Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

Sevgili arkadaşlar herkese merhabalar, Bu dersimize eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemi ile başlıyoruz.
Örneğin a, x1, y1 noktasından geçen geçtiği bir noktasını biliyorum bakın ve eğimi m olan eğimi de belli doğrunun denklemi nasıl yazılır?
Hemen burada bakın y2 eksi y1 eşittir m çarpı x2 eksi x1 olarak bu doğru denklemi bulunur.
Burada y ve x nedir?
Bilinmeyen.
Onlar o şekilde kalacaklar.
Sonuçta bir denklem yazıyoruz ve x ve y'ye bağlı olması lazım bunun.
Burada x1 ve y1'i şekilde gördüğümüz geçtiği noktadan alıp a noktasından alıp yerine yazacağız.
Y'ler birbirinden çıkarılacak.
y2 eksi y1 yani iyi y eksi y'den geçtiği nokta eşittir m yani eğimimiz çarpı x eksi x'ten geçtiği nokta.
Dediğim gibi buradaki y1 ve x1 neymiş yukarıdaki nokta.
Alıp direkt yerine yazdığımız değerlermiş.
Zaten m'yi eğim olarak ifade etmiştik.
x ve y onlar değişken yani bilinmeyen olarak kalacaklar.
Dediğim gibi peki eğimi m olan ve y eksenini n noktasında kesen doğrunun denklemi y eşittir mx artı n olarak da ifade edilebilir.
Neden?
Aslında bunu da şöyle açıklayayım isterseniz.
Bir doğru denkleminde siz eğer y'yi tek başına bırakırsanız, y yalnız kalırsa aşağıda gördüğünüz gibi x'in başında bulunan ifade o doğrunun eğimidir arkadaşlar.
Gördüğünüz gibi burada Y yalnız kalmış.
x'in katsayısı ne?
m'dir.
Dolayısıyla bu doğru eğimi m yani eğimi m ise bir doğrunun y eşittir mx tipinde mx artı k tipindedir Tamam güzel şimdi.
Y eksenini de n noktasında kesiyor.
Ne demek?
x yerine diyor 0 verirsen diyor Y ne oluyor diyor.
Bunu nasıl sağlayabilirsiniz?
Gördüğünüz gibi gerçekten burada eğer siz x yerine sıfır verirseniz y eşittir n olur işte.
Dolayısıyla y eşittir mx artı n bu demek aslında.
Bunu iki türlü de okuyabilirsiniz.
Y eşittir mx artı n tipinde bir doğru verilmiş.
Size ne dedim?
Y yalnız kalmış X'in katsayısı ne?
m.
Eğimini buldun sen bunun m'dir.
Y eksenini nerede kestiğini nasıl bulursun?
Yani Y eksenini kestiği yeri bulmak için x'e 0 veriyorsun.
x eksenini kestiği yeri bulmak için y'ye 0 veririz.
Bu şekilde çözülür sorular.
Burada x'e 0 verdiğinizde y eşittir n çıkıyor demek y eksenini n noktasında kesiyor.
Yani çift taraflı bir bilgidir bu.
2 yönünde okuyabilirsiniz.
Hemen bir basit örneğimize bakalım.
Diyor ki a eksi 2'ye 5 noktasından geçen ve eğimi 4 olan doğru denklemini bulunuz.
Ne yapacağım?
y eksi y'den geçtiği nokta yani 5 eşittir eğimimiz 4 çarpı x eksi x'den geçtiği nokta arkadaşlar burası eksi eksi 2.
Buraya dikkat şimdi.
Y eksi 5 eşittir.
Ne yaptı?
4x.
Burası artı oldu 4 kere 2 de 8 oldu.
Eksi 5'i de karşıya atarsanız Y eşittir neymiş burası?
4x artı 13 olarak bulunur.
Şimdi şıklarda bazen böyle olur, bazen hepsi bir tarafta toplanıyor.
Y'yi de karşıya atar.
4x yazayım onu.
4x eksi y artı 13 eşittir 0.
Bu da olabilir şıklarda ya da bunun eksilisi de olabilir.
Sonuçta burada hepsini eksi ile çarparsanız y eksi 4x eksi 13 eşittir 0.
Bu da doğrudur.
Hiç farketmez x yalnız bırakılabilir.
Bazı sorular, şıklar öyle yazıyor.
Hiç önemli değil hepsi doğrudur yazılımların.
Şu ortadaki ifadede yine bir yorumlamaya çalışın.
Bakın y'yi ne yapmış, yalnız bırakmış değil mi?
x'in katsayısı bana neyi verecek?
Yani 4 bana neyi verecek?
Eğimi.
Gerçekten eğimimiz 4 hatta soruyla alakası yok.
Ama onu da ben sorayım y eksenini nerede keser bu?
X yerine 0 verdim, vererek buluyoruz.
Niye?
X nerede kesiyormuş x'e sıfır verdiğimizde y 13'te kesiyormuş arkadaşlar.
Farklı bir şey daha sorayım x eksenini nerede keser?
Bu sefer y'ye 0 vereceksiniz y'ye sıfır verdiğimizde 4 x eşittir eksi 13'ten x eşittir eksi 13 bölü 4.
Bu da gördüğünüz gibi yukarıdaki y'yi kestiği yerdi.
Eksenini kestiği yerdi.
Aşağıdaki de x eksenini kestiği yer olarak bulunur diyelim.
Başka bir bilgiyle devam ediyorum.
Bu sefer iki noktası bilinen doğru denklemi için bir nokta varken ve eğim varken doğrunun denklemi nasıl yazılır.
Bunu öğrendik iki noktası var bu sefer ama eğim yok hiç farketmez ki.
Niye?
Şimdi A x1, y1 ve B x2, y2 noktalarından geçen bir doğru varsa elinde sen ne yaparsın önce?
Daha önce öğrendik ki bunu iki noktası bilinen doğrunun eğimini kullanırsın.
Ne yapacağız?
A'dan ve B'den geçtiği için nasıl buluyorduk biz bunun eğimini?
Y'lerdeki değişim y2 eksi y1 bölü x2 eksi x1 xlerdeki değişim işte.
Neyi buldum arkadaşlar?
Eğimi buldum, eğim var elimde.
Geçtiği nokta 2 tane var, hangisini istersen onu kullan.
Örneğin A'yı kullan.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemine çevirdik bakın soruyu gördüğünüz gibi.
Dolayısıyla artık denklemi yazabiliriz hemen bir basit örnek de bunun için çözelim.
Bakın eksi 2'ye 8 ve b 4'e 12 noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Doğrunun isterse 50 tane geçtiği nokta olsun bana eğim lazım.
Eğimi bulduktan sonra geçtiği noktayı da kullanarak ben denklem yazacağım.
Yani şu ana kadar öğrendiğim bilgilerle eksenleri kestiği noktası bilinen ya da özel tipteki doğruların denklemleri falan yazılır.
Ama şu ana kadar bu ders içeriğinde söylüyorum ne lazım bana?
Eğim lazım geçtiği nokta lazım.
Buyurun beraber A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.
y'deki değişim demiştim.
12'den 8'yi çıkarıyorum.
Aynı sırayla devam ediyorum.
Bakın dikkat edin B'den A'yı çıkardım.
Bu sefer apsisleri çıkarırken 4 eksi eksi 2 diyeceğim arkadaşlar.
On ikiden 8 çıktı, yukarısı 4 oldu pay kısmı.
Paydadayım 4 eksi eksi 2 burası artı oldu.
O da 6'dır artı oldu o da altıdır.
Kelimeler birbirine benziyor.
Karıştırmayalım.
4 bölü 6 ne oldu 2 bölü 3 eğimi buldum.
Geçtiği nokta ister a'yı kullan ister b'yi diyorum.
Bazı arkadaşlar diyor ki hocam x olarak eksi iki alayım y olarak 12'yi alayım.
Böyle bir şey olur mu?
Tabii ki olmaz.
Mesela A noktasını seçersem bitti y eksi y'den geçtiği nokta olarak 8'i kullanacaksın.
Eşittir eğimimiz.
Yani iki bölü üç çarpı x eksi x'den geçtiği noktalar.
Bu sefer eksi ikiyi kullanacağım yani A noktasında karar verdiysem hem apsisini hem ordinatını oradan seçeceğim.
eksi eksi ne olur burası?
Artı 2 olur bu şekilde yazılabilir, düzenleyebilirsiniz, bu şekilde de bırakabilirsiniz.
İçler dışlar çarpımı yapayım ne olur?
3y eksi 24 eşittir 2x artı 4 oldu arkadaşlar.
Eksi 24'ü karşıya atalım mesela.
2x ne olur?
Eksi eksi orası artı oldu 28 oldu bir de 3y gelsin eksi 3y eşittir 0.
Şıklarda da bu olur bunun eksisi olur y'nin yalnız bırakılmış hali olur.
Hiç farketmez dediğim gibi.
O artık sorunun soruluşuna göre sizin nasıl cevap verdiğinizi bağlı.
Diyelim şöyle bir bilgi var.
Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğrunun denklemi nasıl yazılır?
Gördüğünüz gibi şekildeki d doğrusu x eksenini a noktasında, y ekseni de b noktasında kesmiş.
Tamam, bu doğrunun denklemini yazarken şu formülü kullanıyorum.
x bölü x'i kestiği nokta artı y bölü y'yi kestiği nokta eşittir bir.
Buna dikkat x nerede kesmişti?
A noktasında.
X bölü a artı y'yi nerede kesti, B'de.
Y, B eşittir bir de bu.
Şimdi burada negatif yerlerde keserse buna dikkat.
Mesela şöyle bir örneği hemen yazayım mı altına?
Burada mesela şurası x ekseni olsun, burası y ekseni olsun.
x'i gördüğünüz gibi eksi 2 de, y'yi de eksi 1'de kesti.
Her ikisi de negatif tarafta.
O zaman bunun denklemini yazarken ne yapacağım, x'i eksi 2'de kesti.
x Böyle eksi iki artı y bölü eksi 1 eşittir 1 bu şekilde yazacaksınız.
Yani burada işaret de önemli.
Hani orada biz eğim bulurken orası uzunluktur.
Karşı bölü komşuya bakarken hep pozitif alacağız işte.
Sağa yatıksa başına artı sola yatıksa eksi koyacağız diyorduk.
Burada öyle değil.
Burada ekseni kestiği noktanın işareti de önemli.
Tamam mı?
Bu şekilde yazacağız.
Bakalım hemen bunda basit bir örneği var.
Şekildeki d doğrusunun denklemini bulunuz demiş.
Çok kolay ne yapacağım?
Zaten bunu da eksilerden seçmiş.
Bakın x bölü x'i kestiği yer eksi 4 artı yerine y bölü eksi 2'de kesmiş eşittir bir.
İşte siz burada ne yaparsınız?
x'lerden de kurtulmak için hem de paylardan, bölümlerden kurtulmak için her taraf eksi dört ile çarpayım Burası ne olur?
X olur.
Eksi 4 ile çarptım.
Eksisi artı oldu.
Dördü de ikiye böldü.
Artı 2y eşittir eksi 4.
Eksi dördü bu tarafa aldım.
Artı dört eşittir sıfır.
Bakın çok muhteşem bir şekilde yazdık değil mi?
Siz isterseniz doğru geçtiği bir noktası ve eğimi bilinen doğru denkleminde kullanabilirsiniz.
Bunu nasıl kullanacağım hocam diyeceksiniz değil mi?
Şöyle bak şimdi burada eğim açısı şu şekilde gösterilir aslında burada alfadır.
Geniş açıdır değil mi zaten?
Sola yatık olduğu için eğimin negatif olduğunu biliyorum.
Şimdi eğim yazayım başına eksilisini de koyun sola yatık olduğunu gördüm.
Ya şimdi alfayı değil de şuradaki 180'e tamamlayın şu parçayı alayım ben.
Karşı bölü komşusuna bu şekilde bakalım eğimi okurken.
Karşıda ne var?
Iki birimlik bir uzunluk var, komşuları var, 4 birimlik bir uzunluk var 2 bölü 4.
Orada işaretlerin önemi yoktu ama başındaki eksi sola yatık olduğu için olmuş zaten x eksenine pozitif yönünü yaptığı açı yani alfa açısı.
Eğim açısı nedir?
Geniş açıdır.
90 dereceden büyük, 180 dereceden küçük ikinci bölgede olduğu için tanjantın eksi olması kaynaklıdır diye bunlar açıklamıştı zaten.
Eğimi eksi bir bölü iki geldi İkinci yol aslında şu yaptıklarım var ya eğim belli.
Şunu ayırayım şöyle geçtiği nokta olarak hocam bu sefer ne seçeceğiz?
İstediğinizi seçin.
Mesela x'in eksi 4 olduğu noktadan geçmiş ki bu eksi dörde y nedir, sıfırdır, isterseniz bunu seçin.
A noktası ben bir tane daha nokta göstereyim size.
Burada B noktası da var.
Bu sefer y'miz eksi iki o zaman x'imiz sıfırdır.
Y ekseninin orada kestiği için.
İster A, ister B'yi kullanın.
Mesele A'yı kullanarak yazayım.
Y eksi 0.
Y neye eşittir diyorum.
Eğim a'yı kullanarak yazıyorum.
Yıldız attım altına.
Eğimimiz ne?
Eksi 1 bölü 2.
Çarpımın da x eksi x'ten geçtiği yer eksi eksiden artı olur.
x artı 4.
İçler dışlar çarpımı yaparsınız.
Gördüğünüz gibi aynısı gelecektir.
2y geliyor eksi x'i bu tarafa atalım artı x.
Eksi 4'ü bu tarafa attım artı 4.
Yukarıdaki de aynısı.
İstediğiniz yöntemi kullanabilirsiniz diyelim.
Bu örneğimizle birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.