Doğru Denklemi

Sevgili arkadaşlar herkese merhabalar, bu dersteki konumuz doğru denklemi.
Doğru denklemine başlarken ilk olarak karşımıza eğim çıkıyor.
Eğim neymiş?
İsterseniz birlikte bakalım.
Bir doğrunun x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açıya biz eğim açısı diyeceğiz.
Sevgili arkadaşlar ve bu açının tanjant değerine ise doğrunun eğimi diyeceğiz ve genellikle biz eğimi m harfi ile göstereceğiz.
Bakın aşağıda çizdiğimizde doğrusu kırmızı renkle gösterilmiş.
x ekseni ile pozitif yönlü yaptığı açı alfa.
Burada açılımı pozitif yönünün olup x ekseni ile d doğrusu arasında kaldığı bakın şu şekilde vurgulanmış.
Dolayısıyla dy doğrusunun eğim açısı nedir?
Alfadır sevgili gençler ve d doğrusunun eğimi bize sorulursa biz ne diyeceğiz?
Bu aşının tanjant değerine biz eğim diyorduk.
Yani tanjant alfa olarak d doğrusunun eğimi bulunur.
Şimdi burada şu kafanızı karıştırmasın istemem.
D doğrusunun bakın mesela eksenleri kestiği yere bakmış olalım.
Örneğin eksi bir noktasında yayı negatif tarafta kesmiş ya onu da eksi iki noktasında kesmiş olsun.
Şimdi bunu alfa iken burada ters açılardan gördüğünüz gibi şu kısımdan olur alfa olur.
İşte burası 90.
Şimdi ben burada m d demek biliyorsunuz.
M az önce söyledik eğim demektir altına d yazınca d doğrusunun eğimi olduğu nasıl ifade edilir?
Hocam tanjant alfa şimdi bunun tanjantı ne karşı bölü komşu.
Acaba eksi iki bölü bir mi diyeceğiz?
Hayır tabii ki öyle bir şey demeyeceğiz arkadaşlar.
Neden bunun eksenleri kestiği yerdeki oradaki noktaların eksilsin artsın hiçbir önemi yok.
Direkt bunun karşı bölü komşusu nedir?
Bakın karşısında iki birim var.
Komşusunda da bir birim var, iki bölü birden direkt iki diyeceğiz buna ve hocam hiç mi o zaman eksi olmayacak, hep artı mı aldı?
Hayır, hemen onu da bakın gelin şurada size açıklayayım.
Ben bir notla ifade edeceğim onu.
Eğer alfa dar açı ise sevgili gençler, yani bir doğrunun eğim açısı dar açı ise sıfırla 90 derece arasında birinci bölgede olacağı için birinci bölgede biliyorsunuz tanjant pozitiftir yani bütün trigonometrik hepsi fonksiyonlar pozitif ama bizim için şu an önemli olan ne?
Tanjant fonksiyonu.
Tanjant 0'dan büyük olacağı için eğimlidir.
Arkadaşlar pozitiftir yani dar açılı bir eğim açısına sahip olan doğrunun eğimi pozitiftir.
Yani aslında dar açılı olabilmesi için şurada eksenleri çizeyim bir tane de ona doğru çizelim.
Sonrasında eğim açısında işaret ettiğim alfa diyeyim ona gördüğünüz gibi sağa yatık bir doğru.
Sağa yatık ne demek?
Eğim açısı dar açı olan bir doğru.
Burada nedir arkadaşlar?
Tanjant alfa bunun eğimi olacağı için pozitiftir, sıfırdan büyüktür eğimimiz deriz.
Peki gelelim geniş açı.
Geniş açı da şurada hemen göstereyim.
x ekseni ile yapmış olduğu açı yan eğim açısı şu şekilde gördüğünüz gibi 90 dereceden büyük, 180 dereceden küçük şekilde geniş açı olan beta diyelim ona da.
Gördüğünüz gibi beta burada nedir tam olarak tarif edilen geniş açıdır.
Bu durumda da eğimimiz tanjant beta olacak.
Burada sola yatık bir doğru.
Yine bu da nedir?
İkinci bölgede tanjant negatif olduğu için sıfırdan küçüktür.
Yukarıda her ikisinde de alfa dedik ama bir not olduğu için o şekilde burada aşağıdaki şekilde karıştırmayın diye.
Alfa ve beta iki tane açı kullanmış oldum.
Şu şekilde bunu aklımızda kodlayabiliriz.
Sağa yatık olan, birinci şekilde gördüğünüz, sağa yatık olan doğruların eğimleri pozitif iken sola yatık olan, ikinci şekilde gördüğünüz doğruların eğimleri negatiftir arkadaşlar.
Bu da neden kaynaklanır?
Tanjantın birinci ve ikinci bölgede artı ve eksi olmasından kaynaklanır.
Yani burada eksenleri kestiğimiz nokta artı olmuş, eksi olmuş mesela.
İşte birincisine bakın şurada yarısı bunun pozitif eksi negatif gibi duruyor olsun.
Biz uzunluğa bakacağız.
Onun artısı eksisinin hiçbir önemi yok.
Sadece karşı komşu tanjantını bulduktan sonra sağa yatıksa başına artı koyacaksınız.
Sola yatıksa başına eksi koyacaksınız.
Bu şekilde eğimi bulmuş olacaksınız diyelim ve hemen yeni bir bilgiyle devam ediyoruz.
2 noktası bilinen doğrunun eğimi.
Bu ne demek?
İşte bir d doğrusu A ve B noktalarından geçiyor olsun arkadaşlar.
D doğrusunun geçtiği A noktasının koordinatları x1, y1.
Diğer taraftan B noktasının koordinatları da x, x2, y2 olsun.
Bakın bunu artık düzlemde göstermek gerekirse eğer şimdi burada d doğrusunun x ekseniyle pozitif yönlü yaptığı açıya biz teta diyelim.
Eğer tanjant tetayı bulursak bu d doğrusunun eğimini bulmuş olacağız.
Ama bu şekilde eğim yukarıdaki gibi Y eksenindeki değişim x eksenindeki değişim olarak da ifade edilebilir.
Bu ne demek hocam, neden bu şekilde ifade ediliyor hemen onu açıklayayım ben size isterseniz.
Şimdi dedim ya tanjant tetayı bulacağız.
Şu noktaya bakın tamamlayarak T noktası dersem ABT bir dik üçgen olur.
Aynı şekilde ve oradaki A köşesinde bulunan açı da yöndeş açılar olduğu için teta olur.
ABT üçgeninin dik üçgenin A köşesinde bulunan açı.
Peki o zaman tetayı daha rahat bulurum, şu an dik üçgen içerisinde nasıl bulacağım?
BT uzunluğu nedir?
Y'lerin arasındaki fark mı?
Yani koordinatların farkı y iki eksi y birdir.
Diğer taraftan AT uzunluğu da bu sefer apsisler farkı yani x2 eksi x1'dir.
Büyükten küçüğü çıkarıyorum ki ikisi de pozitif olsun.
Uzunluk bulacağım sonuçta.
Nedir o zaman bunun tanjant değeri?
Karşı bölü komşudan y2 eksi y1 bölü x2 eksi x bakın.
Gördüğünüz gibi formülü elde etmiş olduk.
Şöyle mesela çıkarırken arkadaşım şöyle deseydi hocam ben y1'den y2'yi çıkardım.
Olur hiç farketmez.
y1'den eğer siz y2 çıkardıysanız aynı sırayla apsisleri de o şekilde çıkaracaksınız.
Bu sefer de ne diyecektiniz?
Bölü x1 eksi x2 diyecektiniz.
Tabii ki bu ikisi birbirine eşit olurdu.
Yine aynı eğimi bulursunuz.
Ama burası önemli.
Yani oradan hangi sırayla çıkartırsanız aynı şekil apsisleride çıkaracaksınız.
y'deki değişim x'teki değişim bize eğimi verecek ya da gidin tanjant değerinden bulun.
Hiç fark etmez.
Sevgili gençler diyelim hemen örneğimizde geçelim.
A noktası varmış koordinatları a'ya 4, B noktası varmış, koordinatlar 4'e 6.
Bu noktalardan geçen doğrunun eğimi neymiş?
3 bölü 2.
Nasıl buluyorduk?
Hemen y'lerin farkını alıyorduk.
Ben B den A'yı çıkaracağım büyükten küçüğü çıkarayım farketmez.
Ama bu baştaki farketmez sonraki fark eder.
Aynı şekilde apsisleri de çıkaracağım.
Bu sefer 4'ten a'yı çıkarmam gerekiyor.
Y'deki değişim bölü x'teki değişim bana neyi verir?
Üç bölü iki yani eğimi verir.
Arkadaşlar 6 eksi 4 2 yapar, içler dışlar çarpımı yaparsam iki kere iki dört geldi.
3'le 4 eksi a'yı çarpıyorum 12 eksi 3a buradan 3a eşittir 8 geldi değerli gençler.
Ve a eşittir 8 bölü 3 olarak hesaplanmış olur diyelim.
Hiç vakit kaybetmeden sıradaki sorumuza geçtim.
Dik koordinat düzleminde a artı 1'e 4 ve b 3'e 5 noktalarından geçen doğrunun eğimi tanımsızdır.
Peki şimdi buna göre kaçtır diye soruyor.
Önce bir eğimi bulmaya çalışalım bakalım tanımsızmış ama biz bulmaya bir niyetlenelim.
Neydi y'lerin farkı?
Hemen beşten dördü çıkardım.
Bölü diyorum, x'leri birbirinden çıkaracağım.
Üçten a artı 1'i çıkaracağım.
Aynı sırayla çıkarıyorum.
Dikkat.
Şimdi bu eğim bana verecek bu işlemin sonucu bana eğimi verecek ama veremiyormuş.
Niye tanımsızmış?
Nasıl tanımsız olabilir yani?
Sonsuz olarak da gösterilir, ifade edilebilir.
Nasıl tanımsız olur rasyonel bir ifade?
Tabii ki payda sıfır olursa yani üç eksi a artı bir ifadesini siz sıfır eşitlerseniz eksiyi de dağıtabilirsiniz.
Ama ben eksi artı 1'i komple karşıya atayım.
Artı artı 1 olsun.
Artı 1 3'e eşitse, a'mız da 2'ye eşit olarak bulunur.
Sevgili gençler diyelim ve sıradaki sorumuza geçelim.
Yandaki şekilde verilenlere göre a kaçtır?
Şimdi ben burada bu soruyu eğim kullanarak çözmek istiyorum.
Hem de eğimi rahat rahat bulmak istiyorum.
Buradaki d doğrusu olsun.
Şurası tamam.
D doğrusunun x ekseniyle pozitif yönlü yaptığı açı alfa diyelim.
Arkadaşlar m d şu şekilde gösterilir.
Neydi bu?
d doğrusunun eğimiydi.
Nasıl buluyoruz bunu?
İşte şuradaki içini taradığım bakın küçücük taradım oradaki küçük dik üçgenine bakalım.
Karşı bölü komşuya bakacağım.
Yani üç bölü iki tanjant değeri ya bunun sonuçta alfanın tanjant alfa m d'ye eşittir.
Yani d doğrusunun eğimine eşit.
Hocam orası eksi iki ya eksi iki de anlattım biraz önce.
Karşı komşuya bakarken sadece oradaki uzunluklara bakacaksınız.
Yani o işaretlerin eğimin işaret ile hiçbir alakası yok.
Peki nasıl belirliyordu eğimin işaretini?
Doğru sağa mı yatık sola mı?
Gördüğünüz gibi bu doğru sağa yatık bir doğru.
Dolayısıyla başına 1 tane artı koyacağım.
Sola yatık olsaydı başına eksi koyacaktık.
Yani bu kadar basit.
Tamam şimdi bir de bunu şuradaki büyük dik üçgenden bulalım eğimini ve bu iki eğimi birbirine eşitleyelim.
Bakın gördüğünüz gibi karşısı bu sefer şu taraftan Y ekseninden okuyorum 0'dan 6'ya kadar.
Ya burası?
Burası 6 olmuş olur 6 bölü bu sefer komşuya bakıyorum.
2 birim solda var, sağda da a birim var.
Bura A artı 2 değerli gençler hemen şurayı sadeleştirdim 2'ye.
İçler dışlar çarpımı yaptım.
Artı 2 eşittir 4'ten a'mız 2 geldi.
Tabii bazı arkadaşlarım diyebilir hocam ne yaptınız burada benzerlik falan yapardık.
Biz geometri bilen kişileriz.
Tabii ki haklısınız.
Ben eğimi kullanmak istedim soru çözümünde.
Burada isteyen arkadaşlarım çok da güzel hatta benzerlik yapılır burada değil mi?
Neden işte hocam bakın burada 3 var işte şurası da 6.
Görmüyor musunuz?
Burada orta taban var.
Yani bu ikisi birbirine uzunluk olarak eşittir.
2 birim burası ise 2 birim burasıdır.
Dolayısı zaten a eşittir ikidir evet diyebilirler.
Yoksa işte temel benzerlik teoreminden de 2'nin tamamına şu şekilde a artı 2y 3'ün altıya oranı şeklinde de bu soru çözülebilirdi.
Bütün çözümlere saygımız sonsuz.
Dediğim gibi ben eğim kullanarak çözmeyi tercih ettim diyelim ve bu soruyla birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki ders görüşmek üzere kendinize çok iyi bakın.