%71 Dev İndirimde Son Gün 19 Mayıs! 2025 paketlerinde fiyat artışından etkilenmemek için bugün paketini al.

Noktanın Doğrulara Göre Simetrisi

Merhaba sevgili arkadaşlar, simetri dönüşümüyle konumuza devam ediyoruz.
Noktanın x eşittir a ve y eşittir b doğrularına göre simetriklerini inceleyeceğiz.
x eşittir a doğrusu nedir?
x eksenine dik olan x eksenine a noktasında dik olan burası x eşittir a doğrusu bu şekildedir.
Şurası dik arkadaşlar biz de apsisi x, ordinatı y olan bir A noktası seçelim.
Evet, a noktamız da bu.
Bunun simetriği için x eşittir a'nın sağında bizim noktamız.
Aynı şekilde şu uzunluk eşit olacak şekilde simetriği olan a üssü noktası da burada olmalıdır.
Şimdi biz imlece bakın şuranın x birim olduğunu biliyoruz ve şu kısmın da a birim olduğunu biliyoruz.
O halde burası x eksi a birimdir ki burası da x eksi a birim olur o halde.
Tamamı da x birimdeki o zaman x'ten şu ikisini yani x eksi a ve x eksi a'yı 2x eksi 2a'yı çıkartırsam arkadaşlar eksiyi dağıtın içeriye 2a eksi x olur.
Neresi 2a eksi x?
Burası 2a eksi x birim olmalıdır.
Yani a üssü noktamızın koordinatları 2a eksi x apsisimiz, ordinatımız değişmedi.
Aynı şekilde y eşittir b doğrusunu çizelim.
Y eşittir b doğrusu şurasıb.
y'yi dik kesen doğrumuzdur.
Apsisi ve ordinatı yine bir nokta seçeceğim apsisi x, ordinatı y olan bir A noktası aldım.
Bu noktanın simetriği bakın şu uzunlukla şöyle asimetrik bu uzunluk burada olacak şekilde A üssü noktamız da buradadır.
Yandakinin aynısını yapacağım.
Burası y eksi b birim.
Aynı şekilde burası da y eksi b birimdir.
O zaman tamamının y olduğunu biliyoruz.
Biz y den 2y eksi 2b'yi çıkardığınızda eksiyi dağıtın oraya 2b eksi y elde ederim.
O zaman burası 2b eksi y'dir.
Yani A üssü noktamızın koordinatları.
Bu sefer apsis değişmez.
Ordinatı da 2b eksi y olur arkadaşlar.
Evet bu şekilde noktanın bu doğrulara göre simetriğini buluyormuşuz.
Burada formüller hangisine iki koyacaktım, hangisinde x arada eksi mi vardı, artı mı vardı bu karışması çok normal.
Birkaç hafta geçtiğinde unutabilirsiniz.
O yüzden bu formüle girmeden bakın sadece simetri alarak.
Örneğimizi çözelim, örnekte daha net anlayacağız, formülü bilmeden de çözebiliyormuşuz.
Apsisi 2, ordinatı eksi 5 olan bir A noktamız var.
Bu A noktasının y eşittir eksi 2'ye göre y eşittir eksi 2 y'yi eksi 2'de kesen ve y eksenine dik olan doğrudur.
Bizim A noktamız y eşittir eksi 2'nin ne kadar altında?
Üç birim altında.
O zaman biz simetriğini alırken 3 birim üste çıkarız.
Yani A üssü noktası buradadır.
Üç birim üste çıktığınız için eksi 1'den 3 birim yukarı çıkın.
Burası 1 olur, eksi 2'den üç birim yukarı çıkın.
Orası bir olur.
Yani koordinatlarımız ikiye birdir arkadaşlar.
A üssü dediğim hatta burası A üssü değil B olarak söylemiş.
Burası B noktasıdır.
Şöyle buraya B noktası diyelim.
Şimdi B noktasını da x eşittir eksi 1'e göre x eşittir eksi bir de nedir?
x'i eksi birde kesen ve dik olan doğrudur.
B noktamız x eşittir eksi birin ne kadar sağında?
Üç birim sağında bakın eksi 1'den 2'ye kadar.
O zaman simetriğini alırken biz de 3 birim sola gideceğiz sadece.
Üç birim sola gittiğinde eksi 4 yani C noktamız eksi dörde bir noktasıdır.
Şimdi ABC üçgeni.
Şöyle bir üçgen oluşturdum.
Bu üçgende bakın A'dan B'ye giderken ordinata bakın eksi 5'ti.
B'nin ordinatı 1 oldu değil mi?
O zaman 6 birim şöyle şuraya çizelim burası 6 birimmiş arkadaşlar.
B, A, C diyelim ve BC uzunluğu apsislere bakın.
B'nin apsisi 2, C'nin apsisi eksi 4, yani 2'den eksi dörde.
Burası da 6 birimdir.
O halde ve buranın dik olduğunu biliyoruz.
Dik koordinat sistemindeyiz.
Burası dik ise ABC üçgeninin alanı, taban çarpı yükseklik bölü iki derseniz yani 6 çarpı 6 bölü 2'den alanımız 18 birim karedir arkadaşlar.
Şimdi noktanın doğruya göre simetriğini inceleyeceğiz.
Burada birkaç analitik bilgisi lazım.
Ben lazım olanları şuraya yazıyorum.
Şimdi Y eşittir mx artı n şeklinde verilen bir doğruda eğimimiz x'in katsayısıdır.
Yani eğim m'dir.
Eğer ax artı by artı c eşittir 0 derseniz doğruya eğimimiz eksi a bölü b'dir.
Eğimler bu şekilde bulunuyormuş doğru verildiğinde ve iki doğru birbirine dikse eğimler çarpımı eksi birdir arkadaşlar iki doğru birbirine dik olduğunda eğimler çarpma eksi birdir.
Bir de iki tane doğru verdi size kesim noktasını bulun dedi.
Bunları ortak çözerek kesim noktasını buluruz.
Ortak çözmek ne demek?
İki bilinmeyenli denklem gibi bu denklemlerde x ve y'yi buluyoruz arkadaşlar.
Bunları neden söyledim şimdi?
A noktasının bu doğruya göre simetriği A üssü noktası ise bunlar birbirine eşittir.
Yani şurada bir mavi nokta koyalım.
Bu nokta kesiştikleri nokta.
Bu nokta A ve A üssü noktalarının orta noktasıdır arkadaşlar.
Eğer ben bu orta noktanın koordinatlarını bulursam A üssünü bulurum.
Orta noktayı kullanarak.
Peki bu mavi noktayı nasıl bulacağım?
İşte bu denklemi belli ax artı by eşittir sıfır verildi.
Biz de A üssü doğrusunun yani şu sarı kesik çizgiyle kestiğim doğrunun denklemini bulursak birbiriyle ortak çözeriz.
x ve y'yi bulur orta noktayı elde ederiz.
Çünkü bunlar dik.
Evet orta noktayı bulduktan sonra da simetri buluyormuş.
Şimdi bu anlattıklarım biraz havada kalmış olabilir.
Çok şeyden bahsettim, örneğimizi inceleyelim.
Şu hatırladığımız şeyleri de unutmayalım.
Altındaki örnekte doğrumuzu verdi bize, x artı 3y eksi 15, doğrusu.
x artı 3y eksi on beş eşittir sıfır doğrusu.
Noktamız bire eksi iki noktası.
Bunun simetriği tam karşısındadır arkadaşlar.
Yani şurası dik olmalıdır.
Bu da A üssü simetrimiz olsun.
Bu uzunlukları da birbirine eşit.
Ne demiştik?
Biz şu noktayı bulmamız gerekiyor.
O nokta da bu verilen doğru ile A üssünden geçen doğrunun kesiştiği noktadır arkadaşlar ve bize verilen doğrunun eğimi nedir?
eksi a bölü b'den eğimimiz eksi bir bölü 3.
Bunun eğimi eksi bir bölü 3 ise benim aradığım doğrunun eğimi 3 olmalıdır.
Çünkü birbirine dik doğrular çarpımları eğimleri çarpımı eksi 1 olur.
Eksi 1 bölü 3'le neyi çarparsanız eksi birdir?
3'ü çarpmalısınız.
Evet a üssün eğimini de buldum.
Geçtiği bir nokta da belli.
Geçtiği nokta a x1 y1 olan ve eğimi m olan doğurun denklemi neydi?
y eksi y1 eşittir eğim çarpı x eksi x1 di.
Yani benim aradığım doğrunun denklemini buluyorum nihayet.
y eksi eksi iki yani y artı iki eşittir eğimimiz üç çarpı x eksi x1.
O zaman denklemin y artı iki eşittir üç x eksi üç.
Son haliyle yazalım 3x eksi y eşittir 5'tir.
Aradığım doğrunun denklemi.
Bize verilen doğrunun denklemi de x artı 3y eşittir 15 şeklinde yazalım arkadaşlar ve bunları ortak çözüyorum.
Ortak çözmek ne demek?
İki bilinmeyenli denklem gibi birini yok edip diğerini bulacağım.
x artı 3y eşittir 15'i de yazdım.
N'apalım birinciyi 3'le çarpalım ki y'lerden kurtulalım.
Hemen yazıyorum 9x eksi 3y eşittir 15.
x artı 3y eşittir 15.
Toplarsam 3y'lerden kurtuldum.
10x eşittir 30 olur ve x'in üç olduğunu bulurum.
Herhangi birinde üçü yerine yazalım.
Üç artı 3y eşittir on beş ise 3y eşittir üçü sağ tarafa attım 12 .
Buradan da y'nin 4 olduğunu buldum.
Yani bizim aradığımız şu nokta üç dört noktası imiş arkadaşlar ve bu nokta a ve a üssünün orta noktası değil mi?
Yani A üssüne de ne diyelim artık?
Buna da a, b derseniz a artı bir orta noktayı kullanıyorum bölü iki bize orta noktanın apsisini yani üçü verecek a artı bir 6'dır.
a Buradan 5 dir arkadaşlar.
Ordinatı için ordinatları toplayıp ikiye bölelim b eksi iki bölü iki eşittir 4 ise b eksi 2 eşittir 8'dir.
b de de buradan on olur.
Evet yani simetriği olan a üssü noktamızın koordinatları 5'e 10 yapmalıymış arkadaşlar.
Biraz uzun oldu ama her şeyden bahsetmiş olduk.

Sıkça Sorulan Sorular

 

Noktanın x = a doğrusuna göre simetriği nasıl alınır?

 

Noktanın x = a doğrusuna göre simetriği alınırken yeni noktanın ordinatı değişmez. Simetriğini alacağımız noktanın doğrudan geçen orta noktaya x - a kadar uzaklıkta olduğunu görürüz.

Simetrik olması için doğrudan noktalara çizilen uzaklıkların eşit olmasını istiyorduk. O halde x - a kadar daha gitmemiz gerekir.

x - a + x - a = 2x - 2a kadar mesafe oldu.

İlk noktanın apsisinden bu mesafeyi çıkardığımızda simetriği alınmış noktanın apsisine ulaşırız.

x - (2x - 2a) = 2a - x

A(x, y) noktasının x = a doğrusuna göre simetriği → (2a - x , y)


Noktanın y = b doğrusuna göre simetriği nasıl alınır?

 

Noktanın y = b doğrusuna göre simetriği alınırken yeni noktanın apsisi değişmez. Simetriğini alacağımız noktanın doğrudan geçen orta noktaya y - b kadar uzaklıkta olduğunu görürüz. Simetrik olması için doğrudan noktalara çizilen uzaklıkların eşit olmasını istiyorduk. O halde y - b kadar daha gitmemiz gerekir.

y - b + y - b = 2y - 2b kadar mesafe oldu. İlk noktanın apsisinden bu mesafeyi çıkardığımızda simetriği alınmış noktanın ordinatına ulaşırız.

y - (2y - 2b) = 2b - y

A(x, y) noktasının y = b doğrusuna göre simetriği → (x, 2b - y)


Noktanın herhangi bir doğruya göre simetriği nasıl alınır?

 

İlk önce d doğrusunun eğimi bulunur. Simetriği alınacak nokta ile simetrisinden geçen bir doğru çizilerek (AB doğrusu) doğru eğimlerinin çarpımının -1 olduğu yazılır, çizdiğimiz doğrunun eğimi bulunur.

Simetri noktasının koordinatlarını bulmak için AB doğrusunun denklemi eğim ve bilinen bir nokta yardımıyla yazılır.

AB ve d doğrularının denklemi birbirlerine eşitlenir ve kesişim noktaları olan orta nokta (P noktası) bulunur.

Orta noktanın yardımıyla simetri alınır.