Mutlak Değerli Denklemler

Merhabalar arkadaşlar şimdi mutlak değerli denklemler giriş yapacağız ama öncesinde mutlak değerim bazı özellikleri var.
Onları da vermemiz lazım.
Çünkü onları aktif olarak denklemleri çözerken kullanıyoruz.
Şimdi x ile y'lerimiz burada reel sayılar olacak.
Eğer mutlak değer içinde x çarpı y varsa biz bunları ayrı ayrı mutlak değerlerini alarak çarpabiliriz.
Yani mutlak değer içinde x çarpı mutlak değer içinde y diyebiliriz.
Bu şekilde ayrılabilir.
Bölümde de aynı şekilde çarpmada olduğu gibi tabi burada ekstra olarak y 0'dan farklı olması lazım.
Çünkü paydayı tanımsız yapar.
O yüzden istemiyoruz onu.
O zaman burada da aynı şekilde eğer mutlak değerin içinde x bölü y varsa biz bunları ayrı ayrı mutlak değerlerini alıp bölebiliriz.
Bu şekilde getirebiliriz biz bunları.
Peki x elemandır reel sayılar olmak üzere mutlak değer içinde x mutlak değer içinde eksi x'e eşittir.
Çünkü biz burada direkt olarak bir örnek verecek olursak mesela 5 yazdığımızı düşünelim.
Burası da ne olur artık?
5 yazacağımız için mutlak değer içinde 5 eşittir mutlak değer içinde -5 olur.
Bunun ikisinin de sonuçlarının bu özellikle sağlayacak bunu çok fazla kez kullanacağız.
x elemandır reel sayılar ve n'de pozitif tam sayılar olmak üzere eğer mutlak değerin içinde x'in bir kuvveti varsa o zaman demek ki biz bunu şöyle yapabiliriz.
Mutlak değerini alıp kuvvetini alabiliriz.
Yani kuvvet dışarıya çıkabilir burada.
Bu özellikleri aktif olarak denklemlerde kullanacağız.
Şimdi denklemlere bakalım ve a reel sayılar olmak üzere a sıfırdan büyük eşit için ve a sıfırdan küçük için inceleyeceğiz.
a sıfırdan büyük eşit için mutlak değer içinde x, a'ya eşitse o zaman iki ihtimal vardır ya direkt olarak x a'ya eşittir ya da x burada -a'ya eşittir.
Biz bunu çok fazla kez kullanacağız.
Yani aslında mutlak değerde bunu hep kullanacağız.
Bir diyeceğiz ki artılısına bir de eksilisine diyeceğiz.
Çünkü burada yine direk örnek verecek olursak x mutlak değer içinde 5'e eşitse iki ihtimal var, değil mi?
Bu ya direkt 5'tir ya da -5'tir.
O yüzden biz burada bir a'ya bir de -a'ya diyoruz ama a sıfırdan küçük olursa mutlak değer içinde x'de a'ya eşit olursa şimdi a'nın negatif olduğunu söylüyoruz.
Mutlak değer dediğimiz şey uzaklıktı, uzunluktu.
Uzaklık veya uzunluk negatif olamaz.
Negatif olamayacağı için o zaman bu şekildeki bir denklemin çözüm kümesi yoktur.
Yani burada boş küme belirtir bu çözüm kümesi.
Yani biz burada eğer eksiye eşit olduğunu bulursak orada herhangi bir çözüm olmadığını söyleyeceğiz.
Şimdi bakalım x elemandır reel sayılar olmak üzere aşağıdaki denklemlerin çözüm kümesini bulunuz.
Şimdi ilk olarak ben a'yı çözmek istiyorum.
Burada a'ya bakalım ki iki ihtimal var ya 2x eksi 5 burada 11'e eşit veya burada 2x -5 burada -11'e eşit olacak.
İki ihtimal var.
Buradan ikisini de çözeceğim şimdi.
O zaman 2x buradan 16 eşit, x de buradan o zaman buradan 5'i attığımızda karşıya -6 gelecektir.
x de buradan -3 gelecektir.
x'in eksi gelmesi önemli değil.
Sonuç olarak sadece mutlak değerinin sonucunun negatif gelmemesi lazım.
O yüzden eksi gelebilir burada bir sıkıntı yok.
Yani çözüm kümesi, ne yapmış olduk biz burada, çözüm kümesine şu şekilde iki tane eleman bulduk -3, b'yi direkt olarak burada göstermek istiyorum.
Çünkü b de sonuç direkt boş küme olacak.
Şu 8'i karşıya attığımızda mutlak değer içinde -5x artı 7'nin sonucu -8 oluyor.
Bakınız burası negatif.
Burası negatif olduğu için mutlak değerinin sonucu negatif olamaz.
O yüzden bunu çözmeye gerek yok, buradaki çözüm kümesi boş kümedir.
Bu şekilde boş küme yapar geçeriz.
Peki c, c'yi de burada yapalım.
Şimdi bakınız mutlak değer içinde -5x, 3x, -2x bu 20'ye eşitmiş.
O zaman mutlak değerin özelliğini kullanacak olursak çünkü bu haliyle şu an bir şey yapamıyoruz.
Mutlak değer özelliğinden içeride çarpma durumunda varsa ayrı ayrı mutlak değerlerini alıp çarpabiliriz.
Bunu bir kerelik göstereceğiz diğerlerinde hızlıca yapacağız bunu.
Şöyle yapabiliriz biz bunu -5x'i -5 çarpı x olarak yazabiliriz.
Yani bu şekilde yazılabilir.
Daha sonra aynı şekilde 3x'i de şu şekilde yazabiliriz.
Daha sonra -2x'i de yine bu şekilde yazabiliriz.
Bu da 20'ye eşit.
Şimdi bakınız -5 dediğimiz mutlak değer içinde dışarıya 5'te çıkar ve bu kalır.
5 tane mutlak değer x oldu artı burası da 3 tane mutlak değer x olmuş oldu.
Daha sonra artı burası da 2 tane mutlak değer içinde x olmuş oldu.
Bu 20'ye eşit.
O zaman 5 tane burada, 3 tane burada, oluyor.
Bu 20'ye eşit.
Her tarafı 10'a böldüğümüzde mutlak değer içindeki x burada 2'ye eşit olacak.
Artık iki ihtimal var.
Burada ya x burada 2'ye eşit olur direkt olarak veya burada veya diyelim x buradan -2'ye eşit olur.
Yani bunun çözüm kümesinde biz -2 ile x elemandır reel sayılar olmak üzere burada bir ifade var bu denklemin çözüm kümesini bulunuz diyor.
Şimdi o zaman demek ki bakınız burada tekrardan şu ifade mutlak değeri alınmış o zaman demek ki ben bunu dışarı çıkarttığımda ya 12'ye eşitleyeceğim ya da -12'ye.
Yani ikisine de aslında işaret eşitliği çözmeye çalışacağız.
Yani mutfak değer içinde x eksi 2 eksi 8 burada 12'ye eşit veya diyorum.
Burada mutlak değer içinde x eksi 2 eksi 8 -12'ye eşit.
Şimdi şunları yalnız bırakıp devam edelim.
-8'i karşı attığımızda mutlak değer içindeki x eksi 2 burada 20'ye eşit oluyor.
Bunun çözümünü getireceğiz.
Burada veya diyorum.
-8'i karşı attığımızda burada mutlak değer içinde x eksi 2 de burada -4'e eşit oluyor.
Şimdi bu hale kadar getirdik.
Şunun çözümü var.
Bunun çözümünü yapalım.
Burada iki ihtimalimiz var.
x eksi 2 buradan 20'ye eşit veya buradan x eksi 2 'miz burada -20'ye eşit.
O zaman -2'yi karşıya aldığımızda x buradan 22.
Burada da -2'yi karşıya aldığımızda x burdan -18 gelir.
Bunun yine eksi gelmesi önemli değil bizim için.
Ama bakalım burada mutlak değerinin sonucu -4'e eşitlenmiş.
Böyle bir şey yok.
Yani biz buradan ne diyeceğiz, çözüm kümesinin boş küme olduğunu söyleyeceğiz.
O zaman demek ki komple çözüm kümesini yazacak olursak, buradan sadece çözüm kümesi boş küme geliyor.
Komple çözüm kümesini yazacak olursak da o -18 ile 22'den oluşacaktır.
-18 ile 22'den oluşacaktır.