Doğrunun Analitik İncelenmesi Örnek Sorular

Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.  Bu dersimizde paralel iki doğru arasındaki   uzaklık ve noktanın doğruya uzaklığı ile alakalı  örnekler çözmeye devam edeceğiz.
İlk örneğimizle   başlayalım.
2x-4y+m=0 ve x-2y+5=0 doğruları  arasındaki uzaklık 2 kök 5 birim olduğuna göre   m'nin alabileceği değerleri bulunuz, demiş.  Şimdi iki doğru arasındaki uzaklığı bulurken   hatırlayacaksınız öncelikle doğruların birbirine  paralel olması gerekiyordu ve bu paralellik şartı   da x'lerin ve y'lerin katsayılarının birbirine  eşit olmasıydı.
Dolayısıyla ikinci denklemi eğer   biz 2'yle çarparsak bu eşitliği sağlamış oluruz.  İlk denklemimiz bakın şu kalsın zaten ikincisini   yazıyorum.
2x-4y+10=0, dikkat ettiyseniz  eğer sadece sabitler birbirinden farklı   geldi ki zaten paralellik şartı buydu.
Bu durumda  şöyle yapıyorduk hatırlayacaksınız.
İki doğrunun   sabitlerini birbirinden mutlak değerce çıkartıp, bölü x'in ve y'nin katsayılarının karelerinin   toplamı yazıyorduk.
O da kök içerisindeydi.
Hemen  yazdım ve bunu kaça eşitliyorum arkadaşlar?
2 kök   hani uzunluklarını dik üçgenden de hatırlayacağız   demiştik.
Dik kenarlar arasında 1'e 2 oran  varsa hipotenüs kısa olanın kök 5 katıydı.
Bu da   hipotenüs bulmaya benziyor aslında yani alt taraf  aslında 2 kök 5 gelir.
Değil mi?
Şu kısım 2 kök   içerisinde, daha doğrusu mutlak içerisinde m eksi   Bu durumda iki türlü çözülür bu mutlak denklemi.   m eksi 10 ya 20'ye eşitlenir ya da -20'ye  eşitlenir sevgili arkadaşlar.
Buradan m eşittir   eşittir -10 olarak bulunmuş olur.
Dolayısıyla   m'nin alabileceği değerleri bulduk.
Bir sonraki  örneğimizle devam ediyoruz.
Diyor ki, karşılıklı   iki kenarı 4x-3y-5=0 ve 4x-3y+10=0 doğrularının  üzerinde bulunan karenin alanı kaç birim karedir?
   Şimdi hemen şöyle düşünün.
Mesela şu ikisi  birbirine paralel bu iki doğrular olsun.
Diyor ki   karenin kenarları bunlar üzerindeymiş, karşılıklı  iki kenarı.
Dolayısıyla bir tanesi şuysa mesela,   diğeri de şöyledir.
Değil mi?
Dolayısıyla bu iki  doğru arasındaki uzaklık aslında nedir?
Karenin   bir kenarıdır arkadaşlar.
Şuraya a dersek hemen  a eşittir diyelim, bu ikisi arasındaki uzaklığı   bulmaya çalışacağım.
Ne yapıyorduk?
Bunların  sabitlerini mutlak değerce birbirinden çıkartıp,   şurası eksi eksi artı olacak.
10 artı 5'ten 15  olacak.
Paydamız da x'in katsayısının karesi   artı y'nin katsayısının karesi.
İşaretleri ile  beraber yazdım ama kare aldığımızda biliyorsunuz   çok değişen bir şey olmaz.
Şimdi bu bize karenin  bir kenarını verecek dedik.
Yukarısı 15 demiştik.   Aşağısı zaten uzunluklarını 3, 4, 5'ten  hatırlayacaksınız ya da işte 4'ün karesi 16,   halde ne geldi?
Karemizin bir kenarı 3 birim   geldi arkadaşlar.
Bu karenin alanı bir kenarın  karesini alarak bulunur.
Dolayısıyla 3 çarpı   arkadaşlar diyelim, hiç de vakit kaybetmeden   bir sonraki soruya geçtim.
2x-2y+5=0 ve x-y-3=0  doğrularından eşit uzaklıkta olan noktaların   geometrik yer denklemini bulunuz, demiş.
Şimdi  bu bize şunu aslında anlatmaya çalışıyor.   Bakın birinci doğrumuz diyor ki 2x-2y+5=0.
Diğer  taraftan doğrumuz, şimdi bu doğru 2 ile çarpılırsa   eğer şu ikisinin paralel olduğu inandırıcı gelir  insanlara.
2x-2y-6=0 değil mi?
Katsayılarını   eşitledim ki bunlar birbirine paralel olsunlar.  Şimdi bu doğrulardan eşit uzaklıkta bulunan bütün   noktaları bul diyor.
Ne belirtir arkadaşlar  sizce?
Şimdi iki tane doğru var.
Bunların   üzerinde sonsuz çoklukta noktalar var.
Bunlara  eşit uzaklıkta olan tüm noktaları bulursanız   bakın şöyle.
Bu da bu ikisine birden paralel olan  üçüncü bir doğru olacaktır.
Yani aslında burada   şöyle yapabilirsiniz, işte ax+by+c=0.
Dolayısıyla  şunlar da eşit uzaklıkta hatta.
Şöyle baktığımızda   şunlara eşit uzaklıkta olacak.
Hani orta nokta  falan gibi olacak yani ama tabii orada ax+by   demeye gerek var mı?
Yok değil mi?
Niye?
Çünkü  paralel olduğunu biliyorum.
O halde şöyle derim   ben, 2x-2y olur.
Peki sabit ne olur hocam?
Zaten  sadece sabit değişiyordu paralellikte.
Ben buraya   ne derim?
+c eşittir 0 derim ve buranın c'sini  arkadaşlar az önce söyledik ya orta nokta bulur   gibi bulurum.
Yani c eşittir derim, diğer iki  tane doğrunun sabitlerini alırım.
Şöyle 5 artı -6,   bunları toplayıp 2'ye bölerim.
Dolayısıyla  sabiti buradan bulmuş olurum.
Kaç gelir   buradan?
-1/2 gelir sabitimiz.
Dolayısıyla  bu iki, verilen iki doğruya eşit uzaklıkta   bulunan noktalar kümesi yine bir doğru  belirtir.
Bu doğrunun denklemi de 2x-2y,   c'yi yerine yazıyorum şimdi, -1/2 eşittir 0  olarak bulunur.
İsterseniz, hani şıklarda bu   rasyonel ifade yoksa ne vardır?
4x-4y-1=0, bu  da vardır.
Hangisi varsa eğer onu işaretlemiş   olursunuz diyelim ve bir sonraki sorumuza geçelim.  Diyor ki x-2y+4=0 doğrusu üzerinden alınan bir a   noktasının 3x+4y-6=0 doğrusuna uzaklığı 2  birim olduğuna göre a noktasının apsisinin   alabileceği değerleri bulunuz, demiş.
Şimdi  bana verilen birinci denklemde bunun üzerinde bir,   bu doğru üzerinde bir nokta almamı istiyor.  Sonra bu noktanın da, verilen ikinci denklemle   verilen doğruya uzaklığını 2 birime eşitlememi  istiyor.
Tamam.
Şimdi bu doğru üzerinde aldığımız   noktaların koordinatları nasıldır?
Mesela apsisi  k olsun, tamam mı?
x yerine k yazıyorum.
k artı   siz.
k artı 4 eşittir 2y olur.
y'miz de ne   oluyormuş?
k artı 4 bölü 2.
Hani dediğim gibi  yine rasyonel ifadelerle uğraşmak istemiyorsanız   tamam mı?
Yani birinci doğru üzerinde aldığımız   noktanın koordinatları bu şekildeymiş.  Şimdi bu noktanın ikinci denkleme olan   uzaklığını nasıl buluyorduk?
Hemen götürüyordum,  koordinatları yerine yazıyordum doğruda değil mi?
   İkinci denklemde yazıyorum yalnız dikkat bakın.  Yıldız attım şuraya.
3 çarpı 2k, 6k olur.
Artı,   k artı 4'le bu sefer 4'ü çarpıyorum.
4k artı 16,  -6 var mutlak içerisindeydi uzunluk asla eksi   olmaz.
Bölü diyorum, x'in ve y'nin katsayılarının  karelerini topluyorum şu şekilde.
3'ün karesi artı   birime eşitlediğimde 2 kere 5'ten 10 gelecek.   Yukarıyı hesaplamaya çalışalım hemen.
10k'miz  var, şu ikisini topladım.
Bir de +10 var.
Evet.   Bunu kaça eşitledim?
Şurası 5'ti, 2 kere  içi 10 parantezine alınır, 10 dışarı çıkar.  mutlak içerisinde eşittir 1 olur sevgili gençler.  Bu durumda nasıl çözülüyordu bu denklem?
k artı   eşitliyorduk.
Sonuçta mutlağı 1 çıkan 2 tane değer   var.
k artı 1 1 ise k eşittir 0 olur.
k artı 1 -1 ise k eşittir -2 olur.
Şimdi, burada a noktasının   apsisinin alabileceği değerleri istemişti bizden.  Yalnız bu k değildi.
Biz bunu daha rahat işlem   yapabilmek için 2 ile çarpmıştık, a noktamız  burada.
Dolayısıyla 2k dediğimiz için apsisi   -2'den -4 olur.
İşte apsisin alabileceği değerler   bunlardır.
Araya virgül koymam sizi şaşırtmasın.  Normalde a noktasını yazmış olsam nasıl yazardım?
   yazacağım, 4 olurdu.
-4 yazdığımda da yani   daha doğrusu -2 yazdım, apsisim -4 oldu.
Burada -2  yazdığımda ordinatım da 2 olmuş olur ama bana 0'la   -4'ü sormuş.
Dolayısıyla sadece o ikisini bulmamız  da yeterliydi diyelim ve bu soruyla birlikte   dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki  ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.