Tam Küp Özdeşliği

Merhaba arkadaşlar, şimdi ise yine özellikle devam edelim.
İki küp toplamı ve farkı özdeşliği.
a küp artı b küp eşittir a artı 5 çarpı a kare eksi ab artı b kare.
a küp eksi b küp eşittir a eksi b çarpı a kare artı ab artı b kare.
Verilen bu küp özdeşliğini iyice oturtmak için aşağıdaki sorulara bakalım.
A küp artı 8 demiş.
Düzenleyelim a küp artı sekizi.
2'nin küpü şeklinde düzenleyelim işte burada artık a'sı a, b'si 2 olmuş oluyor.
O halde artı ise artıyla başlıyoruz.
A artı 2 çarpı.
a kare.
Birincinin karesi eksi birinciyle ikincinin çarpımı yani iki a artı ikincinin karesi 2'nin karesi 4.
Devam edelim.
Burada x küp eksi sekizi de düzenleyelim 2y'nin küpü şeklinde yazalım.
Yani x eksi 2y, eksi ise eksi ile başlıyoruz.
Buna dikkat edelim.
Sonra geri kalanın tamamen artı olacak.
Yani birincinin karesi birinci dediğim ne?
x.
X kare artı birinci ile ikincinin çarpımı yani 2xy artı ikincinin karesi yani 2y'nin karesi 4y kare.
C şıkkına bakalım şimdi burada yine düzenleyelim.
64 nedir?
Dördün küpüdür.
27 nedir?
Üçün küpüdür.
3z'nin küpü şeklinde yazabiliriz.
O halde artı ise artı ile başlıyoruz.
Dört artı 3z.
Çarpı birincisi Nedir?
4.
Dördün karesi.
On altı.
Sonra ne var burada?
Eksi var.
Eksiye dikkat edelim.
Birinci ve ikincinin çarpımı dört kere üç on iki z artı ikincinin karesi 3z'nin karesi 9z kare.
İşte verilen ifadeleri açmış olduk.
Örnek.
x'im eksi 1'den farklı, x kare eksi x artı 1 eşittir sıfır olduğuna göre x üzeri 2027 ifadesinin X cinsinden eşiti nedir?
Şimdi verilen ifadede x kare eksi x artı bir eşittir sıfır da burada x üzeri 2027 yakalayabilmek için burada her tarafı ben x artı 1 ile çarpmam gerekiyor.
Burada da x artı 1 ile çarptık.
Peki karşıma artık ne gelmiş oldu?
x küp artı bir gelmiş oldu.
x küp artı 1 neye eşit?
Sıfıra.
Karşıya attık.
X küp neye eşit olmuş oldu buradan?
Eksi bire.
Peki artık burada x üzeri 2027'yi x küp cinsinden yazacak olursam x üzere 2027 neye eşit?
Şimdi 2027'nin içerisinde 3 aramam lazım.
En yakın üçün katı nedir?
2025 dir.
Çarpı geriye ne kaldı?
x kare kalmış oldu.
2025'i üçe bölecek olursam burada ilk küp üzeri 675 gelmiş oluyor, 675 ile 3'ü çarparsam 2025 gelir çarpı x kare.
X küp gördüğüm yere ne yazacağım?
Eksi 1 yazacağım.
Eksi 1 üzeri 675 çarpı x kareden artık cevabımız eksi x kare gelmiş oldu.
Şimdi x üzeri 2027'yi bu sefer x kare cinsinden yazdım.
Bana X cinsinden soruyor.
Burada ne demiş?
x artı bir ifadesi veya x kare eksi x artı 1'in ifadesi 0 olması gerekiyorsa burada eksi 1'den nedir?
Farklıdır.
O halde burası nedir?
Sıfır olamaz.
O halde burası sıfırdır.
Yani x kare eksi x artı bir ifadesi sıfıra eşit.
Şimdi eksi x kareyi yakalayabilmek için karşıya atacak olursak eksi x artı bir neye eşit olmuş oldu?
Eksi x kare.
İşte artık buradan cevabımız çıkmış oluyor.
Yani eksi x kare neye eşit?
Eksi x artı bire eşit olmuş oluyor.
Şimdi ise yeni özdeşlikle devam edelim.
Tam küp özdeşliği.
a artı b'nin küpünün açılımı a küp artı 3a kare b artı 3 a b kare artı b küp.
Tabii bunu biz bunu şu şekilde de ifade edebiliriz.
A küp artı b küp artı buradan 3ab parantezin alacak olursam cevabımız buradan a artı b gelmiş oldu, işte bu ifade de yine düzenlenmiş halidir.
Şimdi devam edelim.
a eksi b'nin küpünün açılımını vermiş burada.
a küp eksi 3 a kare b artı 3 a b kare eksi b küp.
Burada da a küp eksi b küpü bir arada yazacak olursak eksi üç ab parantezine alacak olursak buradan da a eksi b gelmiş oluyor.
Şimdi ise aşağıdaki maddeleri küp cinsinden yazalım.
A küp 2x'in küpü 8 x küp eksi, eksi ile başlıyorum.
Üç çarpı a kare, 2x'in karesi 4x kare çarpı bir artı, üç çarpı iki x çarpı birin karesi bir eksi buradan birin küpü bir gelmiş oldu.
Şöyle en sade halini yazalım.
8x küp eksi 12x kare artı 6x eksi bir gelmiş oluyor.
Şimdi b şıkkına bakalım.
Yine buradan a küp artık artı var burada.
3 çarpı şuradaki formülü uyguluyoruz.
3 a kare çarpı 1 bölü a yani b yerine yazıyorum.
Artı 3 çarpı a çarpı bu sefer bir bölü a'nın karesi, bir bölü a kare artı 1 bölü a küp.
Peki buradan düzenleyecek olursak a küp buradan şöyle sadeleştirelim artı 3a artı 3 bölü buradan da a gelmiş oldu artı 1 bölü küp gelmiş oluyor verilen ifade.
Örnek.
A eşittir küp kök 5 artı 1 için a küp eksi 3 a kare artı 3a eksi 7 ifadesinin değerini hesaplayın.
Şimdi burada tam küp açılımını bulabilmek için önce düzenleyelim.
A küp eksi 3 a kare artı 3 a eksi 7 ifadesini şu şekilde yazabiliriz.
A küp eksi 3 a kare artı 3 a eksi 1 şeklinde yazacak olursam eksi 7'ye tamamlamak için buraya eksi 6'yı ekleyelim.
Peki bu ifade artık neyin açılımı olmuş oldu?
A eksi 1 küpünün açılımı olmuş oldu.
Peki devam edelim artık buradan toparlayacak olursak a eksi 1'in küpü eksi 6 gelmiş oldu.
Şimdi burada artık a ifadesi gördüğüm yere ne yazacağım?
Küp kök 5 artı bir yanında bir de ne var?
Eksi bir var.
En dışta da ne var?
Küp var.
Eksi 6 gelmiş oldu.
Eksi 1 artı 1 birbirini götürdü.
Küpler de aynı şekilde kökün derecesini aldı götürdü.
Geriye 5 kalmış oldu.
5 yanında da eksi 6 var.
Buradan cevabımız bizim eksi bir gelmiş oluyor.