Noktanın Simetrisi

Merhaba arkadaşlar, dönüşümler videolarımıza simetri dönüşümü ile devam ediyoruz, ilk olarak noktanın noktaya göre simetriğni inceleyeceğiz.
A noktasının B noktasına göre simetriği A üssü noktası ise bakın bu uzunluklar aynıdır di mi?
O halde B noktası A ve A üssü noktalarının orta noktasıdır arkadaşlar.
Orta nokta nasıl bulunur?
Apsisler toplanıp ikiye bölündüğünde orta noktasının apsisini verecek ordinatlar toplanıp ikiye bölündüğünde orta noktanın ordinatını verecek.
Burada B bir ayna görevi gördüğü için AB uzunluğuyla A üssü, B uzunluğu eşittir.
Bu yüzden B orta noktadır arkadaşlar.
Örneğimizi inceleyelim.
A(2,3) noktası, B(-1,1) noktasına göre simetriği C noktası olsun (A,B) diyelim koordinatlarını.
O halde şu uzunlukları AB uzunluğuyla BC uzunluğu aynı olmalıdır değil mi ?
B orta noktadır.
Orta noktadan apsisler toplamı 2+a bölü 2 -1'e eşit içler dışlar yaptığınızda  2+a eşittir -2 iki diğer tarafa attınız.
a=-4'tür arkadaşlar.
Ordinatlara bakalım.
3+b bölü 2 1'e eşit olacaksa içler dışlar yaptığınızda b+3 2'dir üçü diğer tarafa eksi 3 olarak attığınızda b eksi birdir.
Yani simetriği olan C noktamızın koordinatları (-4,-1) arkadaşlar.
Evet, şimdi yeni bir tanım vereceğiz.
Özel doğrular ve orijine göre simetri, özel doğrulardan kastım X ve Y eksenleri, y=x doğrusu, y=-x doğrusu ve bir de orijine göre simetri inceleyeceğiz.
A koordinatları a b olan bir A noktası verelim koordinatları a, b X'e göre X eksenine göre simetriğini aldığınızda buradaki X ayna görevi görecek.
Yani aynı uzaklıkta noktamız aşağıya inecek.
Arkadaşlar koordinatları ne olur?
Şöyle A üssü diyelim buna a'ya -b olur.
Yani X'e göre simetri aldığımızda apsis değişmeyecekmiş.
Ordinat işaret değiştirecekmiş arkadaşlar.
Bunu ezberlemeyelim de kendimiz zaten bir iki tane yaptığımızda burada simetriğinii aldın, karşı tarafa geçirdin, işaret değiştirdiğini görüyoruz.
Şimdi Y eksenine göre alırsak a,b noktasının.
Biraz daha yakına alalım şu A'yı a.b noktasının Y eksenine göre simetriğini almamı istiyorsa koordinatları a,b olan A noktası Y ekseni bu sefer ayna görevini görecek, o zaman simetriğimiz buradadır değil mi?
Bakın bu seferde ordinat değişmedi A' noktasının koordinatları eksi a'ya b olur.
Arkadaşlar şurası da -a.
Çünkü bu uzunlukları eşit olmalıdır.
Bu X eksenine göre simetriği neymiş ordinat işaret değiştiriyormuş.
Burada Y eksenine göre simetri, burada da apsis işaret değiştiriyormuş ve orijine göre simetri aldığınızda a,b koordinatları A noktamızın.
Şöyle a,b diyelim orijine göre 0,0'a göre simetriğini aldığınızda şu uzunluklar eşit olmalıdır arkadaşlar.
Bu da bu seferde orijin orta nokta gibi düşünün.
Koordinatları ne olmalı?
A üssü noktasının koordinatları eksi a'ya eksi b olmalı.
Bakın şurası eksi a çünkü bu uzunlukta bu uzunluk aynı olmalı.
Burası eksi b.
Bu uzunlukta da bu uzunluk aynı olmalı.
Çünkü neymiş orijine göre simetriğini aldığınızda da ikisi de apsis de ordinat da işaret değiştirecekmiş arkadaşlar.
Evet, son olarak y=x doğrusu şu şekildeydi.
Biz buna başka bir isim daha veriyorduk.
Neydi y=x doğrusunun diğer ismi birinci açıortay doğrusudur arkadaşlar.
Çünkü bu X ve Y eksenlerini kırk beşer dereceyle bölüyordu değil mi?
Şimdi bir a,b noktası verelim.
Koordinatlarıa,b olan bir nokta gösterdim yine A noktası.
Bunun y=x'e göre simetriğini aldığınızda bakın şu uzunluklar eşit olmalı, noktamız buraya gelecek.
Burada da şöyledir arkadaşlar burası B olur bu sefer.
Burası A olur yani A üssü noktamızın koordinatları B'ye a'dır.
Buradan şöyle bir sonuç çıkartırız.
Y eşittir X doğrusuna göre simetri aldığımızda neymiş?
Apsis ve ordinat yer değiştirecekmiş arkadaşlar.
Bunların ispatı analitik geometriden o yerleri neden değişti, eğimler çarpımı eksi birden falan bir şekilde getiriliyor.
Biz ny=x doğrusuna göre simetri istendiğinde apsis ve ordinatı yer değiştirmemiz gerekiyormuş.
y=-x oğrusu da bu şekildeydi.
Yine 45 45 bölen bir açıortay doğrusuydu.
Buna da biz ikinci açıortay doğrusu diyorduk.
y=-x doğrusuna burada bir nokta alayım yine şöyle a,b noktası.
Noktamız A koordinatlarımız a,b.
Bu noktanın simetriği de bu sefer hem yer değiştirecekler arkadaşlar hem işaret değiştirecekler.
Yani eksi b buraya gelecek a'mız da buraya eksi.
Yeni noktamız buradadır arkadaşlar.
A üstü simetrimiz (-b,-a).
Yani şu sonuç çıkar.
Y eşittir eksi X doğrusuna göre simetri aldığımızda ne olması gerekiyormuş.
Yer değiştirecekler ve işaret değiştirecekler.
y=x'te sadece yer değiştiriyorlardı.
y=-x'te hem yer hem işaret.
Hemen başa dönüp özetliyorum.
Arkadaşlar X'e göre simetri alındığında ordinat işaret değiştirecek apsis aynı, Y'ye göre simetri alındığında apsis işaret değiştirecek ordinat aynı.
Orijine göre simetri alındığında ikisi de işaret değiştirecek, y=x'e göre aldığında yer değiştirecek, y=-x'e göre aldığımda da hem yer hem de işaret değiştirecekmiş.
Evet, bu örneğimizde noktasının y eksenine göre simetriği b.
O halde b noktamız nedir?
Y eksenine göre simetri alıyorsak apsisimiz işaret değiştiriyordu(-3,-1) noktasıdır B noktası.
B'nin X'e göre simetri alınmasını istiyor, X'e göre simetri alındığında da ordinat işaret değiştiriyordu.
Yani C noktamız şu noktada ordinatı yer değiştirirseniz eksi 3'e artı 1 olur.
C noktasının koordinatları toplamı eksi 3 artı 1'den cevabımız eksi 2'dir arkadaşlar.
Bir de burada şunu söylemek için de yazdım aslında bu soruyu önce y eksenine göre (3,-1) noktası.
Onu bir şöyle 3'e eksi bir noktasını yazayım.
Bunun A eksenine göre simetri aldığınız şöyle.
A noktası noktamız buraya geldi.
Sonra B noktasının X'e göre simetri aldınız C noktası buraya geldi.
Aslında biz hem X'e sonra da Y'ye göre simetri veya Y'ye göre sonra X'e göre simetri aldığımızda noktanın orijine göre simetriğini almış oluyoruz arkadaşlar.
Bakın 3'e eksi birdi ne oldu?
Eksi 3'e bir oldu, işaret değiştirdiler.