Merhabalar arkadaşlar mutlak değerli denklemlere devam ediyoruz.
x ve y burada reel sayılar olmak üzere, burada mutlak değerli ifadeler var.
Toplanmış ve sıfıra eşitlenmiş.
Bu denklemi sağlayan x ve y değerleri için x artı y toplamı kaçtır?
Şimdi arkadaşlar burayı incelediğimizde bakınız mutlak değerli ifadelerin ikisi toplandığında sıfır gelmiş.
Şimdi bunun tek ihtimali var.
Çünkü bu tek ihtimalin sebebi de mutlak değer negatif olamıyordu.
Yani mutlak değerinin sonucu negatif olamıyor.
Mutlak değerinin sonucu negatif olamadığı için iki tane sayıyı topladığımızda 0 yapması için kesinlikle bunların sonuçlarının sıfır olması lazım.
Sıfır olduğunda ancak bu sıfır yapar.
Çünkü sıfırdan haricinde pozitif olabilir ve pozitif bir sayıyla biz başka bir pozitif sayıyı toplamak zorundayız.
Yani 0'ı elde edemiyoruz.
O yüzden demek ki burada tek ihtimalimiz bunların içlerinin sıfır olması ki 0 olurlarsa 0 olarak çıksınlar ve topladığımızda da 0 olsun.
O zaman demek ki buradan -2x artı 18'i ben 0'a eşitliyorum.
Yani içini.
O zaman demek ki 18 eşittir diyorum 2x.
Her tarafta ikiye böldüğümüzde x yerine 9 yazmalıymışız.
Bu denklemi bu şekilde sağlatabiliriz.
E aynı şekilde 3y eksi 15'i de burada sıfıra eşitleyecek olursam Bakınız yerlerine koyduğumuzda sıfır artı sıfırdan sıfır oluyor.
O zaman demek ki 9'la 5'in toplamını soruyor bize.
Peki diğer bir örneğimiz x burada reel sayılar olmak üzere mutlak değer içinde 2x artı 1 eşittir mutlak değer içinde x artı 5 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
Şimdi yine bir şey değişmiyor biz yine aynı metodu uygulanarak çözeceğiz.
sağ taraftaki ifadeyi bir dümdüz çözeceğiz.
Yani dümdüz çıkartarak.
Bir de, veya buradaki sağ taraftaki ifadeyi negatifi ile çıkartarak çözeceğiz.
Yani 2x artı 1 burada -x eksi 5 olarak çözeceğiz.
Bu iki denklem çözdüğümüzde sonuca ulaşmış olacağız.
x'i bu tarafa aldım.
Burada x kaldı 1'i de bu tarafa aldım.
4 kaldı.
Bakınız buradan 4 geliyor.
E burada da -x'i bu tarafa alırsam 3x olur.
1'i de bu tarafa alırsam -6 olur.
E her tarafı 3'e böldüğümüzde x de buradan -2 gelir.
O zaman demek iki tane x değeri varmış.
Bu x değerleri -2 ve 4 olarak bulunmuş olur.
Evet a ve x burada reel sayılar olmak üzere a sayısı mutlak değer içinde 2x eksi 4 artı 5 artı x olarak verilmiş.
Buna göre a'nın alabileceği en küçük değer soruluyor.
Şimdi a'nın alabileceği en küçük değeri incelediğimizde burada toplama olduğundan dolayı mutlak değerlerinde sonuçlarının en küçük 0 olmasından dolayı biz burada şöyle bir metodla gitmeliyiz.
Ya buradaki sıfır olur ya da buradaki sıfır olur.
Çünkü iki tane mutlak değer var ve toplanmış.
Ben bunları minimum sıfır yapabiliyorum.
O zaman burayı sıfır yapabilmek için ne yapmamız lazım.
x eşittir buradan 2 gelir.
Yani x yerine 2 yazdığımızda biz bir küçük değer bulabiliyormuşuz.
Ama bir de bir ihtimal daha var.
5 artı x de 0 olabilir.
İşte biz x yerine -5 ve 2 yazdığımızda oluşturabildiğimiz en küçüğü hangisi ise onu kabul edeceğiz demektir.
O zaman ilk önce 2 yazıyorum.
A eşittir ne olur?
Bakınız 2 yazdığınızda burası 0 oldu.
Yani minimuma düşürebildik.
E burayı 2 yazdığımızda 5 artı 2'den 7 olarak çıktı dışarıya.
A'nın bir tane değeri 7.
E diğerine bakalım.
-5 yazacağız.Bakınız -5'i zaten burada yazdığınızda 0'ı elde etmiş oluyorsunuz.
E burada yazdığınızda -10, -14 yapıyor.
Ama dışarıya 14 olarak çıkacak.
O zaman demek ki en küçük değer burada 7 olmak zorundadır.
Çünkü 14 bundan daha büyük geliyor.
Peki son örneğimiz x elemandır reel sayılar olmak üzere mutlak değer içinde x eski 1 artı mutlak değer içinde x eksi 3 eşittir 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi en zoru da budur zaten mutlak değerde.
Şimdi burada üç farklı şekilde çözmemiz lazım bizim bunu.
Şöyle yapacağız.
Bunların içlerinin pozitif mi negatif olduğuna karar vermemiz lazım bizim.
Yani nasıl çıktıklarına.
İlk olarak içlerini sıfır yapan değerlerini buluyorum.
x eksi 1'i 0 yapan x değeri 1'dir.
x eksi 3'ü 0 yapan x değeri de 3'tür.
Şimdi onları ben geldim sayı doğrusunu şu şekilde yerleştirdim.
Ve çizgilerimi çektim.
Şimdi diyorum ki x'ler eğer 1'den küçük olursa ne olur buraya yazacağım.
x'ler 1'den küçük olursa x eksi 1 mutlak değerin dışına -x artı 1 olarak çıkar.
Çünkü küçük olduğunda içerisi negatif olur.
Artı işlemin artısı.
x eksi 3 nasıl çıkar?
O da yine negatif olarak çıkar.
Sayı deneyebilirsiniz burada.
Mesela 0 verseniz -3 olur.
Negatiftir.
O zaman demek ki onu da biz ne yapacağız.
-x artı 3 olarak çıkartacağız.
Ve 2'ye eşitleyeceğiz.
Buradan denklem çözeceğiz şimdi.
E ne oldu burası?
-2x artı 4 oldu.
Burada, 2'ye eşit bu.
O zaman demek ki 2'yi böyle aldım.
2 kaldı.
-2x'i de sağ tarafa aldığımızda 2x oldu.
O zaman demek ki x eşittir 1.
Bu sağlıyor.
x eşittir 1 zaten burada var.
Peki şimdi x'ler 1'den büyük iken o zaman bu x eksi 1 diye çıkar.
x eksi 3 peki nasıl çıkar?
-x artı 3 diye çıkar.
çünkü içerisi negatiftir Eşittir 2 oldu.
E şimdi bu denklemi çözdüğümüzde x'ler gitti.
3 ile -1 toplandığında da burada 2 geliyor.
Eğer bu sağlıyorsa ve x'ler gitmişse o zaman demek ki çözüm kümesi reel sayılardır diyorduk.
Ama burada 1 ile 3 arasında çözdüğümüz için çözüm kümesi 1 ile 3 arasındaki hepsi demektir.
Yani biz burada çözüm kümesini şöyle yapabiliriz.
Burada 1 ile 3 arasındaki hepsi diyebiliriz.
Ama bir de 3'ten sonrası içinde çözmemiz lazım.
E şimdi 3'ten sonra x eksi 1'de pozitif çıkar.
x eksi 3'de pozitif çıkar.
O zaman ikisini de yazdım.
x eksi 3'de burada pozitif çıkmış oldu.
Burada 2'ye eşitlendi.
O zaman demekki burası 2x eksi 4 oldu 2.
-4'ü attım karşıya.
E o zaman 3 zaten burada da dahildi.
E 1'de burada dahildi.
O zaman demek ki biz komple buradaki mutlak değerli denklemin çözüm kümesini burada 1 ile 3 arasında söylemiş oluruz.
Eğer burada 2 eşittir 2 yerine farklı bir şey gelse idi yani sağlamayan bir eşitlik gelse idi buradaki aralığı kabul etmeyecektim.Ama eşit geldiği için kabul ettim.
x ve y burada reel sayılar olmak üzere, burada mutlak değerli ifadeler var.
Toplanmış ve sıfıra eşitlenmiş.
Bu denklemi sağlayan x ve y değerleri için x artı y toplamı kaçtır?
Şimdi arkadaşlar burayı incelediğimizde bakınız mutlak değerli ifadelerin ikisi toplandığında sıfır gelmiş.
Şimdi bunun tek ihtimali var.
Çünkü bu tek ihtimalin sebebi de mutlak değer negatif olamıyordu.
Yani mutlak değerinin sonucu negatif olamıyor.
Mutlak değerinin sonucu negatif olamadığı için iki tane sayıyı topladığımızda 0 yapması için kesinlikle bunların sonuçlarının sıfır olması lazım.
Sıfır olduğunda ancak bu sıfır yapar.
Çünkü sıfırdan haricinde pozitif olabilir ve pozitif bir sayıyla biz başka bir pozitif sayıyı toplamak zorundayız.
Yani 0'ı elde edemiyoruz.
O yüzden demek ki burada tek ihtimalimiz bunların içlerinin sıfır olması ki 0 olurlarsa 0 olarak çıksınlar ve topladığımızda da 0 olsun.
O zaman demek ki buradan -2x artı 18'i ben 0'a eşitliyorum.
Yani içini.
O zaman demek ki 18 eşittir diyorum 2x.
Her tarafta ikiye böldüğümüzde x yerine 9 yazmalıymışız.
Bu denklemi bu şekilde sağlatabiliriz.
E aynı şekilde 3y eksi 15'i de burada sıfıra eşitleyecek olursam Bakınız yerlerine koyduğumuzda sıfır artı sıfırdan sıfır oluyor.
O zaman demek ki 9'la 5'in toplamını soruyor bize.
Peki diğer bir örneğimiz x burada reel sayılar olmak üzere mutlak değer içinde 2x artı 1 eşittir mutlak değer içinde x artı 5 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
Şimdi yine bir şey değişmiyor biz yine aynı metodu uygulanarak çözeceğiz.
sağ taraftaki ifadeyi bir dümdüz çözeceğiz.
Yani dümdüz çıkartarak.
Bir de, veya buradaki sağ taraftaki ifadeyi negatifi ile çıkartarak çözeceğiz.
Yani 2x artı 1 burada -x eksi 5 olarak çözeceğiz.
Bu iki denklem çözdüğümüzde sonuca ulaşmış olacağız.
x'i bu tarafa aldım.
Burada x kaldı 1'i de bu tarafa aldım.
4 kaldı.
Bakınız buradan 4 geliyor.
E burada da -x'i bu tarafa alırsam 3x olur.
1'i de bu tarafa alırsam -6 olur.
E her tarafı 3'e böldüğümüzde x de buradan -2 gelir.
O zaman demek iki tane x değeri varmış.
Bu x değerleri -2 ve 4 olarak bulunmuş olur.
Evet a ve x burada reel sayılar olmak üzere a sayısı mutlak değer içinde 2x eksi 4 artı 5 artı x olarak verilmiş.
Buna göre a'nın alabileceği en küçük değer soruluyor.
Şimdi a'nın alabileceği en küçük değeri incelediğimizde burada toplama olduğundan dolayı mutlak değerlerinde sonuçlarının en küçük 0 olmasından dolayı biz burada şöyle bir metodla gitmeliyiz.
Ya buradaki sıfır olur ya da buradaki sıfır olur.
Çünkü iki tane mutlak değer var ve toplanmış.
Ben bunları minimum sıfır yapabiliyorum.
O zaman burayı sıfır yapabilmek için ne yapmamız lazım.
x eşittir buradan 2 gelir.
Yani x yerine 2 yazdığımızda biz bir küçük değer bulabiliyormuşuz.
Ama bir de bir ihtimal daha var.
5 artı x de 0 olabilir.
İşte biz x yerine -5 ve 2 yazdığımızda oluşturabildiğimiz en küçüğü hangisi ise onu kabul edeceğiz demektir.
O zaman ilk önce 2 yazıyorum.
A eşittir ne olur?
Bakınız 2 yazdığınızda burası 0 oldu.
Yani minimuma düşürebildik.
E burayı 2 yazdığımızda 5 artı 2'den 7 olarak çıktı dışarıya.
A'nın bir tane değeri 7.
E diğerine bakalım.
-5 yazacağız.Bakınız -5'i zaten burada yazdığınızda 0'ı elde etmiş oluyorsunuz.
E burada yazdığınızda -10, -14 yapıyor.
Ama dışarıya 14 olarak çıkacak.
O zaman demek ki en küçük değer burada 7 olmak zorundadır.
Çünkü 14 bundan daha büyük geliyor.
Peki son örneğimiz x elemandır reel sayılar olmak üzere mutlak değer içinde x eski 1 artı mutlak değer içinde x eksi 3 eşittir 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi en zoru da budur zaten mutlak değerde.
Şimdi burada üç farklı şekilde çözmemiz lazım bizim bunu.
Şöyle yapacağız.
Bunların içlerinin pozitif mi negatif olduğuna karar vermemiz lazım bizim.
Yani nasıl çıktıklarına.
İlk olarak içlerini sıfır yapan değerlerini buluyorum.
x eksi 1'i 0 yapan x değeri 1'dir.
x eksi 3'ü 0 yapan x değeri de 3'tür.
Şimdi onları ben geldim sayı doğrusunu şu şekilde yerleştirdim.
Ve çizgilerimi çektim.
Şimdi diyorum ki x'ler eğer 1'den küçük olursa ne olur buraya yazacağım.
x'ler 1'den küçük olursa x eksi 1 mutlak değerin dışına -x artı 1 olarak çıkar.
Çünkü küçük olduğunda içerisi negatif olur.
Artı işlemin artısı.
x eksi 3 nasıl çıkar?
O da yine negatif olarak çıkar.
Sayı deneyebilirsiniz burada.
Mesela 0 verseniz -3 olur.
Negatiftir.
O zaman demek ki onu da biz ne yapacağız.
-x artı 3 olarak çıkartacağız.
Ve 2'ye eşitleyeceğiz.
Buradan denklem çözeceğiz şimdi.
E ne oldu burası?
-2x artı 4 oldu.
Burada, 2'ye eşit bu.
O zaman demek ki 2'yi böyle aldım.
2 kaldı.
-2x'i de sağ tarafa aldığımızda 2x oldu.
O zaman demek ki x eşittir 1.
Bu sağlıyor.
x eşittir 1 zaten burada var.
Peki şimdi x'ler 1'den büyük iken o zaman bu x eksi 1 diye çıkar.
x eksi 3 peki nasıl çıkar?
-x artı 3 diye çıkar.
çünkü içerisi negatiftir Eşittir 2 oldu.
E şimdi bu denklemi çözdüğümüzde x'ler gitti.
3 ile -1 toplandığında da burada 2 geliyor.
Eğer bu sağlıyorsa ve x'ler gitmişse o zaman demek ki çözüm kümesi reel sayılardır diyorduk.
Ama burada 1 ile 3 arasında çözdüğümüz için çözüm kümesi 1 ile 3 arasındaki hepsi demektir.
Yani biz burada çözüm kümesini şöyle yapabiliriz.
Burada 1 ile 3 arasındaki hepsi diyebiliriz.
Ama bir de 3'ten sonrası içinde çözmemiz lazım.
E şimdi 3'ten sonra x eksi 1'de pozitif çıkar.
x eksi 3'de pozitif çıkar.
O zaman ikisini de yazdım.
x eksi 3'de burada pozitif çıkmış oldu.
Burada 2'ye eşitlendi.
O zaman demekki burası 2x eksi 4 oldu 2.
-4'ü attım karşıya.
E o zaman 3 zaten burada da dahildi.
E 1'de burada dahildi.
O zaman demek ki biz komple buradaki mutlak değerli denklemin çözüm kümesini burada 1 ile 3 arasında söylemiş oluruz.
Eğer burada 2 eşittir 2 yerine farklı bir şey gelse idi yani sağlamayan bir eşitlik gelse idi buradaki aralığı kabul etmeyecektim.Ama eşit geldiği için kabul ettim.
