Merhabalar arkadaşlar, şimdi mutlak değer konusuna giriş yapıyoruz.
Bakalım bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki yerinin sıfır noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir.
Bu sayının mutlak değeri denir.
Peki bir x gerçek sayısının mutlak değerini biz nasıl göstereceğiz?
x'i yazdıktan sonra yanına iki tane çizgi çekeceğiz.
Bunu gördüğümüzde bizim aklımıza mutlak değerin gelmesi gerekiyor ve mutlak değerde uzaklık demektir.
Peki bunu birazcık daha açıklayalım burada bir örnekte.
Sayı doğrusu var.
0, 5 ve -5 sayıları var.
Burada 5 sayısının 0'a olan uzaklığı 5 birimdir.
Evet bu santimetre olur metre olur fark etmez ama biz onu birim olarak kabul edelim.
-5 sayısının da 0'a olan uzaklığı 5 birimdir.
O yüzden biz deriz ki -5'inde mutlak değeri burada iki tane çizgi gördüğümüzde mutlak değer aklımıza gelecek ve mutlak değerde aslında burada uzaklık demek olduğu için-5'in 0'a olan uzaklığından 5 birim olduğunu biz burada söylemiş olacağız.
Peki mutlak değer nasıl tanımlanır?
Mutlak değer bakalım aşağıdaki gibi göstereceğiz bunu.
Nasıl göstereceğiz?
Şimdi mutlak değer, x eğer sıfırdan büyük eşitse direkt olarak kendisidir, yani x'tir.
Eğer 0'dan küçükse o zaman eksi x olarak çıkar.
Yani aslında şunu demeye çalışıyoruz.
Şimdi mesela 0'dan küçükse, yani şöyle ise biz bunu böyle çıkartmıyoruz, değil mi?
Biz burada bunu eksiyle çarparak çıkartıyoruz.
Eksi ile çarptığımız için bakınız bu, bu şekilde çıkıyor.
Yani bunu genelleştirirsek x değişkenini bu şekilde gösteririz.
sıfırdan küçükse yani negatifse de onu eksiyle çarpı çıkartacağız.
Peki sayı doğrusu üzerindeki a ile b gerçek sayılarının birbirine olan uzaklığını nasıl gösteririz biz?
Mutlak değer içinde a eksi b ile veya bunu mutlak değer içinde b eksi a ile gösterebiliriz.
Yani aslında şundan bahsediyoruz sayı olarak da örnek verecek olursak mesela sayı doğrusu üzerinde bir 7 noktası var bir de 3 noktası var.
Ben bunların arasındaki uzaklığı sorsam, ne yaparsınız?
7'den 3'ü çıkartırsınız ve 4 olduğunu söylersiniz veya bu aslında tam tersi de olabilir.
Biz bunu daha da net hale getirmek için 3'ten 7'de çıkarttığımız da mutlak değerini aldığımızda yine 4'ü bulmuş oluruz.
Yani aslında 7 eksi 3 ile 3 eksi 7'nin mutlak değerlerinin sonuçları burada aynı gelmiş oluyor.
Ve genişletirsek bunu, yani genellersek a eksi b'nin mutlak değeriyle b eksi a'nn mutlak değerleri aynıdır ve bu a ile b'nin arasındaki uzaklığı ifade eder.
Peki örneklerimize bakalım şimdi.
Burada mutlak değer içine bazı ifadeler var.
Bunun değeri soruluyor bize.
Şimdi o zaman demek ki biz bunları mutlak değerden çıkartarak geleceğiz.
Şimdi buradaki 5 duruyor ilk önce artı buradaki -3 mutlak değer içinde bu direkt olarak Daha sonra artı 8 var burada eksi, bu ne olacak, eksi ile çarpılarak çıkması lazım yani olan eksi idi daha sonra devam ediyoruz.
5 artı 3'den burası 8 olacak mutlak değer içinde artı burası da 8 eksi 7'den 1 olacak mutlak değer içinde.
Ee artık bunlar pozitif oldukları için direkt olarak çıkartabiliriz.
Yani 8 artı 1'den buradaki cevabımızın 9 olduğunu söyleriz.
Peki şimdi diğer bir örneğimiz sayı doğrusu üzerindeki -5 noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığı a birim, 7 noktasına olan uzaklığı b birimdir.
Buna göre a çarpı b kaçtır, diyor.
Şimdi -5 noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığına biz mutlak değer içinde -5 ile gösteririz, bunun a birim olduğunu söylüyor.
Yani aslında biz buradan a'nın uzaklığı nasıl gösteririz 5 noktasının?
O zaman -5 eksi 7 deriz.
Bir önceki bahsettiğimiz şey.
Bu da b birimmiş.
O zaman içerideki işlemi yapacak olursak -12 gelecek.
Bu b birim, bu da dışarıya normal 12 olarak çıkacak.
Yani 12 uzaklığı demiş oluruz biz burada, 12 birim demiş oluruz.
Bu da b'ye eşit olmuş olacak.
a ile b'nin çarpımı soruluyor bize burada.
a ile b'yi çarpacak olursak 60 cevabına ulaşmış oluruz.
Peki son örneğimiz a burada -5'e eşit b de -3'e eşitmiş.
Daha sonra mutlak değer içinde bazı ifadeler var bu işlemi sonucu kaçtır diyor.
Biz a'yı ve b'yi yerine yazalım.
O zaman a'nın yerine -5 yazdım eksi daha sonra şurada -5 yazdım bir daha eksi daha sonra -5 yazdım eksi var bir de b'nin yerine -3 yazacağım, orası karışmasın, daha sonra üç tane de burada çizgi var.
Peki o zaman en içten başlayarak dışarıya doğru gideceğiz.
Şimdi -5 duruyor, şuradaki -5'de duruyor, daha sonra burası şimdi eksimiş şurası eksi eksiden artı olacak.
Yani burası aslında -5 artı 3 olacak.
Burada üç tane çizgi olacak.
Daha sonra devam edelim yine.
En içten yapmamız lazım -5 ile 3'ü topladığımızda -2 yapar daha sonra onu da yazdık.Daha sonra artık çıkartmaya başlayabiliriz biz bunları.
Yine -5 duruyor eksi bir daha -5 var eksi.
Şimdi buradaki mutlak değer içindeki -2 dışarıya normal iki olarak çıkacak.
Buradaki eksi soruda olan eksi idi zaten.
E devam edelim.
Daha sonra yine -5 var, eksi şurası -7 yapar.
Daha sonra biz onu da dışarıya çıkartacağız şu eksi soruda olan eksi idi ama bu normal normal buradaki 7 olarak çıkması lazım buradaki çizgilere eklememiz gerekiyordu.
Daha sonra yedi olarak çıkarttık ve -5 ile -7 burada -12 olacaktır.
Bunu da dışarıya çıkardığımızda
Bakalım bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki yerinin sıfır noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir.
Bu sayının mutlak değeri denir.
Peki bir x gerçek sayısının mutlak değerini biz nasıl göstereceğiz?
x'i yazdıktan sonra yanına iki tane çizgi çekeceğiz.
Bunu gördüğümüzde bizim aklımıza mutlak değerin gelmesi gerekiyor ve mutlak değerde uzaklık demektir.
Peki bunu birazcık daha açıklayalım burada bir örnekte.
Sayı doğrusu var.
0, 5 ve -5 sayıları var.
Burada 5 sayısının 0'a olan uzaklığı 5 birimdir.
Evet bu santimetre olur metre olur fark etmez ama biz onu birim olarak kabul edelim.
-5 sayısının da 0'a olan uzaklığı 5 birimdir.
O yüzden biz deriz ki -5'inde mutlak değeri burada iki tane çizgi gördüğümüzde mutlak değer aklımıza gelecek ve mutlak değerde aslında burada uzaklık demek olduğu için-5'in 0'a olan uzaklığından 5 birim olduğunu biz burada söylemiş olacağız.
Peki mutlak değer nasıl tanımlanır?
Mutlak değer bakalım aşağıdaki gibi göstereceğiz bunu.
Nasıl göstereceğiz?
Şimdi mutlak değer, x eğer sıfırdan büyük eşitse direkt olarak kendisidir, yani x'tir.
Eğer 0'dan küçükse o zaman eksi x olarak çıkar.
Yani aslında şunu demeye çalışıyoruz.
Şimdi mesela 0'dan küçükse, yani şöyle ise biz bunu böyle çıkartmıyoruz, değil mi?
Biz burada bunu eksiyle çarparak çıkartıyoruz.
Eksi ile çarptığımız için bakınız bu, bu şekilde çıkıyor.
Yani bunu genelleştirirsek x değişkenini bu şekilde gösteririz.
sıfırdan küçükse yani negatifse de onu eksiyle çarpı çıkartacağız.
Peki sayı doğrusu üzerindeki a ile b gerçek sayılarının birbirine olan uzaklığını nasıl gösteririz biz?
Mutlak değer içinde a eksi b ile veya bunu mutlak değer içinde b eksi a ile gösterebiliriz.
Yani aslında şundan bahsediyoruz sayı olarak da örnek verecek olursak mesela sayı doğrusu üzerinde bir 7 noktası var bir de 3 noktası var.
Ben bunların arasındaki uzaklığı sorsam, ne yaparsınız?
7'den 3'ü çıkartırsınız ve 4 olduğunu söylersiniz veya bu aslında tam tersi de olabilir.
Biz bunu daha da net hale getirmek için 3'ten 7'de çıkarttığımız da mutlak değerini aldığımızda yine 4'ü bulmuş oluruz.
Yani aslında 7 eksi 3 ile 3 eksi 7'nin mutlak değerlerinin sonuçları burada aynı gelmiş oluyor.
Ve genişletirsek bunu, yani genellersek a eksi b'nin mutlak değeriyle b eksi a'nn mutlak değerleri aynıdır ve bu a ile b'nin arasındaki uzaklığı ifade eder.
Peki örneklerimize bakalım şimdi.
Burada mutlak değer içine bazı ifadeler var.
Bunun değeri soruluyor bize.
Şimdi o zaman demek ki biz bunları mutlak değerden çıkartarak geleceğiz.
Şimdi buradaki 5 duruyor ilk önce artı buradaki -3 mutlak değer içinde bu direkt olarak Daha sonra artı 8 var burada eksi, bu ne olacak, eksi ile çarpılarak çıkması lazım yani olan eksi idi daha sonra devam ediyoruz.
5 artı 3'den burası 8 olacak mutlak değer içinde artı burası da 8 eksi 7'den 1 olacak mutlak değer içinde.
Ee artık bunlar pozitif oldukları için direkt olarak çıkartabiliriz.
Yani 8 artı 1'den buradaki cevabımızın 9 olduğunu söyleriz.
Peki şimdi diğer bir örneğimiz sayı doğrusu üzerindeki -5 noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığı a birim, 7 noktasına olan uzaklığı b birimdir.
Buna göre a çarpı b kaçtır, diyor.
Şimdi -5 noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığına biz mutlak değer içinde -5 ile gösteririz, bunun a birim olduğunu söylüyor.
Yani aslında biz buradan a'nın uzaklığı nasıl gösteririz 5 noktasının?
O zaman -5 eksi 7 deriz.
Bir önceki bahsettiğimiz şey.
Bu da b birimmiş.
O zaman içerideki işlemi yapacak olursak -12 gelecek.
Bu b birim, bu da dışarıya normal 12 olarak çıkacak.
Yani 12 uzaklığı demiş oluruz biz burada, 12 birim demiş oluruz.
Bu da b'ye eşit olmuş olacak.
a ile b'nin çarpımı soruluyor bize burada.
a ile b'yi çarpacak olursak 60 cevabına ulaşmış oluruz.
Peki son örneğimiz a burada -5'e eşit b de -3'e eşitmiş.
Daha sonra mutlak değer içinde bazı ifadeler var bu işlemi sonucu kaçtır diyor.
Biz a'yı ve b'yi yerine yazalım.
O zaman a'nın yerine -5 yazdım eksi daha sonra şurada -5 yazdım bir daha eksi daha sonra -5 yazdım eksi var bir de b'nin yerine -3 yazacağım, orası karışmasın, daha sonra üç tane de burada çizgi var.
Peki o zaman en içten başlayarak dışarıya doğru gideceğiz.
Şimdi -5 duruyor, şuradaki -5'de duruyor, daha sonra burası şimdi eksimiş şurası eksi eksiden artı olacak.
Yani burası aslında -5 artı 3 olacak.
Burada üç tane çizgi olacak.
Daha sonra devam edelim yine.
En içten yapmamız lazım -5 ile 3'ü topladığımızda -2 yapar daha sonra onu da yazdık.Daha sonra artık çıkartmaya başlayabiliriz biz bunları.
Yine -5 duruyor eksi bir daha -5 var eksi.
Şimdi buradaki mutlak değer içindeki -2 dışarıya normal iki olarak çıkacak.
Buradaki eksi soruda olan eksi idi zaten.
E devam edelim.
Daha sonra yine -5 var, eksi şurası -7 yapar.
Daha sonra biz onu da dışarıya çıkartacağız şu eksi soruda olan eksi idi ama bu normal normal buradaki 7 olarak çıkması lazım buradaki çizgilere eklememiz gerekiyordu.
Daha sonra yedi olarak çıkarttık ve -5 ile -7 burada -12 olacaktır.
Bunu da dışarıya çıkardığımızda
Sıkça Sorulan Sorular
Mutlak değer nedir?
Bir sayının sayı doğrusunda 0’a olan uzaklığına mutlak değer denir. Mutlak değer kısaca uzaklık ile ilgili bir kavramdır. Örneğin, pozitif bir sayı olan 4 sayısının 0 sayısına olan uzaklığı 4 birim olur. Negatif bir sayı olan -4 sayısının 0 sayısına olan uzaklığı da 4 birimdir.
Mutlak değer işareti “ | | ” dir ve herhangi bir x gerçek sayının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir.
Şekilde de görüldüğü gibi -4 ve 4 sayısının sayı doğrusunda 0’a olan uzaklığı 4 birimdir. Bu durumda |4| = 4 ve |-4| = 4 diyebiliriz.
Mutlak değer nasıl bulunur?
Bir sayının mutlak değerini bulmadan önce mutlak değerin tanımını hatırlayalım. Mutlak değer matematiksel olarak aşağıdaki gibi tanımlanır.
x ∈ R olmak üzere;
Yani, mutlak değerin içinde yazan gerçek sayı sıfıra eşitse veya sıfırdan büyük ise sayı mutlak değer dışına aynı şekilde çıkar. Mutlak değerin içinde yer alan sayı sıfırdan küçük ise mutlak değerden çıkarmak için sayı (-1) ile çarpılır.
Örneğin;
|5| = ?
5 ≥ 0 olduğun için |5| = 5 olur.
|-9| = ?
9 < 0 olduğun için |-9| = (-9).(-1) = 9 olur.
