Merhabalar arkadaşlar şimdi mutlak değerli eşitsizliklerle alakalı örneklerimize devam ediyoruz.
Bakalım mutlak değer içinde x eksi a küçük eşittir b eşitsizliğin çözüm aralığı 4 küçük eşittir x küçük eşittir 12 olduğuna göre a çarpı b'yi sormuş.
O zaman biz şunu bir açalım.
Nasıl açarız onu?
Eksi b küçük eşittir x eksi a küçük eşittir b olarak biz bunu açıyoruz.
O zaman demek ki her tarafa a eklememiz lazım x'i yalnız bırakmak için.
O zaman sol taraf a eksi b olur küçük eşittir x sağ tarafta a artı b olacaktır.
Şimdi bakınız o zaman bize ne demiş?
a eksi b'nin sonucunun 4 olduğunu a artı b'nin sonucunun da 12 olduğunu söylemiş.
O zaman biz bunları bir yazalım a artı b'nin sonucu burada 12, a eksi b'nin de sonucu burada 4'tür.
Şimdi biz bunları taraf tarafa toplarsak, bakınız alt alta topladığımızda buradaki b'lerin gideceğini görüyoruz.
Çünkü a'yı ve b'yi ayrı ayrı bulmamız lazım.
Topladığımızda buradan 2a geliyor.
a ile a'nın toplamından.
O zaman a'yı gelelim şuradaki denklemde yerine yazalım.
E tamam a ile b'yi oluşturduk.
O zaman demek ki bunların çarpımından da cevabın 32 geldiğini söyleriz.
Peki diğer örneğimiz x ile y burada reel sayılar olmak üzere 3x eksi 2 mutlak değer içinde Buna göre 3x eksi y ifadesinin çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi o zaman demek ki 3x eksi y'i bulabilmek için ayrı ayrı 3x'i ve eksi y'yi bulmamız lazım bizim burada.
Şimdi 3x'i bulmak kolay bunu ilk başta açarız.
Ne olacak?
-7 küçüktür 3x eksi 2 daha sonra küçüktür 7 diyeceğiz burada.
E her tarafa 2 eklediğimizde burası -5 oluyor 3x daha sonra burası da 9 oluyor.
Şimdi 3x olarak kalsın.
Çünkü zaten 3x'i istiyoruz burada.
Daha sonra birde y'yi oluşturup eksi y'ye geçelim.
Şimdi ilk başta y'yi oluşturacak olursak, ne olacak?
-4 olacak, küçük eşittir y artı 2, daha sonra burası da 4 olarak gelecek.
E her tarafa -2 ekleyelim.
Buradaki 2 gitsin.
O zaman burası -6 olur.
Burası y olacak burası da olmuş olacak eksi 2 eklediğimiz için 2 olacak.
E bize eksi y lazım.
Çünkü onu istiyoruz.
Eksi y yazdığımızda artık bu şöyle olur -2 küçük eşittir eksi y küçük eşittir normal 6 haline gelmiş olur.
Yani bunların yerlerini değiştirip eksi ile çarpmış olduk.
E peki biz ne yapacağız artık?
Şunu ve buradaki ifadeyi o zaman alt alta toplayacağız ve sonuca ulaşmış olacağız.
E ne olmuş olur?
eksi 5 ile eksi 2 toplanırsa eksi 7 gelir.
Küçük eşittir var, küçüktür var.
O zaman küçüktür olacak.
Burada 3x eksi y gelecek orta taraf, 3x eksi y küçüktür var, küçük eşittir var.
O zaman küçüktür olacak.
9'la da 6'yı topladığımızda burada, buradaki 15'i elde etmiş oluyoruz.
Yani çözüm aralığını oluşturmuş olduk.
O zaman demek ki biz burada çözüm kümesini nasıl yazacağız?
Eksi 7 ile 15 aralığında olduğunu söylemiş olacağız.
Peki son örneğimiz sayı doğrusu üzerinde -2 noktasına olan uzaklığının iki katı 1 noktasına olan uzaklığının yarısından büyük olan sayıların çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi bu birazcık uzun sürecek.
Biz diyelim ki o sayı x olsun.
Şimdi x sayısının -2 noktasına olan uzaklığını biz x eksi -2'den x artı 2 olarak gösteririz.
Daha sonra mutlak değer içine yazdık bunu.
Bunun iki katı diyor ki bir noktasına olan uzaklığının yarısından büyük.
Şimdi o zaman bu büyük olacak bir noktasına olan uzaklığının yarısından büyük demek aslında şu şekilde yazabilir.
Yine mutfak değer içinde x eksi 1 bölü 2 bu şekilde yazabiliriz biz bunu.
E daha sonra biz burada mutlak değerin özelliğini kullanacak olursak şöyle yazabiliyoruz bunu.
Hatta alt tarafı mutlak değere bile almaya gerek yok.
Çünkü pozitif zaten.
E şimdi 2'yi karşı tarafı çarpma olarak atalım.
Yani her tarafı aslında 2 ile çarpalım.
O zaman burası x artı 2 çarpı ve x eksi 1 olacak.
E bu şekilde olduğunda biz ne yapıyorduk?
Bir direkt olarak dümdüz yazıyorduk .
Onu da şurada incelemek istiyorum ben.
Mutlak değerden çıkarttık tabii ki de.
x artı 2 çarpı 4 burada x eksi 1'den büyük olacak.
Bir de ikinci ihtimal de burada veya diyelim ama bunların hepsini ben bir sol tarafa kaydırmak istiyorum.
Çünkü şu an orada yerim kalmayacak uzun sürecek orası şöyle aldım.
Bir de veya dedim burada x artı 2 çarpı 4 dedim bu sefer sağ tarafı eksi ile çarptım.
Küçüktür eksi x artı 1 olmuş oldu.
İkisini de şimdi en sade haline getireceğim.
Burası 4x artı 8 oldu büyüktür x eksi 1, x'i böyle 8'i de böyle alırsak burası 3x büyüktür -9 ve her tarafı 3'e böldüğümüzde x büyüktür burada -3 olur.
Buraya aynı işlemleri yapalım.
4x artı eksi 8 küçüktür -x artı 1 o zaman eksi böyle aldığımızda 5x oluyor.
O zaman demek ki bunu çözüm alanında birleştirecek olursak, ne olacak o zaman çözüm kümesinde?
Şimdi eksi 7 bölü 5'den küçük -3'den de büyük.
O zaman demek ki biz nasıl yazarız sol tarafta daha küçük olan yazacak.
Yani -3 yazmış olacak sağ taraftada daha büyük olan, yani eksi 7/5 yazmış olacak.
Bu şekilde çözüm kümesini oluşturmuş oluruz.
Bakalım mutlak değer içinde x eksi a küçük eşittir b eşitsizliğin çözüm aralığı 4 küçük eşittir x küçük eşittir 12 olduğuna göre a çarpı b'yi sormuş.
O zaman biz şunu bir açalım.
Nasıl açarız onu?
Eksi b küçük eşittir x eksi a küçük eşittir b olarak biz bunu açıyoruz.
O zaman demek ki her tarafa a eklememiz lazım x'i yalnız bırakmak için.
O zaman sol taraf a eksi b olur küçük eşittir x sağ tarafta a artı b olacaktır.
Şimdi bakınız o zaman bize ne demiş?
a eksi b'nin sonucunun 4 olduğunu a artı b'nin sonucunun da 12 olduğunu söylemiş.
O zaman biz bunları bir yazalım a artı b'nin sonucu burada 12, a eksi b'nin de sonucu burada 4'tür.
Şimdi biz bunları taraf tarafa toplarsak, bakınız alt alta topladığımızda buradaki b'lerin gideceğini görüyoruz.
Çünkü a'yı ve b'yi ayrı ayrı bulmamız lazım.
Topladığımızda buradan 2a geliyor.
a ile a'nın toplamından.
O zaman a'yı gelelim şuradaki denklemde yerine yazalım.
E tamam a ile b'yi oluşturduk.
O zaman demek ki bunların çarpımından da cevabın 32 geldiğini söyleriz.
Peki diğer örneğimiz x ile y burada reel sayılar olmak üzere 3x eksi 2 mutlak değer içinde Buna göre 3x eksi y ifadesinin çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi o zaman demek ki 3x eksi y'i bulabilmek için ayrı ayrı 3x'i ve eksi y'yi bulmamız lazım bizim burada.
Şimdi 3x'i bulmak kolay bunu ilk başta açarız.
Ne olacak?
-7 küçüktür 3x eksi 2 daha sonra küçüktür 7 diyeceğiz burada.
E her tarafa 2 eklediğimizde burası -5 oluyor 3x daha sonra burası da 9 oluyor.
Şimdi 3x olarak kalsın.
Çünkü zaten 3x'i istiyoruz burada.
Daha sonra birde y'yi oluşturup eksi y'ye geçelim.
Şimdi ilk başta y'yi oluşturacak olursak, ne olacak?
-4 olacak, küçük eşittir y artı 2, daha sonra burası da 4 olarak gelecek.
E her tarafa -2 ekleyelim.
Buradaki 2 gitsin.
O zaman burası -6 olur.
Burası y olacak burası da olmuş olacak eksi 2 eklediğimiz için 2 olacak.
E bize eksi y lazım.
Çünkü onu istiyoruz.
Eksi y yazdığımızda artık bu şöyle olur -2 küçük eşittir eksi y küçük eşittir normal 6 haline gelmiş olur.
Yani bunların yerlerini değiştirip eksi ile çarpmış olduk.
E peki biz ne yapacağız artık?
Şunu ve buradaki ifadeyi o zaman alt alta toplayacağız ve sonuca ulaşmış olacağız.
E ne olmuş olur?
eksi 5 ile eksi 2 toplanırsa eksi 7 gelir.
Küçük eşittir var, küçüktür var.
O zaman küçüktür olacak.
Burada 3x eksi y gelecek orta taraf, 3x eksi y küçüktür var, küçük eşittir var.
O zaman küçüktür olacak.
9'la da 6'yı topladığımızda burada, buradaki 15'i elde etmiş oluyoruz.
Yani çözüm aralığını oluşturmuş olduk.
O zaman demek ki biz burada çözüm kümesini nasıl yazacağız?
Eksi 7 ile 15 aralığında olduğunu söylemiş olacağız.
Peki son örneğimiz sayı doğrusu üzerinde -2 noktasına olan uzaklığının iki katı 1 noktasına olan uzaklığının yarısından büyük olan sayıların çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi bu birazcık uzun sürecek.
Biz diyelim ki o sayı x olsun.
Şimdi x sayısının -2 noktasına olan uzaklığını biz x eksi -2'den x artı 2 olarak gösteririz.
Daha sonra mutlak değer içine yazdık bunu.
Bunun iki katı diyor ki bir noktasına olan uzaklığının yarısından büyük.
Şimdi o zaman bu büyük olacak bir noktasına olan uzaklığının yarısından büyük demek aslında şu şekilde yazabilir.
Yine mutfak değer içinde x eksi 1 bölü 2 bu şekilde yazabiliriz biz bunu.
E daha sonra biz burada mutlak değerin özelliğini kullanacak olursak şöyle yazabiliyoruz bunu.
Hatta alt tarafı mutlak değere bile almaya gerek yok.
Çünkü pozitif zaten.
E şimdi 2'yi karşı tarafı çarpma olarak atalım.
Yani her tarafı aslında 2 ile çarpalım.
O zaman burası x artı 2 çarpı ve x eksi 1 olacak.
E bu şekilde olduğunda biz ne yapıyorduk?
Bir direkt olarak dümdüz yazıyorduk .
Onu da şurada incelemek istiyorum ben.
Mutlak değerden çıkarttık tabii ki de.
x artı 2 çarpı 4 burada x eksi 1'den büyük olacak.
Bir de ikinci ihtimal de burada veya diyelim ama bunların hepsini ben bir sol tarafa kaydırmak istiyorum.
Çünkü şu an orada yerim kalmayacak uzun sürecek orası şöyle aldım.
Bir de veya dedim burada x artı 2 çarpı 4 dedim bu sefer sağ tarafı eksi ile çarptım.
Küçüktür eksi x artı 1 olmuş oldu.
İkisini de şimdi en sade haline getireceğim.
Burası 4x artı 8 oldu büyüktür x eksi 1, x'i böyle 8'i de böyle alırsak burası 3x büyüktür -9 ve her tarafı 3'e böldüğümüzde x büyüktür burada -3 olur.
Buraya aynı işlemleri yapalım.
4x artı eksi 8 küçüktür -x artı 1 o zaman eksi böyle aldığımızda 5x oluyor.
O zaman demek ki bunu çözüm alanında birleştirecek olursak, ne olacak o zaman çözüm kümesinde?
Şimdi eksi 7 bölü 5'den küçük -3'den de büyük.
O zaman demek ki biz nasıl yazarız sol tarafta daha küçük olan yazacak.
Yani -3 yazmış olacak sağ taraftada daha büyük olan, yani eksi 7/5 yazmış olacak.
Bu şekilde çözüm kümesini oluşturmuş oluruz.
