Dönme Dönüşümü

Merhaba sevgili arkadaşlar, öteleme dönüşümünden sonra sırada dönme dönüşümüyle dönüşümler konusuna devam ediyoruz.
Düzlemde bir noktayı bir merkez etrafında belirlenen bir açı ile yeni bir noktaya çevirme işlemine dönme dönüşümü diyoruz arkadaşlar.
A(p,q) noktasının orijin etrafında pozitif yönde alfa açısı kadar dönmesiyle elde edilen noktayı bu şekilde bulacağız.
Bu formüle ezberleyeceğiz mi diyebilirsiniz.
Çok sıkıntı bir formül gibi duruyor belki ama çok da zor değil.
Bakın (p,q) noktası önce kosinüs sinüs diye yazıyoruz.
Arada eksi var.
Kosinüsü önce kullandığınızda araya eksi koyuyorsunuz.
Sinüsü önce kullandığınızda arada artı olacak, birine sinüs ve sinüs olacak kesin.
Neymiş?
Kosinüs önde olduğunda arada eksi, sinüs önde olduğunda arada artı kullanacakmışız sırasıyla (p,q) noktalarını kullanacağız.
Zaten her soruda bu formülü kullanmamız gerekmeyecek.
Mesela böyle sabit bildiğimiz açılarla 90, 180, 270 derecelik açılarla çevirmemizi istiyorsa bizden o zaman buna gerek kalmayacak çok fazla benzerlik ile de yapılabilir onlar.
Ama derse ki 45 derece 30 derece çevirin, o zaman bunlara ihtiyaç olacak, bu daha bu formülle kullanmak daha kolay olacak öyle sorduğunda.
Evet altında şeklimizi verdik A noktası arkadaşlar (p,q) noktasıydı alfa derece pozitif yönde çevirdiğinizde A üssü noktası bu şekilde oluşuyor.
O formülü kullanarak yeni noktanın koordinatlarını böyle bulabiliyoruz.
Şimdi 90 180, 270, 360 derece çevirdiğimizde neler olacakmış?
A noktasını orijin etrafında buna dikkat edin.
Pozitif yönde olması lazım.
Pozitif yönde 90 derece çevirirse arkadaşlar.
Hatta şöyle aklınızda kalsın.
90 ve 270 derece çevirdiğimizde yani 90'ın tek katlarında çevirdiğimizde bir katı 3 katı tek katlarında çevirdiğimizde koordinatlar bir kere bir yer değiştirecek bakın.
X ile Y yer değiştirecek.
90 derece olduğunda apsise eksi koyuyoruz.
270 derece olduğunda ordinatın olduğu tarafa eksi koyuyoruz.
Yani illa ezberleyeceksek bu şeyler aklınızda kalsın diye söylüyorum.
Ezberlemeden yapılışını da anlatacağım şimdi.
Neymiş 90'ın tek katlarında 90 270 yani Y ekseni gibi düşünün 90 derece, 270 derece 90'ın tek katlarında çevirdiğimizde neymiş bunlar bir kere yer değiştirecekmiş.
90 derece olduğunda apsisin işaretini değiştireceğim.
270 olduğunda da ordinatın işaretini değiştireceğim.
180 ve 360 derece olduğunda 180'de ikisinin de işareti değiştir.
Yer değişmeden 360 olduğunda zaten 360 döndüğünüzde aynı yere gelirsiniz değil mi?
Koordinatları aynı kalır 360 olduğunda.
Şimdi formül ezberlemeden de nasıl olduğunu anlatacağım.
(4,6) orijin etrafında saat yönünün tersinde saat yönünün tersi ne demek pozitif yön demek değil mi?
Pozitif yön diye belirtmez saat yönünün tersi der.
Saat yönünün tersi pozitif yönüdür.
Pozitif yönde 90 derece dönmesiyle oluşan noktanın koordinatlarını bulunuz.
Bir kere üstte verilen formülümüze göre yaparsak cevabı direkt söylüyoruz orada bakın.
A üssü ne yapacakmışız bunları bir yer değiştireceğiz.
6 ve 4, 90 derece olduğuna tek kat bakın.
90 derece olduğunda yer değiştirdim.
Sonra ne yapacak mıyım?
Apsisin işaretini eksi yapacağım.
Cevabımız direkt budur deyip kurtulabiliriz.
Şimdi karıştırdınız.
Eksiyi nereye koyacağım?
Yer değiştirmem gerekiyor muydu?
Çünkü birbirine çok benziyorlar.
Eğer karıştırdıysanız.
Hemen çizelim.
Neydi noktamız dörde altı noktasıydı.
Bu nokta şurda bir yerde.
Ben bunu bir orijin ile birleştirelim.
Orijinle birleştirdim ve bunu 90 derece çevirdiğinizde arkadaşlar şöyle bir kabataslak çizelim.
90 derece çevirdim ve oluşan bakın şunu da uzatalım, şöyle bir dik üçgen var burada.
Bir de burada dik üçgen var.
Bunlara diklerini de koydum.
Bakın benzerlik ile çözeceğim soruyu.
Burası 4 birim.
Burası 6 birim di mi?
Ben buraya A açısı, buraya B açısı dersem A, A+B 90'dır.
Bu B açısı.
Burası 90 ise o zaman buraya A kalır mı?
A+B 90'dı çünkü bu A ise imleci görüyorsunuz.
Bu A ise bu 90 ise o yüzden burası da B açısı olur.
Şimdi siz bu noktayı böyle çevirdiniz.
Yani şu uzunluğa dokunmadınız uzatıp kısaltmadınız bu noktaydı değil mi?
O yüzdenhipotenüsleri aynı yani bu üçgenler, eş üçgenlerdir arkadaşlar.
Yani sağdaki üçgende A'nın karşısında 4 varsa soldakinde de A'nın karşısında 4 olmalı.
Sağdakinde B'nin karşısına altı varsa soldakinde de B'nin karşısında 6 olmalı.
Evet noktamız hazır.
Şimdi bu noktanın koordinatları ne?
Bakın orijinin 6 birim solunda yani apsisi -6'dır.
Ordinatı da bakın burası da 4.
Ve noktamız (-6,4) olarak buluruz.
Dediğim gibi 90 180, 270'lerde ezberledi iseniz hemen cevabı söyleyebiliyoruz.
Unuttuk, karıştırdık, garanti olsun istiyorsanız o zaman bu şekilde benzerlik ile de yapabilirsiniz arkadaşlar eşlik ile diyelim hatta iki tane eş üçgen çıkacak burada.
Evet A(2√2,-4) noktası pozitif yönde 45 derece döndürüldüğünde dedi.
Bakın 45 derece dediyse formüle girelim.
Neydi formülümüz yeni noktamız a alfa derseniz alfa.
Bunlara da X ve Y diyelim.
Alfa derece döndürdüğümüzde bakın, X ve Y'yi yazıyoruz ve kosinüs sinüs koydum buna kosinüs kullandığında araya eksi koyuyordun.
Virgül x ve y'yi yazıyoruz.
Buraya da sin cos sin alfa sinüs kullandım artı kosinüs.
Evet formülümüz buydu.
O zaman 2√2'ye, A alfa, alfa 45 derece.(2√2,-4) için yazalım,x'imiz 2√2 evet cos45 kaç.
Eğer onları da zaten uğraştıkça aklınızda kalıyor da.
45 Burası bir bir diyelim burası √2 birim oluyordu 45'in kalıbında.
sin45 karşı bölü hipotenüsten 1/√2. cos45 komşu bölü hipotenüsten o da 1/√2'dir.
Şimdi yerine yazalım onları cos45 ne yaptı arkadaşlar?
√2, 1/√2 yazayım eksi y'miz -4.
O zaman burası artı oldu iki tane eksi birleşti.
4 sin45.
O da 1/√2 idi virgül x'imiz 2√2, sin45 o da 1/√2 idi.
Artı bu sefer -4 diye yazayım.
-4 çarpı 1/√2.
Evet, son hali bu işlemleri yaptığınızda bitiyor işiniz.
Burada kök ikileri sadeleştirdim 2 kaldı.
4'ü √2'ye bölerseniz arkadaşlar 4'√2 napıyorduk paydada kök olduğunda eşlenik ile çarptınız.
4√2/2=2√2.