri de bulmuş olduk diyelim ve hemen sıradaki sorumuza geçelim. doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir, diye sorulmuş.
Şimdi, soru aslında önce şurada paralel olduğunu söylemiş.
Zaten paralel olmayan iki doğru arasındaki uzaklık da bulunmaz.
Niye?
Paralel olmayan doğru ya bir noktada kesişir ya da birden çok noktada kesişir.
Zaten bir noktada kesiyorsa aralarındaki uzaklık yok yani nereden ölçeceğimize bakamayız değil mi?
Birden fazla ortak noktası varsa çakışıktır.
Aynı doğrulardır, yine aralarında uzaklık bulmak mümkün değil deriz. Peki, şimdi önce paralel olduğunu kullanarak oradaki a'yı bir bulalım.
Birinci denklemimizde x'in katsayısı 3, ikinci denklemimizde x'in katsayısı a-3.
Eşit olmalı.
Birinci denklemimizde y'nin katsayısı -4, ikinci denklemimizde y'nin katsayısı 8 ve hatta ve hatta ne demiştik?
Sabitler de bunlardan farklı olacak ki zaten farklı.
Burası -1/2 gelir görüyorsunuz.
Şu ikisini birbirine eşitleyeceğim ama önce şunları sadeleştireyim.
2 kalsın hatta eksiyi de aşağıya vereyim, -2 olsun.
İçler dışlar çarpımı yapınca a eksi 3 eşittir -6.
Dolayısıyla, a'mız ne gelir?
-3 gelmiş olsun.
Peki, a eşittir -3 için hemen yerine yazıyorum bakın.
Birinci denklemim ne?
3x-4y-7=0.
-3'ü yazınca, hatta önce bir yukarıda yazayım.
-3, -3 daha -6x+8y+11=0.
Şimdi burada da sabitten dolayı şu görünmüyor.
O zaman ne yapayım?
Bunu hemen ikiyle çarpayım.
6x-8y-14=0.
x'ler, y'ler eşit mi?
Eşit.
Bakınız şu iki doğru arasındaki uzaklık kaç birim, diye sorulmuş bana ama katsayılar yani mutlak değerce eşit şu anda değil mi?
İşarette de problem var.
O zaman aşağıdaki denklemi de eksiyle çarpayım ben.
-6x+8y+14=0 olsun, tamam. Şimdi istediğime ulaştım.
Ne yapacağım hemen?
Sabitleri mutlak değerce birbirinden çıkaracağım. Bölü diyorum arkadaşlar, x'in katsayısı -6'nın karesi.
y'nin katsayısı 8, 8'in karesi.
Bunu da şöyle karekök içerisine alıyorum.
36, 64, 100 yapar.
100'ün karekökü 10'dur.
Ya da 6, tanıdığımız için öyle söylüyorum.
14 eksi 11 de burası da 3 olur.
Demek ki aradaki uzaklık 3/10 birimmiş sevgili gençler.
Evet, bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Sıkça Sorulan Sorular
Paralel iki doğru arası uzaklık nasıl bulunur?
Paralel olan d1 : ax + by + c1 = 0 ve d2 : ax + by + c2 = 0 doğruları için paralel iki doğru arası uzaklık hesaplanabilir.
d1 : ax + by + c1 = 0
d2 : ax + by + c2 = 0 olmak üzere 2 doğru arası uzaklık formülü:
olarak bulunur.
