Merhabalar arkadaşlar şimdi mutlak değerli eşitsizlikleri inceleyeceğiz.
Üç farklı şekilde gelebilir arkadaşlar karşınıza.
İlk önce x elemandır reel sayılar ve a'da burada pozitif reel sayılar olsun.
Mutlak değer içindeki x, a'dan küçük eşitse, yine arkadaşlar burada artılı ve eksili olduğunu düşünecek olursak o zaman eksi a olacak ve daha sonra a'dan küçük eşit olmuş olacak.
Yani a ile eksi a arasında olmuş olacak burada x'imiz.
İkincisinde x elemandır reel sayılar a'da pozitif reel sayılar olursa eğer mutlak değer içindeki x a'dan büyük eşitse o zaman bir ilk olarak dümdüz yani artı olarak düşünürsek yani x burada a'dan büyük eşit olacak diğerinde de bakınız aslında eksilisini aldığımız için komple şurası değişmiş olacak.
Yani x normal duruyor bu sefer eşitsizlik de yön değiştirecek eksisini aldığımız için ve eksi a olmuş olacak burada.
Peki üçüncüsünde x elemandır reel sayılar bu sefer a ile b pozitif reel sayılar olsun.
a küçük eşittir mutlak değer içinde x küçük eşittir b o zaman bir ilk önce gördüğünüz gibi yani burada a küçük eşittir x küçük eşittir b olacak.
Bir de bakınız eksiyle çarpacağız biz bunu yani aslında şöyle yapabiliriz bunu.
İki farklı şekilde yazabiliriz.
Biz buraya şöyle yazalım eksi b olmuş olacak ve eşitsizlik bakınız yön değiştirdi.
Normalde b büyüktü.
Şu an küçük tarafta kaldı.
x küçük eşittir eksi a olmuş olacak veya bu şekilde olmazsa karışacaksa burayı eksi ile çarptığımızı düşünürsek şöyle de yazabiliriz.
Eksi b yazarız buraya da eksi a yazmış oluruz.
Zaten bunların ikisi aynı şeyler.
Burada şimdi örneklerde bunları inceleyelim.
Şimdi aşağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz demiş.
Birincisi yani a'da mutlak değer içindeki x 3'ten küçüktür demiş.
O zaman demek ki ne yapacağız biz?
Eksi 3'ten 3 aralığına onu yerleştirmiş olacağız bu şekilde.
Peki b'ye bakalım.
b' de de mutlak değer içinde x 7'den büyük.
O zaman demek ki bir ilk olarak 7'den büyük bir de ne olacak burada veya burada sağ tarafı eksi ile çarptığımızda yani x küçüktür eksi 7 olmuş olacak burada bunun çözüm kümesi.
Tabi çözüm kümesini de yazalım biz burada.
Çözüm kümesini yazacak olursak burada -3 de 3 aralığında olmuş olacak.
Burada da çözüm kümesini yazacak olursak o zaman demek ki burada nasıl dememiz lazım.
Şimdi x'ler bir eksi 7'den küçük bir de 7'den büyük.
O zaman demek bir eksi sonsuzdan burada eksi 7'ye kadar olacak birleşim diyeceğiz 7'den de sonsuza kadar gitmiş olacak.
Bu şekilde birleştiririz.
Peki c'ye bakalım şimdi.
c ilk önce mutlak değer x ortada.
O zaman demek ki bir dümdüz yazarız yani gördüğümüz gibi iki mutlak değer için iki küçük eşittir x küçüktür 5 veya diyeceğiz bir de burada bir yerlerini değiştirip bir de eksiye çarpacağız aslında -5, x ve burasıda -2 olmuş olacak.
O zaman demek ki bunun çözüm kümesini yazacak olursak bu birazcık uzun olabilir.
Şimdi ilk önce burada eksili tarafını yazalım -5' ten -2'ye kadarmış yani -5 dahil değil ama -2 dahil burada birleşim diyorum daha sonra bu sefer 2 dahil 5 dahil değil bu şekilde çözüm kümesini oluşturmuş oluruz.
Peki aşağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümesini bunu demiş bir örnekte.
Şimdi bakınız bu sefer sağ taraflar yani eşitsizliğin sağındaki kısımlar burada sıfır verilmiş.
Normalde biz pozitif reel sayılar için çözüyorduk bu kısmı şimdi sıfır verildiyse o zaman şöyle söyleyebiliriz buradaki mutlak değer o zaman sıfır olabilir ve sıfırdan büyük olabilir normalde.
Ama burada sıfırdan küçük eşit olan kısmı arıyorsak sadece sıfır yapabildiği değeri alabiliriz biz burada.
Yani 3x eksi 9'u yapan değer nedir?
x eşittir 3'tür.
O zaman demek ki bunun bunun çözüm kümesini sadece x eşittir 3 olur.
Buradan sonra başka şeyler olmaz.
Çünkü sıfırdan küçük eşit olan kısmı aradığı için aslında sıfır ve küçüktür yani negatif olan kısımlarını arıyor ama negatif olmaz sadece sıfır olabilir burada.
Peki ikincisinde mutlak değer içinde 5x artı 15 burada büyüktür sıfır diyor.
Şimdi biz şunu biliyoruz zaten mutlak değer pozitiftir veya sıfırdır.
Şimdi sıfırı istemiyoruz ve pozitif olan kısmı istiyoruz.
O zaman pozitif olan kısmı istiyorsak biz burada ne diyeceğiz reel sayılar diyeceğiz ama bizim burada -3'ü çıkartmamız lazım.
Neden -3'ü çıkartıyoruz?
Çünkü eğer biz burada -3 yazacak olursak bunun için 0 oluyor.
Biz bunu istemiyoruz.
O zaman demek ki buradan -3'ü biz çıkartmış olacağız ve daha sonra devamından ne yazarsak yazalım zaten bu bunu pozitife götürmüş olacaktır.
Yani oradaki farklılığa dikkat edelim.
Peki diğer bir örneğimiz burada 2 küçüktür mutlak değer içinde x eksi 4 bölü 3 küçük eşittir 5 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır diyor.
Şimdi o zaman bunun iki durumda inceleyeceğiz.
İlk olarak dümdüz gördüğünüz gibi çıkartalım.
diyeceğiz burada bu sefer hem yerleri değişecek hem eksi ile çarpacağız.
-5 küçük eşittir bu sefer x eksi 4 bölü 3 oluyor daha sonra küçük eşittir eksi 2.
Şimdi ikisini de halledeceğiz.
Burada ilk önce her tarafı 3 ile çarpalım.
Her tarafa 4 ekleyecek olursak 10, x, ve burada da ne olmuş oluyor, 19 olmuş oluyor.
Burası hallettik.
Şimdi burada her tarafı 3 ile çarpalım.
-15 olur.
Küçük eşittir x eksi 4.
Daha sonra küçüktür -6 olmuş olur.
E o zaman burada ne yapmış oluruz?
Her tarafa 4 ekleyelim.
-11 olur küçük eşittir daha sonra x burada da her tarafa 4 eklediğimizde eksi 2 olmuş oluyor.
Bu eşitsizliği sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır diyor.
Şimdi buraya baktığımızda ne oluyor 11'den başlıyor bu, 12, ve en son 19'a kadar gidiyor.
O zaman burada kaç tane var?
19'dan 11'i çıkarttık, 8.
Daha sonra 1 ekledik, 9.
O zaman demek ki burada 9 adet var.
Daha sonra sağ tarafta da bu sefer nasıl yapıyor bu -11'den geliyor, -10, daha sonra burada en son -3'e kadar geliyor.
E o zaman biz burada ne yapalım 11'den Bu negatif de olsa pozitif de olsa ardışık sonuçta o şekilde bulabiliriz.
Ve toplamda da 9 artı 9'dan, toplamda 18 tane x tam sayısı olur bu eşitsizliği sağlayan.
Peki son örneğimiz burada 5 çarpı mutlak değer içinde 2x eksi beş eksi 12 büyüktür 13 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz demiş.
O zaman ilk önce ben bu eksi 12'yi karşı tarafa atıyorum.
Ve şunu elde etmiş oluyorum.
2x eksi 5 burada 25 olmuş oluyor.
Her tarafı 5'e böldüğümüzde mutlak değer içinde 2x eksi 5'in buradan 5'den büyük olduğunu söylüyoruz.
O zaman en son bu hale getirdikten sonra ne diyeceğiz?
Bir de veya diyeceğiz.
2x eksi 5 sağ tarafı eksi ile çarptığımızı düşündüğümüzde eksi 5 olmuş olacak.
Bu eşitsizlik yön değiştirecek.
Burada eksi 52i karşı tarafa aldık 2x büyüktür 10 oldu.
Ve her tarafı 2' ye böldüğümüzde x burada 5'den büyük gelmiş oldu.
E burada da eksi 5'i sağ tarafa aldığımızda 0 oluyor.
Yani 2x küçüktür 0.
Burada x küçüktür 0 olmuş oluyor.
O zaman çözüm kümesini yazacak olursak burada eksi sonsuza kadar gidiyor.
O zaman demek ki eksi sonsuzdan sıfıra kadar diyeceğiz.
Daha sonra birleşim sol tarafta da beşten başlıyor ve artı sonsuza kadar gidiyor.
Bu şekilde oluşturmuş oluruz.
Üç farklı şekilde gelebilir arkadaşlar karşınıza.
İlk önce x elemandır reel sayılar ve a'da burada pozitif reel sayılar olsun.
Mutlak değer içindeki x, a'dan küçük eşitse, yine arkadaşlar burada artılı ve eksili olduğunu düşünecek olursak o zaman eksi a olacak ve daha sonra a'dan küçük eşit olmuş olacak.
Yani a ile eksi a arasında olmuş olacak burada x'imiz.
İkincisinde x elemandır reel sayılar a'da pozitif reel sayılar olursa eğer mutlak değer içindeki x a'dan büyük eşitse o zaman bir ilk olarak dümdüz yani artı olarak düşünürsek yani x burada a'dan büyük eşit olacak diğerinde de bakınız aslında eksilisini aldığımız için komple şurası değişmiş olacak.
Yani x normal duruyor bu sefer eşitsizlik de yön değiştirecek eksisini aldığımız için ve eksi a olmuş olacak burada.
Peki üçüncüsünde x elemandır reel sayılar bu sefer a ile b pozitif reel sayılar olsun.
a küçük eşittir mutlak değer içinde x küçük eşittir b o zaman bir ilk önce gördüğünüz gibi yani burada a küçük eşittir x küçük eşittir b olacak.
Bir de bakınız eksiyle çarpacağız biz bunu yani aslında şöyle yapabiliriz bunu.
İki farklı şekilde yazabiliriz.
Biz buraya şöyle yazalım eksi b olmuş olacak ve eşitsizlik bakınız yön değiştirdi.
Normalde b büyüktü.
Şu an küçük tarafta kaldı.
x küçük eşittir eksi a olmuş olacak veya bu şekilde olmazsa karışacaksa burayı eksi ile çarptığımızı düşünürsek şöyle de yazabiliriz.
Eksi b yazarız buraya da eksi a yazmış oluruz.
Zaten bunların ikisi aynı şeyler.
Burada şimdi örneklerde bunları inceleyelim.
Şimdi aşağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz demiş.
Birincisi yani a'da mutlak değer içindeki x 3'ten küçüktür demiş.
O zaman demek ki ne yapacağız biz?
Eksi 3'ten 3 aralığına onu yerleştirmiş olacağız bu şekilde.
Peki b'ye bakalım.
b' de de mutlak değer içinde x 7'den büyük.
O zaman demek ki bir ilk olarak 7'den büyük bir de ne olacak burada veya burada sağ tarafı eksi ile çarptığımızda yani x küçüktür eksi 7 olmuş olacak burada bunun çözüm kümesi.
Tabi çözüm kümesini de yazalım biz burada.
Çözüm kümesini yazacak olursak burada -3 de 3 aralığında olmuş olacak.
Burada da çözüm kümesini yazacak olursak o zaman demek ki burada nasıl dememiz lazım.
Şimdi x'ler bir eksi 7'den küçük bir de 7'den büyük.
O zaman demek bir eksi sonsuzdan burada eksi 7'ye kadar olacak birleşim diyeceğiz 7'den de sonsuza kadar gitmiş olacak.
Bu şekilde birleştiririz.
Peki c'ye bakalım şimdi.
c ilk önce mutlak değer x ortada.
O zaman demek ki bir dümdüz yazarız yani gördüğümüz gibi iki mutlak değer için iki küçük eşittir x küçüktür 5 veya diyeceğiz bir de burada bir yerlerini değiştirip bir de eksiye çarpacağız aslında -5, x ve burasıda -2 olmuş olacak.
O zaman demek ki bunun çözüm kümesini yazacak olursak bu birazcık uzun olabilir.
Şimdi ilk önce burada eksili tarafını yazalım -5' ten -2'ye kadarmış yani -5 dahil değil ama -2 dahil burada birleşim diyorum daha sonra bu sefer 2 dahil 5 dahil değil bu şekilde çözüm kümesini oluşturmuş oluruz.
Peki aşağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümesini bunu demiş bir örnekte.
Şimdi bakınız bu sefer sağ taraflar yani eşitsizliğin sağındaki kısımlar burada sıfır verilmiş.
Normalde biz pozitif reel sayılar için çözüyorduk bu kısmı şimdi sıfır verildiyse o zaman şöyle söyleyebiliriz buradaki mutlak değer o zaman sıfır olabilir ve sıfırdan büyük olabilir normalde.
Ama burada sıfırdan küçük eşit olan kısmı arıyorsak sadece sıfır yapabildiği değeri alabiliriz biz burada.
Yani 3x eksi 9'u yapan değer nedir?
x eşittir 3'tür.
O zaman demek ki bunun bunun çözüm kümesini sadece x eşittir 3 olur.
Buradan sonra başka şeyler olmaz.
Çünkü sıfırdan küçük eşit olan kısmı aradığı için aslında sıfır ve küçüktür yani negatif olan kısımlarını arıyor ama negatif olmaz sadece sıfır olabilir burada.
Peki ikincisinde mutlak değer içinde 5x artı 15 burada büyüktür sıfır diyor.
Şimdi biz şunu biliyoruz zaten mutlak değer pozitiftir veya sıfırdır.
Şimdi sıfırı istemiyoruz ve pozitif olan kısmı istiyoruz.
O zaman pozitif olan kısmı istiyorsak biz burada ne diyeceğiz reel sayılar diyeceğiz ama bizim burada -3'ü çıkartmamız lazım.
Neden -3'ü çıkartıyoruz?
Çünkü eğer biz burada -3 yazacak olursak bunun için 0 oluyor.
Biz bunu istemiyoruz.
O zaman demek ki buradan -3'ü biz çıkartmış olacağız ve daha sonra devamından ne yazarsak yazalım zaten bu bunu pozitife götürmüş olacaktır.
Yani oradaki farklılığa dikkat edelim.
Peki diğer bir örneğimiz burada 2 küçüktür mutlak değer içinde x eksi 4 bölü 3 küçük eşittir 5 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır diyor.
Şimdi o zaman bunun iki durumda inceleyeceğiz.
İlk olarak dümdüz gördüğünüz gibi çıkartalım.
diyeceğiz burada bu sefer hem yerleri değişecek hem eksi ile çarpacağız.
-5 küçük eşittir bu sefer x eksi 4 bölü 3 oluyor daha sonra küçük eşittir eksi 2.
Şimdi ikisini de halledeceğiz.
Burada ilk önce her tarafı 3 ile çarpalım.
Her tarafa 4 ekleyecek olursak 10, x, ve burada da ne olmuş oluyor, 19 olmuş oluyor.
Burası hallettik.
Şimdi burada her tarafı 3 ile çarpalım.
-15 olur.
Küçük eşittir x eksi 4.
Daha sonra küçüktür -6 olmuş olur.
E o zaman burada ne yapmış oluruz?
Her tarafa 4 ekleyelim.
-11 olur küçük eşittir daha sonra x burada da her tarafa 4 eklediğimizde eksi 2 olmuş oluyor.
Bu eşitsizliği sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır diyor.
Şimdi buraya baktığımızda ne oluyor 11'den başlıyor bu, 12, ve en son 19'a kadar gidiyor.
O zaman burada kaç tane var?
19'dan 11'i çıkarttık, 8.
Daha sonra 1 ekledik, 9.
O zaman demek ki burada 9 adet var.
Daha sonra sağ tarafta da bu sefer nasıl yapıyor bu -11'den geliyor, -10, daha sonra burada en son -3'e kadar geliyor.
E o zaman biz burada ne yapalım 11'den Bu negatif de olsa pozitif de olsa ardışık sonuçta o şekilde bulabiliriz.
Ve toplamda da 9 artı 9'dan, toplamda 18 tane x tam sayısı olur bu eşitsizliği sağlayan.
Peki son örneğimiz burada 5 çarpı mutlak değer içinde 2x eksi beş eksi 12 büyüktür 13 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz demiş.
O zaman ilk önce ben bu eksi 12'yi karşı tarafa atıyorum.
Ve şunu elde etmiş oluyorum.
2x eksi 5 burada 25 olmuş oluyor.
Her tarafı 5'e böldüğümüzde mutlak değer içinde 2x eksi 5'in buradan 5'den büyük olduğunu söylüyoruz.
O zaman en son bu hale getirdikten sonra ne diyeceğiz?
Bir de veya diyeceğiz.
2x eksi 5 sağ tarafı eksi ile çarptığımızı düşündüğümüzde eksi 5 olmuş olacak.
Bu eşitsizlik yön değiştirecek.
Burada eksi 52i karşı tarafa aldık 2x büyüktür 10 oldu.
Ve her tarafı 2' ye böldüğümüzde x burada 5'den büyük gelmiş oldu.
E burada da eksi 5'i sağ tarafa aldığımızda 0 oluyor.
Yani 2x küçüktür 0.
Burada x küçüktür 0 olmuş oluyor.
O zaman çözüm kümesini yazacak olursak burada eksi sonsuza kadar gidiyor.
O zaman demek ki eksi sonsuzdan sıfıra kadar diyeceğiz.
Daha sonra birleşim sol tarafta da beşten başlıyor ve artı sonsuza kadar gidiyor.
Bu şekilde oluşturmuş oluruz.
Sıkça Sorulan Sorular
Mutlak değer eşitsizlikleri nedir?
|x| ≤ a eşitsizliğinin çözüm kümesi orijine uzaklığı a’ya eşit veya a’dan az olan reel sayılardan oluşur.
x ∈ R ve a ∈ R+ olmak üzere;
|x| ≤ a ise -a ≤ x ≤ a olur.
|x| ≥ a eşitsizliğinin çözüm kümesi orijine uzaklığı a’ya eşit veya a’dan fazla olan reel sayılardan oluşur.
x ∈ R ve a ∈ R+ olmak üzere;
|x| ≥ a ise x ≥ a veya x ≤ -a olur.
a ≤ |x| ≤ b eşitsizliğinin çözüm kümesi orijine uzaklığı a ve b kapalı aralığında bulunan sayılardan oluşur.
x ∈ R ve a,b ∈ R+ olmak üzere;
a ≤ |x| ≤ b ise a ≤ x ≤ b veya -b ≤ |x| ≤ a olur.
Mutlak değerli eşitsizliklerde çözüm kümesi nasıl bulunur?
Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken mutlak değer özellikleri kullanılarak eşitsizlik mutlak değerden kurtarılır ve eşitsizlikler çözülerek çözüm kümesi bulunur.
Örneğin;
|x| < 5’in çözüm kümesini adım adım bulalım.
|x| < 5 ise -5 < x < 5 olur. Bu eşitsizlik orijine uzaklığı 5’ten az olan sayılar ifade eder. Sınırlar aralığa dahil olmadığı için çözüm kümesi (-5,5) dir.
